Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если в этом определителе прибавить (т + 1)-й столбец к первому, (т+ 2)-й ко второму и т. д. и, наконец, (2т — 1)-й столбец к (т — 1)-му, то в результате получится определитель, равный произведению определителя диагональной матрицы порядка т — 1 Гл.
2, Строение конечных полей с элементами — 1 по главной диагонали и определители (2.6)' Поэтому !х (К д) с точностью до знака равен определителю (2.6); Утверждение теоремы вытекает теперь из следствия 2.38 и то факта, что Я (К д) ~ О тогда и только тогда, когда многочлены и у взаимно просты. В связи со сказанным выше упомянем без доказательства ещ один результат о нормальном базисе. 2.40. Теорема. Для каждого конечного поля г" суи!ествуе ' нормальный базис этоса поля над его простым подполем, которы состоит из примитивных элементов поля Р. 5 4. Корни нз единицы и круговые многочлеиы В этом параграфе мы исследуем поле разложения многочлена.
х" — 1 над произвольным полем К, где и — натуральное число., Кроме того, мы получим обобщение понятия корня из единицы, хорошо известного для комплексных чисел. 2.41. Определение. Для натурального числа и поле разложе-'; ния многочлена х" — 1 над произвольным полем К называетс и-круговым (или и-циклотомическим) полем над К и обознача', ется Кы>. Корни многочлена х" — ! из поля Кгт называются:, корнями и-й степени из единицы над К; множество этих корне ' обозначим Е'"'. В том частном случае, когда К вЂ” поле рациональных чисел Кио представляет собой некоторое подполе поля 1.: комплексны!1" чисел, а корни и-й степени из единицы имеют известную геометри ~., ческую интерпретацию: они являются вершинами правильно п-угольника, вписанного в единичную окружность с центром в на', чале координат, в комплексной плоскости. Для наших целей наиболее важен случай конечного поля К.
Однако основные свойства корней из единицы можно установитЬ без ограничительного предположения о конечности поля К ' Как показывает следующая теорема, структура множества Е!ц определяется соотношением между числом и и характеристико, поля К. Говоря ниже о характеристике р поля К, мы не исключае случая р = О. 2.42. Теорема. Пусть и Е 1ч и К вЂ” поле характеристики, Тогда (1) Если р не делит и, то множество Еио является цикли ской подгруппой порядка и мультипликативной группы поля К!е, (В) Если р делит и и и =- тр', где т, е Е 1ч и р не делит то Кы> = Кит Егт = Е<ео и корнями многочлена х"— а поле К!о> являются т элементов множества Е! ">, каждый которых имеет кратность р'.
$ 4. Корни из единицы и круговые многочлены Доказательсп«во. (1) Случай п = 1 тривиален. Для и .=» 2 многочлен х" — 1 н его производная пх" ' общих корней не имеют, так как пх" ' имеет единственный корень О в ~оле К<"«.Поэтому по теореме 1.68 многочлен х" — 1 не может иметь кратных корней, так что множество Еон состоит нз и элементов. Далее, если ~, «! ~ Ет«, то (~«) ')" = ь'* («!") — ' = 1, так что ь«) — ' Е Е«н«.
Следовательно, Е<"« — мультнплнкатнвная группа. Пусть и = р,' ... р," — разложение числа и на простые сомножителя. Тогда такое же рассуждение, как н прн доказательстве теоремы 2.8, приводит к существованию для каждого «', 1 ~ « ~ 1, элемента а; ~ Егн>, который не является корнем многочлена х"~л« вЂ” 1, так что элеи/р е« е мент р« = аг ' имеет порядок р, н, следовательно, Егн«вЂ” циклическая группа с образующим элементом р = р« ... Р«. (1!) Это утверждение сразу вытекает нз («) н равенств х" — 1 = х ее ! (хе« !)не П 2.43. Определенне. Пусть К вЂ” поле характеристики р н и— натуральное число, не делящееся на р. Тогда образующий элемент циклической группы Еип называется первообразным (нлн примитивным) корнем пой степени из единица над полем К.
Из теоремы 1.15 (у) мы получаем, что если р не делит и, то существует ровно «р (и) различных первообразных корней и-й ««епенн нз единицы над полем К. Если «. — один нз ннх, то все цервообразные корни я-й степени нз единицы над К имеют внд ь', где 1 ~ з к и, НОД (з, и) = 1. Большой интерес представляют многочлены, корнями которых являются все первообразные корни и-й степени нз единицы над полем К н только онн. 2.44. Определение. Пусть К вЂ” поле характеристики р, и— натуральное число, не делящееся на р, н ь — первообразный коРень п-й степени нз единицы над К.
Тогда многочлен и «е„(х) = П (х — ь') нод (з, н« =! называется и-круговым (нлн и-циклатомическим) многочленом над полем К. Ясно, что многочлен «е„ (х) не зависит от выбора элемента ь. Его степень ранна «р (и), а его коэффициенты, очевидно, принадлежат и-круговому полю над К. Однако несложное рассуждение показывает, что на самом деле онн принадлежат простому подпалю поля К.
Будем ниже использовать символ П для обозначения пРоизведения, распространяющегося на все натуральные делители с( натурального числа и Гл. 2. Строение конечных полей 2.45. Теорема. Пусть К вЂ” поле характеристики р и и —, натуральное число, не делящееся на р. Тогда (1 ) х" — 1 = П (гв (х); л!и (й) коэффициенты и-кругового многочлена (с (х) принадле ' жат простому подпалю поля К, если р — простое число, ил кольцу к" целых чисел, если р = О. Доказательство. (!) 'Каждый корень п-й степени из едини над полем К является первообразным корнем х(-й степени изй единицы над К ровно для одного натурального делителя д числа и,-' А именно если Г,' — произвольный корень и-й степени из единицьй над К (где ~ — некоторый первообразный корень и-й степени из" единицы над К), то указанное число д равно и/ИОД (в, и), т. е.
х(— порядок элемента ~' в группе Е<н1. Поскольку "— 1=П( -г), 6=! формула в утверждении (1) получается собиранием тех множите" лей (х — ~'), для которых ~' является первообразным корнем х(-Й; степени из единицы над К (для.каждого положительного делителя Ф; числа и). (й) Это утверждение доказывается индукцией по и. Отметим, что Я„(х) — нормированный многочлен. Для и = 1 имеем,' (Ех (х) = х — 1, и утверждение справедливо. Пусть теперь и > 1н. и допустим, что утверждение справедливо для всех (гл (х), 1 ~ д < и. Тогда ввиду (1) получаем, что 9„(х) = (х" — !)Ч~(х)з где ! (х) = Ц 9л (х). Из предположения индукции следует л ! и, л<п что ) (х) — многочлен с коэффициентами из простого подпол поля К (при простом р) или из кольца л (при р = О).
Применя, обычное деление углом многочлена х" — 1 на г (х), где ) (х) нормированный многочлен, легко убеждаемся, что козффициен ' многочлена Я„(х) тоже принадлежат простому подпалю поля (при простом р) или кольцу Е (при р = О). 2,46. Пример. Пусть г — простое число и й Е !)ч. Тогда 9 ь(х) = 1+х' '+х" + +хи-и' так как по теореме 2.45 (!) хг — ! — 1 01(х) ц,(х) ...
О х ~ (х) ххь-1 Для й =- 1 имеем просто (е,(х) = 1+ х+ хо+ ... + х' ', Явное выражение для и-кругового многочлена, обобщаю формулу из примера 2.4б, мы дадим в $ 2 гл. 3. Для приложен 4 4. Корин ив единицы н круговме многочленм 87 к конечным полям полезно знать некоторые свойства круговых полей. 2.47. Теорема. Круговое поле Кы~ является простым алгебраическим расширением поля К. Кроме того, (1) Если К = (;1, то 1К'"': К ! = ю (я), причем круговой много- глен ()„неприводим над К (здесь ~р — функция Эйлера). (й) Если К = |Гч и НОД (о, п) = 1, то (К<">: К! =,й, где д — наименьшее натуральное число, такое, что ог: — 1 (шод и).
При этом круговой многочлен (), разлагается в произведение р (п)Ы различных нормированных неприводимых многочленов из К 1х! одной и той же степени д и Кои является полем разложения каждого из этих многочленов. Доказательство. Если существует первообразный корень п-й степени из единицы ь" над К, то ясно, что Коп = К (ь). В противном случае К вЂ” поле простой характеристики р, делящей число и, и мы попадаем в ситуацию, описанную в теореме 2.42 (й), ~ тогда Ксо = К<"'~, где и = тр', НОД (т, р) = 1, так что снова Коо =- К (ь), поскольку существует первообразный корень т-й .;спени из единицы ь над К. Из остальных утверждений мы докажем лишь (й) как случай, особенно важный для наших целей.
Пусть т) — первообразный корень и-й степени из единицы над г'и. Тогда т) Е !г» в том и только том случае, если т)ч =- т), а это равенство эквивалентно сравнению д» = 1 (шод и). Наименьшее натуральное число й„ для которого выполняется это сравнение, равно й, так что Ч ~ сс Г в, но т) не пРинадлежит никакомУ собственномУ поДполю поля Е в.
Поэтому минимальный многочлен элемента т) над полем К = Рч имеет степень й, и так как т) — произвольный корень многочлена 1г„, то требуемый результат установлен. () 2.48. Пример. Пусть К = Км и 9»» (х) = х» — х'+ 1 Е с Гм (х), В обозначениях теоремы 2.47(й) мы имеем й = 2, Действительно, разложение многочлена Я,в (х) на неприводимые сомножители в кольце !г'„!х! имеет вид Я,в(х) = (х'+ + 5х + 1) (хв — 5х+ 1). Круговым полем Кан является г'»вь Дальнейшую связь между круговыми и конечными полями устанавливает следующая теорема. 2.49. Теорема. Конечное поле !1' является (д — 1)-круговым полем над любым из своих подполей. Доказательство. Многочлен хч-' — ! вполне разлагается в поле Гч, так как его корнями являются как раз все ненулевые элементы поля Гч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
