Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда а = ( (О) = д (О) ',, й'(0)+ г(0) = г(0), и потому а является линейной комбинам, цией элементов 1, О, ..., О"-' с коэффициентами из К. С другой; стороны, если для некоторых а, Е К имеет место равенство аа +; + а,О + . + а„,8"-' = О, то О является корнем многочлен ' Ь (х) = ае+ а,х+ + а„,х" — ' Е К [х), и потому Й в сил,':, теоремы 1.82 (!!) кратен д. Но поскольку с[ед (Ь) < и = с[ей (й)~' это возможно лишь при условии, что й = О, т. е.
что все а; равны Очй Поэтому элементы 1, О, ..., О"-' линейно независимы над К'„' что доказывает (й). (Рй) Поле К (О) является конечным расширением поля ввиду (й). Поэтому элемент и ~ К (0) будет в силу теоремы 1. алгебраическим над К. Далее, К (сс) — подполе поля К (6 Если д — степень элемента а над К, то из (й) и теоремы 1.84 сл дует, что и = [К (0): К) = [К(0): К(а)[ [К(а):.К[, так с[ = [К(а): К! делит и. Таким образом, элементами простого алгебраического расш " рения К (8) поля К являются значения многочленов от х с к фициентами из поля К при х = О.
При этом любой элемент пол К (О) может быть однозначно представлен в виде а, + а,О +. ... + а„, О"-', где а, ~ К, О ~ 1 < и — 1. Как подчеркивалось выше, в теореме 1.86 предполагается, поле К и элемент 0 принадлежат некоторому большему полю Это необходимо для того, чтобы алгебраические выражения, соде жащие О, имели смысл.
Но сейчас мы хотим построить прост ь) Миогочлен над К можно рассматривать н как многочлеи над г". — Пр нерва. 4 4. Расширения полей алгебраическое расширение а)з очо '), т. е. без ссылок на предва- рительно заданное большее поле. Идея этого построения содер- жится в п. (1) теоремы 1.86. 1.87. Теорема. Пусть многочлен / (- К (х1 неприводим над полем К.
Тогда существует простое алгебраическое расширение поля К, образующим элементом которого является некоторый корень многочлена /, Доказательство. Рассмотрим факторкольцо Л = К !х)/(/), ко- торое по теореме 1.61 является полем, Элементами кольца являются классы вычетов [И1 = И + (/), где И Е К (х]. Для каждого а ь- К мы можем построить класс вычетов [а1, определяе- мый постоянным миогочленом а, и если а, Ь ~ К различны, то [а! Ф (Ь), так как / имеет положительную степень.
Отображение а (а1 дает изоморфизм поля К на некоторое подполе К' поля 1„ так что поле К' можно отождествить с К. Другими словами, мы можем рассматривать поле /. как расширение поля К. Для каж- дого многочлеиа И (х) ~ а, + а,х + ... + а х'" ~ К (х1 в соот- ветствии с правилами действий с классами вычетов и учитывая отождествление (а, ] = аь получаем (И) = [а, + а,х+ ... + а„х ) = =- [ае]+[а»][х1+ ... +[а„) [х]'" = а»-+а,[х!+...
+а [х]'" Таким образом, каждый элемент поля /. может быть записан как миогочлен от «переменной» (х] с коэффициентами из К. Так как любое поле, одновременно содержащее К и (х1, должно содержать и каждый такой элемент (И), то /. является простым расширением. поля К, получаемым присоединением элемента [х]. Если /(х) = -- Ь, + Ь,х + ... + Ь„х", то / ((х 1) = Ь, + Ь, (х] + ... + Ь„[х)" = = (Ь, + Ь,х+ ...
+ Ь„х" 1 = [/1 = [О], так что [х1 является корнем многочлена / и, следовательно, /, есть простое алгебра- ическое расширение поля К. П 1.88. Пример. В качестве примера формального процесса при- соединения корня, описанного в теореме 1.87, рассмотрим простое поле Га и многочлен /(х) = х'+ х+ 2 ~ (/а [х1, который не- приводим над Га. Пусть 8 = [х] — некоторый «корень» много- члена/, т.
е. класс вычетов х + (/) из факторкольца /. = 'га[х]/(/). Другим корнем многочлена / в /. является тогда 20 + 2, поскольку / (20 + 2) = (20 + 2)' + (28 + 2) + 2 = 0' + 8 + 2 = О. Как следует из теоремы 1.86 (П), простое алгебраическое расширение /- == Та (8) состоит из девяти элементов: О, 1, 2, О, 8 + 1, 0 + 2, 20 + 1, 20 + 2. Таблицы операций для /. можно построить р р !.б2. П 2 ) б - — -. б„б-*.~.. ° ..
° -.. — и рчлбб. 52 Гл. П Алгеаранческне основы Заметим, что в рассмотренном примере мы могли бы вместо 0 присоединить к полю Г а корень 20+ 2 того же многочлена и получили бы то же самое поле Е. Эта ситуация обобщаетсяа следующим легко проверяемым результатом. 1. 89. Теорема. Пусть а и р — два карня многочлена ~ К !х), который неприводим пад полем К. Тогда простые рас'., ширения К (и) и К (р) изоморфны, причем иэоморфизм осущест вляется отображением, переводяи(им элемент а в р и оставляю» щим неизменными элементы поля К.
Теперь займемся такими расширениями поля К, которым' принадлежат все корни некоторого заданного многочлена над К. 1.90. Определение. Пусть многочлен 7 ~ К !х) имеет поло'' жительную степень, и пусть Р— некоторое расширение поля К.: Тогда говорят, что многочлен 7'вполне разлагается (эр!Н) в поле Р, если ) можно записать в виде произведения линейных сомножите'. лей из Р (х), т. е. существуют такие элементы иы ..., а„Е Р, чт6 1 (х) = а (х — и,) ... (х — а„), где а — старший коэффициент многочлена г. Поле Р называется( полем разложения миогочлеиа ) над полем К, если г вполне разла,: гается в поле Р и, кроме того, Р = К (а„..., а„). Ясно, что поле разложения Р многочлена 7 иад полем К я ляется наименьшим из полей, содержащих одновременно.К и вен корни многочлена 7, в следующем смысле: никакое собственн подполе поля Р, являющееся расширением поля К, не может содер~'' жать всех корней миогочлена ).
Повторным применением проФ цесса, описанного в теореме 1.87, можно получить первую час' " следующего предложения. Вторая часть является обобщение теоремы 1.89. 1.91. Теорема (существование и единственность поля разл . жения). Если К вЂ” некоторое поле и )' — м~огочлеп положите кой степени из К [х), то существует поле разложения м~огочлена: над К. Любые два поля разложения мпогочлена 7' нод К изоморфп и соответствующии изоморфизм оставляет неизменными элемен поля К и осуи(ествляет некоторую перестановку корней мно члена 7'.
Поскольку изоморфные поля можно отождествить, мы можа говорить о вполне определенном поле разложения многочлена над полем К. Оно получается присоединением к полю К конечно . числа алгебраических над К элементов, и потому (как мож ' показать на основании теорем 1.84 и 1.86 (И)) поле разложен, многочлена 7' иад К является конечным расширением поля К.' Чтобы продемонстрировать полезность полей разложеии воспользуемся ими для решения следующей задачи: как выяснит ' 4 4. Расширения полей имеет или нет данный многочлен кратные корни (см. определение 1.65)7 1.92. Определение.
Пусть ! р К [х] — некоторый многочлен степени и 2, и пусть 1 (х) = а, (х — а,) ... (х — а„), где а,, ... ., и„— элементы поля разложения многочлена 7 над полем К. тогда дискриминант 0 (]::) многочлена 7' определяется так: О()) = ае~" ' П (а; — а!)~. 1к!<у<о Из определения Р ([) ясно, что многочлен ) в том и только том случае имеет кратный корень, когда В(7) = О. Заметим, что днскриминант Р([), хоть он и определяется через элементы расширения поля К, на самом деле является элементом самого поля К. Для небольших а это можно показать простым подсчетом. Например, если п = 2 и Т (х) = ах' + Ьх + с = а (х — а,) (х — а,), то О(!) = а' (а, — а,)е = а' ((а, + а,)' — 4а,и,) = = а' (Ь'а ' — 4са-'), откуда получается выражение, хорошо известное нз теории квад- ратных уравнений: Р(ах'+ Ьх + с) = ЬЯ вЂ” 4ас.
Если п = 3 и !' (х) = ах' + Ьх' + сх + е( = а (х — а,) (х— ие) (х — ае), то Р([) = а'(а, — а,)' (а, — а,)' (а,— а,)', и несколько более сложный подсчет показывает, что Р(ах'+ Ьх' + сх + 4[) = = Ьесе — 4Ьее[ — 4ас' — 27аее[Я + 18 аЬсй. (1.9) В общем случае рассмотрим сначала многочлен з ~ К [х,, ..., х„], заданный выражением з(хь ..., хп) = аоо" ~ П (х; — х;)'. 1косгмп 1огда очевидно, что з — симметрический многочлен, и по основ- ной теореме о таких многочленах (см. пример !.74) его можно представить в виде некоторого многочлена от элементарных сим- метрических многочленов о„..., о„с коэффициентами из поля К: э =- Ь (о„„, о„) для некоторого Ь Е К [х„..., х„]. Если [(х) == аох" + а,х" †' + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
