Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Оацзз [1]). После исходной статьи Галуа изучение «высших сравненийл, как тогда назывались уравнения над конечными полями, было продолжено в работах 5сйопешапп (3], Зегге1 [1 [ н [леде[г!пд [1]. Начатки теории со- держатся также в посмертно опубликованной работе Гаусса (Оацзз [4[). Изложение этой ранней работы по конечным полям «южно найти в сообщении Ьш!![э Н.
3. Я. (1 ] и в работах Яегге1 (2], догдап С. (2] и Воге1, Огас[э (1]. См. также заметку 14!едег- ге!!ег [14) о ранней истории предмета. О развитии теории конеч- ных полей до 1915 г. см, книгу П!скзоп [40, с[э. 8]. Впервые сов- ременная трактовка теории конечных полей появляется у Дик- сона (О[с[своп [7 ]), Самыми важнымн результатами этой главы являются тео- ремы 2.5, 2.8 и 2.8. Существуют разные доказательства этих тео- рем, н их можно найти в упомянутых выше источниках. Заметим, чго многие авторы используют для конечного поля (или поля Галуа) порядка д обозначение Ог (д). Часть, касающаяся един- сгвенности, теоремы 2.5 впервые была доказана в общем виде Муром (Мооге [1], (2 [), Другое классическое доказательство теоремы 2.5 приводится в статье Р!скзоп [6].
См. также 5хе[е [1]. В связи с леммой 2.4 заметим, что простая формула для П (х — а") а~я неявно содержится в работе Радов [5]; см. также относящиеся к этому статьи Веекег [1], 1лц[эе1з[г! [1] и Оге [3]. Метод, использованный при доказательстве теоремы 2.8, можно применить и для доказательства следующего более общего утвер- ждения: каждая конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклична. Справедливо также обращение теоремы 2.8 (см, упр.
2.10). В статье Сд!шег [! ] найдены все конечные коммута- тивные кольца с единицей, в которых делители единицы образуют циклическую группу. В статье Сиропа (1] конечные поля характе- ризуются свойствами порядков элементов мультипликативной группы данного поля. Примитивные элементы конечного поля Гр при простом числе р рассматриваются также в элементарной теории чисел, где онн носят название первообразных корней по модулю р. За- дача нахождения первообразных корней по модулю р ставилась ещ- Гауссом (Оанэа [1]); см. также Резшагез! [1], гго[оч (1[, ласо[э! (3], Ьспоппе!ш [1], 51егп [1! н Чебышев (1].
Цассен- хауз (7аззеп[эацз [4')) построил алгоритм для нахождения прими- гнвных элементов любого конечного поля г«. О частном случае ноля Г„*, где р — простое число Мерсенна, см. также М!11ег, Йеед, Тгнопи (1], ][еед, Тгцопк [1] и [геед, Тгцопк, М!!1«г [4). 98 Гл. 2. Строение конечных полей Первая большая таблица первообразных корней была построена; Якоби (ЗасоЬ! [31) в 1839 г. Более подробно о таких таблица»; см. в гл. 1О. С примитивными элементами мы встретимся еще в связв: с так называемыми примитивными многочленами (см.
9 1 гл. 3).„' Дэвенпорт (Рачепрог! [61) показал, что если простое число ]э' достаточно велико, скажем р > р, (и), и Π— образующий эле... мент поля Кро как простого расширения поля Кр, то в поле Кв2 найдется такой элемент а, что Π— а является примитивным эле ментом поля Гр . С другой стороны, для данного р > 2 сущест:„ вуют расширение Кро и образующий элемент 0 его как простогв расширения поля г'р, такие, что ни один из элементов ЬО + в,,' где Ь, с Е Кр, не является примитивным элементом поля Кр .', Различные количественные улучшения и обобщения были полуг] чены в работах Саг!1!х 1341, [4! ], Рг!ед!апт[ег [11 и Бсйтчагх 17]]]е см, также б!нб[с[, Магяая!!о [2] для случая квадратичного расши„') рения поля Ее.
Дэвенпорт и Льюис (1)ачепрог[, ] еее!з [3)) уста-'. новили один результат о распределении примитивных элементов.:, в конечных полях, обобщающий результат, полученный Берджес-.'; сом (Впгдезз [21) для простых полей Кр. Позднее Берджесс (Внг: дева [7]) улучшил результат Дэвенпорта и Льюиса для полей г ре,'.
а Карацуба [61 распространил его на общие конечные поля, В ста-," тье 8!ечепз Н. [11 доказан один элементарный результат о распр~''' делении примитивных элементов. В работе бег]е!з, Вегяцш [Ц' изучено распределение примитивных элементов в поле Кр* с элеи: ментарной точки зрения. Простое доказательство существованиФ." примитивных элементов с абсолютным следом 1 в конечном поле Цч,' характеристики 2 получено в статье Могепо О. [21, Из результата;: И. М. Виноградова (см.
Виноградов И. М. [11]) следует, что для" данных целых чисел а и Ь и всех достаточно больших простых чи-,' сел р существует целое число с, такое, что каждое из чисел и'",";:, с + а, с + Ь является первообразным корнем по модулю йв] Сегал [11 показал, что для данного целого числа г =- 2 и все») достаточно больших простых чисел р существует такое целой число с, что каждое из чисел с + 1, с + 2,, с + г являетсв:, первообразным корнем по модулю р; этот результат был обобщ Карлицом (Саг!1!г [681). См. также Лойпзеп 111, Бха1ау [! [21, Чеай [11, [21, [31, [41, [5], [61 и Виноградов И.
М. [8 " В работах Мабг[еп [! 1, Виноградов И. М. [51 и Сегал [11 из ", чается распределение примитивных элементов среди значений дв ного многочлена. Эрдеш (Егг[бз 111) составил список нерешенны, проблем и полученных результатов о первообразных корнях модулю р. Для логарифма Якоби, определяемого с помощь ' примитивных элементов (см, упр, 2.8), в книге 3асоЬ! [21 построен таблицы (для простых полей Кр, р ~ 103); более удобные дл вычислений таблицы приведены в работе Сопчау 111, см.
та гл. 1О, 9 1 и таблицу В. В статье Санзз 111 дана формула Комментария суммы всех примитивных элементов простого ноля [Гр, а в статье 5!егп [11 дана аналогичная формула для суммы всех элементов фиксированного порядка группы [-р, В работе Рогзу!Ь [11 получена формула для суммы й-х степеней всех примитивных элементов поля Гр, см. также Сгагпо!а [11.
Шимичек (5зуш!оке[с 111) вывел формулу для суммы й-х степеней всех примитивных элементов произвольного конечного поля Гд, и даже для суммы й-х степеней всех элементов фиксированного порядка группы гд. В связи со следствием 2.11 заметим, что формула для числа нормированных неприводимых многочленов степени и в кольце Гд [х1 будет получена в теореме 3.25. Зто приведет к новому доказательству следствия 2.11 (см.
замечания, следующие за примером 3.26). $ 2. Важная теорема 2.14 была доказана Галуа (Па!о[з 11 1). Зта теорема выражает тот факт, что каждое конечное расширение Г ~ конечного поля Гд является нормальным расширением, г. е. оно обладает тем свойством, что каждый неприводимый многочлеп из Гд !х1, имеющий хотя бы один корень в поле Гд, разлагается в этом поле на линейные сомножители.
Справедлив и более общий результат: расширение произвольного поля К является конечным нормальным расширением в том и только том случае, если оно является полем разложения над К некоторого многочлена из К [х[. Теорема 2.14, кроме того, показывает, что любое конечное поле является совершенным полем, т.
е. обладает следующим свойством: каждый неприводимый над этим полем многочлен имеет лишь простые корни. В соответствии с известной характеризацией совершенными являются поля характеристики 0 и те поля простой характеристики р, для которых корень р-й степени из любого элемента поля содержится в этом поле. Последнее условие непосредственно и легко проверяется для конечных полей (ср. с упр. 2.12).
Автоморфизм а поля Г над Г, порождающий все автоморфизмы поля Гд, над Г (в соответствии с теоремой 2.21), называется алтоморфизмом Фробениуса поля Гд~ над Г . Группа автоморфнзмов поля Г над Гд носит также название грунаы Галуа поля Г ~ над полем Г . Зта группа играет основную роль в теории Галуа. О теории Галуа см. АгНп [81, баа! 111, ЛасоЬ- зоп 121, [.апя [4, сЬ. 8[„чап г[ег %аегг[еп 12, сЬ.
81 (а также Постников М. М. [1*1. — 'Лерев.), а о том частном ее случае, который рассматривается здесь, см. [л!скзоп [!01 и 5сагр!з 131. В силу теоремы 2.21 группа Галуа поля Гд~ над Гд циклическая, и, следовательно, Гд — циклическое расширение поля [['д, Неприводимые мйогочлены над конечными полями будут рассматриваться и в гл. 3 (особенно в 2 2, 3 и 5).
в 3. Результаты теоремы 2.25 и упр. 2.33 являются частными ~~учаями для следов и норм теоремы 90 Гильберта, справедливой 100 Гл. 2. Строение конечных полей для любого конечного циклического расширения некоторого поля (Н11Ьег1 [2!). См. также упр, 2.30 и 2.31 о других доказатель- ' ствах теоремы 2.25. Об обобщениях теоремы 90 Гильберта см.: А!Ьег[ [3, сЬ. 4], ВопгЬак! [1, сЬ, У, 9 11], ЛасоЬзоп [2] и Ж[п-'; $ег [ 1 ]. В связи с понятием автодуального базиса (см. пример 2.31) заметим, что в статье 5егоизз[, [ ешре! [1 [ показано, что поле Р =: = Г»ы тогда и только тогда имеет автодуальный базис над К =:,. = Г», когда либор четно, либава и и оба нечетны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
