Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 14
Текст из файла (страница 14)
'! ( ! ( з (например, используя интерполяцнонную формулу Лагранжа нз ~гаремы !.71). (4) Выясним, какие из этих многочленов а являются делителями исходного чногочлена 1. Если деа (1) = л~! и з — наибольшее целое число, не превосходящее л)2, то многочлен 1 непрйводнм в кольце я [х[ в том случае, когда указанный метод выявляет в качестве делителей 1 лишь постоянные многочлены а. В остальных случаях метод Кронекера обязательно приводит к нетривиальному Разложению многочлена 1. Применяя затем тот же метод к полученным сомножителям и повторяя этот процесс, мы получим в конце концов каноническое разложение многочлена 1 в кольце Я [х[. Использовать указанную процедуру для нахождения канонического разложения многочлена 1 5 17 ха+2„. +8" — — — Е~[) 3 3 3 Гл. !. Алгебраические основы 1.31.
Построить таблицы сложения н умножения для факторкольпд,', г'з [х)/(хз + хз + х), Определить, будет лн это кольцо полем. 1.32. Пусть [х + !) — класс вычетов многочлена х + ! в факторкольце", г'з [х)/(ха+ !). Найти классы вычетов, составляющие главный идеал ([х+ 1))й в укаэанном факторкольце. 1.33.
Пусть Р— поле н а, Ь, я Е Р [х), причем д чь О. Доказать, что'[ сравнение а/ ж Ь (щи я) имеет решение / Е г" [х) тогда и только тогда, когда,~ НОД (а, я) делит многачлен Ь. 1.34. Решить сравнение (х + !) /(х): — ! (шод (хз+ !)) в й'з [х), если этп) возможно. !.35. Решить, если это возможно, сравнение (ха+ хз+ х'+ !) /(х) = — х'+ ! (шоб (хз+ 1)) в г', [х).
1.38. Доказать, что факторкольцо )с [х)/(х'+ хз+ х+ !) не может быть4 полем, каким бы нн было коммутативное кольцо )с с единицей. 1 1.37. Доказать, что если Р— поле, я» ..., яь — произвольные, а /,, ..., /ь — 4 ненулевые попарно взаимно простые многочлены нз Е [х[, то система сравнений'1 Й = — /Д (щи /;), 1 = 1, ..., Ь, имеет единственное решение Ь Е г" [х) по мо. ) дулю / = /, ... /ь (китайская теорема об остатках для кольца г" [х)), 1.38.
Подсчитать /(3) для многочлеиа /(х) =-хам+ Зятья+ 2хзг+ 2 Е Кз [х[, !) 1.39. Пусть р — простое число, ае, ..., ая Е Л и р не делит а„. Показать,. что сравнение а, + аму+ ... +а„уа = О (щи р) имеет не более и различных,'' решений у по модулю р. 1.40. Доказать, что для простого числа р) 2 существует ровно два элей мента а Е [Г~.„таких, что аз = !. 1.41. Показать, что многочлен/ Е Л [х), такой, что/(О) .: — /(!) = — ' ! (пюд2),; не может иметь корней в Л. 1.42.
Пусть р — простое число н / Е У [х). Показать, что сравнение /(а) щ' ы О (пей р) выполняется для всех а Е 7 ятом н только том случае, если /(х) = (хв — х) д(х) + рй (х) для некоторых 8, Ь Е У [х[. 1.43. Пусть р — простое число н с — элемент некоторого поля Е. Пою.,'; ,и( зать, что многочлен хэ — с тогда н только тогда непрнводнм над Р, когдя[ он не имеет корней в поле г". 1.44. Показать, что для многочлена / положительной степени над полем /я следующие условия эквивалентны; (а) многочлен / непрнводнм над Р; (Ь) главный идеал (/) кольца г" [х) является максимальным идеалом; (с) главный идеал (/) кольца г" [х) является простым идеалом..у !.43.
Доказать следующие свойства производной многочленов над полем г/ () (/,+" +/.) =/[+" +/.' (Ь) (/К)' = /'й + /8', л (с) (/, ... / )' = ~ /, ) г=! 1.48. Пусть / — многочлен над полем Р. Доказать, что если характеристн поля Р равна О, то /' = О тогда и только тогда, когда / — постоянный многочл если же г" — поле простой характеристики р, то /' = О тогда н только тогд ' когда /(х) = я(хэ) для некоторого многочлена 8 Е г [х).
и 1.47. Доказать теорему !.68. !.48. Доказать, что ненулевой мнагочлен / над полем Р имеет кратные кор (из некоторого расшярения поля г) тогда н только тогда, когда / и /' не вэаим просты, Упражнения 1,49. Применить критерий, полученный в предыдущем упражнении, для выяснения вопроса, имеют ли следующие многочлены кратные корни: (а) / (х) = хз — 5хз+ бхз+ 4х — 8 Е Я [х]! (Ь) / (х) =- хз + х' + хз + хз + 1 ~ 9'з [х 1, !.50. и-я производная /!и> многочлена / над полем и" определяется рекур.
рентно следующим образом: /!а> =- /, /("> = (/Ш '>)' для и ь!. Доказать, что для /, л ~ Р [х[ имеет место соотношение (/9)(и> = Е (и ) /(" — '>9!>> >=о (формула Лейбница). 1.5!. Пусть р — некоторое поле н й — натуральное число (если Р— поле простой характеристики р, то предполагается, чта Ф ( р). Доказать, что элемент Ь Е Р является корнем кратности й многочлена / Е и" [х] в том н только ~ом случае, если /!>> (Ь) = О для 0 < > ( й — 1 н /! > (Ь) ~ О. 1.52.
Доказать, что ннтерполяционную формулу Лагранжа (см. теорему , '7!) можно записать также в следующем виде: и / (х) = ~~~> Ь> (и' (и>)) ~ >=о где я (х) = П (х — а>,). !.53. Найти многочлен / Е Ьз [х), такой, что /(0) = /(1) = /(4) = 1, ;. / (2) = / (3) = 3, !.54. Найти многочлен / Е Е) [х) степени (3, такой, что/( — 1) = — — 1, / (О) = 3, / (1) = 3, / (2) = 5. 1 55, Выразить многочлен за (х„хз, хз, хз) = — х,"+ х]+ х]+х(в Е Ьз [хм хз х„, хз] через элементарные симметрические многочлены от четырех переменных а,, ат, а, н аз (см, пример 1.74). 1.58.
Доказать, что подмножество К поля Р является его подполем тогда н только тогда, когда выполняются следующие условия: (а) К содержит по крайней мере два элемента; (Ь) если а, Ь Е К, то а — Ь с К; (с) если а, Ь й К и Ь чь О, то аЬ ' й К. 1.57. Доказать, что расширение Е поли К является конечным расширением в том н только том случае, если Е может быть получено нз К присоединением конечного числа алгебраических над К элементов. 1.58. Доказать, чта если Π— алгебраический элемент над полем Е, где Š— алгебраическое расширение поля К, то элемент О явлиется алгебраическим '>зкже над полем К.
Это значит, чта если Р— алгебраическое расширение поля /., та г — в то же время и алгебраическое расширение поля К. 1.59. Доказать, что если Š— расширение поля К н степень [Е: К] — про- 'гое число, то едннственнымн полямн Р, удовлетворяющими условию К я Р щ =. 7., являются Р =- К и Р = Е. 1.80. Построить таблицы сложения н умножения для поля Š— Ьз(О) нз примера !.88 нзд 9, многачлена /(х) "'+ + В 5'з 1х] и построить таблицы операций для простого расширения 5'з (О), где Π— корень многочлена /. 1.52.
Вычислить днскриминант Е> (/) многочлена / н с его помощью выяс- ни>ть, имеет нлн нет многочлен / кратные корни: (а) / (х) = 2хз — Зхз+ х+ 1 с (;> [х!; О>) / (х) = 2хз+ хз+ хэ+ 2х+ 2 к йз [х]. 1.53, Вывестя формулу (!.9) из (1.1!). 64 Гл. 1. Алгебраические основы 1.64. Доказать, что многочлены / и я из К [х[ (К вЂ” поле) имеют общ корень (из некоторого расширения поля К) в том и только том случае, если и д имеют общий делитель положительной степени из К [х[. 1.6$.
Найти общие корни многочленов х' — 2х' — ха+ 2 и х' — 3ха — х + 3 из () [х). 1.66. Доказать, что если / и д — многочлены из определения 1.93, то )7 (/ к) = ( — 1) )с (к /). 1.67. Пусть / н я — многочлены положительной степени над полем и пусть в поле раз.тоження многочлена /я над К имеем /(х) = а,(х — а ) „ ... (х — ап), па чь О, я (х) = Ьа (х — [1,) ... (х — [)га), Ь„.—,ь О.
Доказать, что м а а$ /с(/, й) =( — 1) "ЬоП /(В()= оЬЗП П (пг — [)1), /=! с=1/=! где в качестве формальных степеней многочленов / и я берутся соответственн' их степени и и т. 1.68. Вычислить результант )т (/, я) двух данных многочленов / ид(пр формальных степенях, совпадающих со степенями) и выяснить, имеют или и ' этн многочлены общие корин: (а) / (х) = х' + х -~- 1, д (х) = — 2х' + х' -' 2 ч к'а [х [; (Ь) / (х) =- ха + х' + 1, я (х) = х' + хз -ь х + 1 ~ Г, [х ).
1.69. Для многочле«а / Е К [х„..., х„[ от и > 2 переменных над полем нулем можно назвать такой и-набор (а,, ..., пп) элементов пг, принадлежащий некоторому расширению поля К, для которого /(ам ..., аа) = — О. Пусть тенер /, й ч К [х,, ..., х„[ и переменная х„фактически входит в многочлены / и й' Тогда оба этих многочлена можно рассматривать как многочлены / (х„) и 6 (х положительной степени от одной переменной х„из кольца К [х,, ..., хп г[ [х„а Результант этик многочленов (при формальных степенях, совпадающих со с пенЯми) )с (/, 6) = )тх„(/, 6) тогда ЯвлЯетсЯ многочленом от пеРемеииы х„..., х„,. Показать, что многочлены/ и д имеют общий нуль (ссд, ..., ссп тг сс„) тогда н только тогда, когда (и — 1)-набор (сс,, ...,ссп т) является иул результанта )г (/, 6). 1.76. Используя результат предыдущего упражнения, найти общие иул ' многочленов / (х, у) = х (уа — х)'+ уз и я (х, у) =- уа+ уа — х' нз я [х, у[а Глава 2 Строение конечных полей Это наиболее важная глава, так как в ней излагаются основные свойства конечных полей и описываются методы построения конечных полей.
Наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов по простому модулю, т. е. факторкольцо У!(р)„ где р — простое число. Многие свойства этого поля сохраняются и для произвольных конечных полей. В ~ 1 устанавливается, что порядком каждого конечного поля является некоторая степень простого числа и, наоборот, для каждой степени простого числа д == и", и ~ г(, существует конечное поле, состоящее из д элементов. Более того, оказывается, что зсе конечные поля с одним и тем же числом элементов изоморфны друг другу и потому могут быть отождествлены. В следующих двух параграфах даются сведения о корнях пеприводимых многочленов, позволяющие рассматривать каждое конечное поле как поле разложения некоторого неприводимого мпогочлена над его простым подполем, а также о следах, нормах и базисах, определяемых конечным полем и его расширением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
