Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 28
Текст из файла (страница 28)
равенства г = (!/"' — 1)/(о — 1) и леммы 3.17 тогда следует, ччт!' числа огд (/) и д взаимно просты. Из теоремы 3.11 в таком случ получаем, что многочлеи / разлагается в произведение / = /, ... различных нормированных неприводимых над Гч многочлен /„..„ /я. Если т; = с)ея (/1), то огд (/!) делит о'"! — 1, 1 ( 1 ( (на основании следствия 3.4). Поскольку !/ ' — 1 делит числ с( = ((/"' — 1) " (7 ' — 1)/(4! — 1) то число огй (/!) делит д, 1 ( 1 ( к.
Из леммы 3.6 следует, ч /, (х) делит хл — 1 для ! ( ! -(й, так что многочлен / (х) дел хл — 1. Если А )~ 2, то д (("' "+" — 1)/(о — 1) = (~ — 1)/(</ — 1) = г, 'что противоречит определению числа г. Таким образом, л = В и многочлен / неприводим над Гч, Если !) Е Г,~ — корень много« члена /, то рассуждение, аналогичное приводящему к (3.2)я' приведет к тому, что р" = ( — 1)'" / (О), так что х'— = ( — 1)'" / (О) (пюд / (х)). А поскольку порядок элемента' ( — 1)'" /(0) в группе Г; равен !/ — 1, то из леммы 3.17 вытекает, что огй (/) = о" — 1, так что в соответствии с теоремой 3,16,:: / является примитивным многочленом иад Гч.
П.' 3.19. Пример. Рассмотрим многочлен / (х) = х'+ х'+ х'+', + 2х+ 2 Е Гя (х). Так как / неприводим над полем К„то,' 5 2. Непраеоднмые много»лени 119 применяя метод„изложенный после теоремы 3.11, получим, что огд (7) = 34 — 1 = 80. Следовательно, 7 — примитивный много- член над [['е (по теореме 3.18). В соответствии с теоремой 3.18 т'е = 2 (шод ) (х)), (:[ 9 2. Непрнводнмые многочлены Напомним, что многочлен 7 ~ К [х[ неприводим над полем [['», если он имеет положительную степень и любое его разложенйе на множители в кольце К» [х) обязательно содержит постоянный многочлен (см, определейие 1.57).
Простейшие свойства непризодимых многочленов были рассмотрены в 3 2 гл. 2. 3.20. Теорема. Для каждого конечного поля [['» и каждого и ~ К произведение всех нормированных неириводимых многоыенов над [['», степень которых делит п, равно хе" — х. Доказательство. По лемме 2.13 каноническое разложение миогочлена а (х) = х»" — х в кольце Г» [х[ содержит те и только ~е нормированные неприводимые многочлены над [[», степень которых делит число и. Так как д' (х) = — 1, то нз теоремы 1,68 вытекает, что многочлен д в его поле разложения над [['» не имеет кратных корней, так что каждый нормированный неприводнмый многочлен над К„степень которого делит и, встретится в каноническом разложении многочлена а в кольце Г» [х) ровно один раз.
П 3.21. Следствие. Если Ф (д) — число нормированных неприводимых многочленов из [[' [х) степени д, то д" = ~~ аУ»(д) для всех п Е $Ч, (3.3) г 1л где сумма берется по всем положительным делителям д числа и. Доказательство. Тождество (З.З) получается из теоремы 3.20 сопоставлением степени многочлена а (х) = х» — х с полной степенью канонического разложения многочлена а (х) на неприводимые сомножители.
[:) Используя элементарные сведения из теории чисел, мы можем получить из формулы (З,З) точную формулу для числа нормированных неприводимых многочлеяов фиксированной степени из ~~льна [['» [х). Для этого потребуется одна арифметическая функция, йазываемая функцией Мебиуса, которая определяется так; !2О Гл. 3.
«1яогочлеяы яяд конечными полями 3.22. Определение. Функцией Мебиуса называется функция )з на множестве г(, определяемая равенствами 1 если л =- 1 ( — 1)', если н — произведение й различных простых1 чисел, ! О, если и делится иа квадрат некоторого про- ~ стого числа. Когда в формуле (3.3) мы использовали символ суммирова-1 ния 2„', зто означало, что сумма распространяется на все положигм тельные делители Й числа и Е И, Удобно использовать аналогичный символ и для произведения: П.
а и1« 3.23, Лемма. Для л, ~ 1ч функция Мебиуса удовлетворяет т спотк пилению Доказательство. Для п ~! мы должны принимать во внима-:, ние лишь те положительные делители д числа и, для которых р (д) ~ О, т. е. для которых или е( == 1, или И является произве- Я~ дением различных простых чисел. Таким образом, если р„..., р„— з различные простые делители числа и, то я Е р(д) = р(1)+ Х р(р) зь ~ 1 (рнр;.) '- -ь р (р " ря) = ' = ~ ~ ()( — 1)я-()~-я« ", (1)~--я' — ~. — (1+( — 1)) =О.
Случай же и =- 1 тривиален. и "1 3.24. Теорема (формула обращения Мебиуса). (1) Аддитивный вариант. Пусть й и Н вЂ” две функции из ': множества 'я( натуральных чисел в некоторую абелеву группу 0 . с аддитивной записью. Тогда равенство Н (и) = — ~ й (д) для всех и ~ В (3.4) л(« выполняется в том и только том случае, если выполняется ра- венство Ь(п) — — ~~) р ~ — „) Н(И) = ~~) (х(п) Н ( — „) для всех и с- г(. л! « л! « (3.5) '. й 2. Ненриводииые много»лены 121 ()!) Мультипликативный вариант. Пусть Ь и Н вЂ” две функции из множеспыа»ч' натуральных чисел в некоторую абелеву группу б с мультипликативной записью. Тогда равенство Н(п) = ПЬ(д) для всех и ~ К (3.6) г!е выполняется в том и только том случае, если выполняется ра- венство "(и) = П Н(й)" !"ы! = ЦНЯ)""' для всех и ~ И.
и!и (3.7) Доказательство. Предполагая выполненным равенство (3.4) и нспользуя лемму 3.23, получим Х Р Ю) Н (й) = Ж Р (й) Н ( — „) = Х Р (й) Х Ь (с) = г~е г!л г!л ~ е = Х Х Р(й)Ь(с) =ХЬ(с) Х Р(й)=Ь(п) с!е ~е г!» ~е для всех и Е вч. Обратное утверждение доказывается аналогично. Доказательство части (П) сразу же получается нз доказательства части (!) заменой сумм произведениями, а кратных — степенями,Д 3.25.
Теорема. Число У» (и) нормированных неприводимых многочленов степени и в кольце Г» (х! задается формулой Н»(п) = 1,~~~Р(В ) ц"= 1,~~~Р(й)ц"" В1л Доказательство. Применим адднтнвный вариант формулы обрагпення Мебиуса к группе 0 = Š— адднтнвной группе целых чисел. Пусть Ь (и) = пй!» (и) н Н (и) = д" для всех и Е И. Тогда формула (3.4) справедлива ввиду равенства (3.3), н нз (3.5) получаем требуемую формулу.
Д 3.26. Прнмер. Число нормированных непрнводнмых много- членов степени 20 в кольце Г» (х! равно ~» (20) = 20 (Р(!)и + Р(2)ч' + Р(4)ч'+ Р(5)ч + +Р(!0)в +Р(20)д)= Д 20 4 х. Неправ»дами» много»лены Доказательство. Из теоремы 3.20 следует, что хч" — х= П 1(д,д;х). Ф!» Г!римеияя теперь мультипликативный вариант формулы обращения Мебиуса к мультипликативной группе 6 ненулевых рациональных функций над полем Кч и полагая /г (п) = / (о, п; х) и Н (и) = хч" — х для всех п ~ И, мы получим требуемую формулу. П 3.30. Пример.
Для о = 2, и = 4 получаем 1(2, 4; х) = (х" — х)» о>(х' — х)» оп(х' — х)» и> = хм — х хм — 1 = х — х х — ! = х'х+ х'+ х'+ х'+ 1. П Все нормированные неприводимые многочлены степени и нз [ ч [х[ можно найти, разлагая на множители многочлен 1 (о, и; х). В этой связи было бы полезно представить / (о, п; х) в частично разложенном виде. Это достигается с помощью следующей теоремы. 3.31.
Теорема. Пусть 1 (о, п; х) то же, что и в теореме 3.29. Тогда для натурального числа и, 1 имеет месгпо формула 1 (о, и„ х) = П О (х), (3.8) где 9„(х) есть т-круговой многочлен над гч и произведение берется по всем натуральным делителям т числа о" — 1, для которых и является показателем, которому принадлежит число д по модулю т.
Доказательство. Для и ~ ! пусть 5 — множество элементов поля г' », которые имеют степень п над полем г'ч. Тогда каждый элемент а ~ 5 имеет минимальный многочлен степени и над гч и, таким образом, является корнем многочлена 1 (д, и; х). С дру"ой стороны, если [1 — корень многочлена 1 (о, и; х), то он в то же время является корнем некоторого нормированного неприводимого многочлена степени и нз [['ч [х [, а это значит, что р Е С 5. Поэтому 1(д, и;х) = П (х — а). »Ез [[спи а ~ 5, то а Е К„'„, и, значит, порядок элемента а в этой мультнпликативной группе делит число д" — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
