Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(х), которое в силу теоремы 3.70 равно Ф, (х — 1). П Этот результат придает определенную законченность теореме о нормальном базисе (ср. с определением 2.32 и теоремой 2.35). Поскольку каждый из элементов ь, ь», ь», ..., ~» ' порождает один и тот же нормальный базис К над К», то число различных нормальных базисов ~Г над Г» равно (1!т) Ф» (х'" — 1). 3.74. Пример.
Подсчитаем число различных нормальных базисов полЯ Гвв над Гв. Так как 64 = 2', то это число Равно (116) Ф, (хв — 1). Из канонического разложения,многочлена х' — 1 в кольце Гв (х! хв 1 =. (х+ 1)'(х'+ х+ 1)' и леммы 3.69 (ш) получаем, что (в 1) 2»(1 1)(1 — — )=24, 160 Гл. 3. Многочлены над конечными полями Следовательно, существуют четыре различных нормальных зиса Кее над в 5. Двучлеиы и трехчлены Двучленом (биномом) называется многочлен, состоящий из дв ненулевых членов, одним из которых является постоянный чл ' Неприводимость двучлена можно охарактеризовать в явном в Для этого достаточно рассмотреть лишь нормированные келии ные двучлены.
3.75. Теорема. Для натурального числа 1,.= 2 и а Е Ц д" член х' — а неприводим над полем Гч тогда и только тогда, к выполнены следующие два условия: (!) каждый простой делитель числа ! делит порядок е в' мента а в группе !(';, но не делит число (д — 1)1е; (В) если 1 кратно четырем, то д —.-.=. 1 (шоб 4). Доказательство.
Пусть условия (1) и (й) выполнены. То( на основании теоремы 3.35 из неприводимости в К 1х) линейн многочлена 1 (х) = х — а порядка е следует неприводимость гочлена 1(х') = х' — а в Гч (х). Допустим, что условие (!) нарушено. Тогда существует стой делитель г числа 1, который либо делит число (о — 1)(е, не делит число е. В первом случае (о — 1)1е = гз для некото з Е Р). Подгруппа группы Г", состоящая из г-х степеней эле тов этой группы, имеет порядок (д — 1)!г = ез и потому содер подгруппу порядка е группы Г,", которая порождается эле' том а. Это, в частности, означает, что а = Ь' для некоторого Ь' Е Г~, а отсюда следует, что двучлен х' — а = х' г — Ь' и нетривиальный делитель х' — Ь.
Остается случай, когда пр делитель г числа 1 не делит ни (у — 1)!е, ни е, а значит, не дели числа д — 1. В таком случае существует такое натураль число г„что г,г == 1 (шоб (д — 1)), и, следовательно, дву х' — а = х' ' — аеа имеет делитель х' — а'. Теперь допустим, что условие (!) выполнено, но (И) наруш,, Тогда 1 = 41е для некоторого 1, Е И и д ~ 1 (шой 4). Но из", следует, что число е четно, а так как е делит д — 1, то о дол быть нечетным. Значит, о =- 3 (шоб 4), и из теоремы 3.37 следу что многочлен х' — а приводим в кольце !г'ч !х).
Но это мо доказать и непосредственно. Заметим сначала, что из уело ' на е и о следует, что е Гя 2 (шоб 4). Более того, ане =- — 1, т что х' — а = х'+ а~н'>+' = х'+ ал, где й =- (е!2) + 1 чети(г',, Далее, аг = 4 (2-'аг/е)г, 4(2 — ~аг1г)а~-~ = 4сч э' 6. Двучлены н трехчлены 161 где с =- (2 — !аг22)!»+!>14, а зто приводит к разложению хе а «42» + 4с4— = (х" + 2сх'»+ 2с')(х" — 2сх'+ 2с'). Если 4) == 3 (шод 4), то мы можем записаты) в виде 4) = 2»и— — 1, где А )~ 2 и и нечетко.
Допустим, что условие (!) из теоремы 3.75 выполнено и число 1 делится на 2". Запишем 1 = Во, где В = 24 — ' и о четно. Тогда число я из теоремы 3.37 равно А и при ~ (х) = — х — а многочлен ) (х') = х' — а разлагается в произведение В нормированных неприводимых многочленов из К» 1х! степени 1»В = о. Эти неприводимые многочлены можно найти в явном виде. Заметим, что, как и в последней части доказательства теоремы 3.75, число й =- (е!2) + 1 четко. Поскольку НОД (2В, 4) — !) = 2, то существует число г ~ И, такое, что 2Вг 22 4((шод (41 — 1)).
Полагая 5 = а' С !2'», мы получим следующее каноническое разложение. 3.76. Теорема. Пусть а — отличный от нуля элемент конечного поля Г», о = 2"и — 1, где А — целое число, А ) 2, и и не»гтно. Пусть е — порядок элемента а в группе Е» и для натуралького числа 1, кратного 2' = 2В, выполнено условие (!) теоремы 3.75.
Тогда двучлен х' — а разлагается в произведение В нормированных неприводимых сомножителей степени о = ВВ: в хг — а = П (х' — бсэх»22 — 52), 1=! где Ь = а', 2Вг = е~2 + 1 (шой (47 — 1)), а элементы с„..., св— корни многочлена В/2 ~ч ( — 1 — 1) 1Н Р(Х) = 7 1(н»н)1 Х " б о»(Х) г=о при этом все сг лежат в К», 1 <! ~4 В Доказательство. Для ненулевого элемента у из некоторого расширения поля Г» (х 7) (х+ у-!) = х' — рх — 1, где 6 = у — Г. Применяя утверждение и обозначения формулы Варинга (см. теорему 1,76), получаем В(Х4, Х2) =Х! +Х2 в в (42+ »2 — 1)1Н ! ! 4,+Ы,=В 42' 42' ( — 1)! ° ..
о,(х,, хе)»о,(х„х,) ° = 4,'~о, *4,~ о 11 зех. 222 Гл, 3. Многочлены нод конечными полями 162 В/2 ~~~ ( — 1)'* ' . (х, + х,)в — 2/ (х/х,)п. (в — 2, — 11!в ( — 2!211/21 ',=о Полагая х, = 7, хе = — 7 ', получаем В/2 ув 1 7 — в ~и~~~( 1)1 (в ' 0 нив — и( 1)! Р(/)) /-о Если с — корень многочлена Р (х) из некоторого расширен 2 поля 1ч и 7/ — корень квадратного трехчлеиа х — с/х — 1 некотоРого РасшиРениЯ полЯ Ре, то 7; — 7/ — — с/, так что 7/ + 7/ в = Р (с;) = О, поэтому 7/ = — 1. Так как /) + 1 = 2В ' где и нечетно, то 72/+' = ( — 1)" = — 1, откуда 72/ = — 7, '. Тог со/= (7; — 7; ') = 7; — 7/ = — 7, '+7/=с/, о /, — !ы ч так что с/ Е Р . Так как Р (х) — нормированный многочлен, то в Р(х) = П (х — с/), /=! откуда в в 7В + 7-н = Р ()1) = П (р —.
с/) = П (7 — 7 2 — с/). !=! !=! Это означает, что в 72В + 1 = П (72 — с 7 — 1). /=! Поскольку это равенство справедливо для любого элемента ' из любого расширения поля Кч (в том числе и для 7 = 0), получаем полиномиальное равейство в х'В -1- 1 =- П (х2 — с/х — 1). /=! Подставляя в него Ь вЂ” 'х"/' вместо х и умножая на Ь'в, получ (полагая /( = (В!2) + 1) разложение многочлена хв" + Ь'в = х' + а'В' = х' + ал = х' — а (ср. с заключительной частью доказательства теоремы 3.7, Полученные сомножители иеприводимы в Кч (х), посколь иам уже известно, что на основании теоремы 3.37 каноническ ' разложение двучлена х' — а содержит В неприводимых мно членов из Гч !х! степени о (см.
рассуждение, предшествуюш теореме 3.76). $5. Лвучлены н трехчлены 163 3.77. ПРимеР. Разложим двУчлен х" — 3 в кольце гт (х). Здесь о=2в — 1, так что А =3, В=4 и о=б. Кроме того, элемент а =- 3 имеет в группе П порядок е = 6, так что условие (1) теоремы 3.75 выполнено и можно применить теорему 3.76. Имеем й = 4 и, решая сравнение 8г = 4 (шос( 6), получаем г = 2. Поэтому Ь = а' = 2.
далее, многочлен р(х) = хв+ 4хв+ 2 имеет в поле Гт корни ~1 и +3. Таким образом, получаем каноническое разложение многочлена хвч — 3 в кольце Гт (х): х" — 3 = (х' — 2хв — 4) (х'+ 2хв — 4) (х' — х' — 4) (х'+ + хв — 4). П Трехчленом называется многочлен из трех ненулевых членов, одним из которых является постоянный член. Сначала мы рассмотрим такие трехчлены, которые являются аффинными миогочленами. 3.78.
Теорема. Пусть а — ненулевой элемент конечного поля характеристики р. Трехчлен х' — х — а неприводим в Г (х) тогда и только тогда, когда он не имеет корней в поле Гч. Доказательство. Если (1 — какой-либо корень многочлеиа хр — х — а в некотором расширении поля Г'ч, то, согласно доказательству теоремы 3.56, множеством корней многочлена хр — х — а является р + У, где У вЂ” множество корней линеаризованного многочлена (р-многочлена) хр — х. Но нам известно, что У =- Ер, так что хр — х — а = П (х — й — Ь). ьсь Допустим теперь, что трехчлен хр — х — а имеет делитель у с г'ч (х), где 1 < г = бей (й) < р и д — нормированный многочлен. Тогда о (х) = П (х — ~ — Ь1) 1=! длЯ некотоРых Ь; Е Гр. СРавниваЯ коэффициенты пРи х'-', полУчаем, что гР+ Ь, + ...
+ Ь, — элемент из полЯ Кч, Поскольку число г как элемент поля Кч имеет мультипликативный обратный элемент в этом поле, то р Е Г . Итак, мы показали, что если трехчлен хр — х — а нетривиальйо разлагается в кольце гч (х), то он имеет корень в поле Гч. Обратное же утверждение тривиально. 3 79. Следствие. В обозначениях теоремы 3.78 трехчлен х' — х — а непРиводим в кольЦе Кч (х) тогда и только тогда, ~веда Тгр (а) Ф О. Гл. 3. Многочлены над конечными полями Доказательство. По теореме 2.25 многочлен хо — х —, тогда и только тогда имеет корень в поле Гч, когда абсолютн' след Тгр (а) равен нулю.
Остальное вытекает из теоремы 3.78. Поскольку для любого Ь ~ Ц многочлен 1(х) непривод над полем 1'ч тогда и только тогда, когда непривбдим над многочлен 1(Ьх), то приведенный выше критерий сохраняет сн также и для трехчленов вида Ьохо — Ьх — а. Что же касается более общих трехчленов подобного вн степенью которых является не характеристика р исходного пол' а некоторая ее степень р", и > 1, то найденные выше критер для них уже недействительны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
