Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Справедлив тако общий результат: любое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Свойство, устанавливаемое теоремой 1.59, тоже сохраняется и при более общих предположениях. Введем следующее опредеи ление. Целостное кольцо, в котором выполняется теорема об одно':, значном разложении на простые сомножители, т. е. в котороМ, каждый отличный от нуля элемент, не являющийся делителем единицы, может быть однозначно (с точностью до делителей единицы и до порядка сомножителей) представлен в виде произведел иия простых элементов, называется факториальным кольцом нли: кольцом е однозначным разложением на простые сомножители,- Таким образом, коротко говоря, теорема 1.59 утверждает, чу' кольцо Р [х) многочленов над полем и является факториальнымг Более того, любое кольцо главных идеалов тоже является факт риальным.
Китайская теорема об остатках (см. упр. 1,37) являетс![ частным случаем общего результата такого типа, доказанногц, в книге Лента [.апя 14, сЬ. 21. Много фактов о многочленах от одной или нескольких переменных содержится в книгах Кес[е! 1101 и чап бег Фаегс[е !21 и в монографии повышенного типа о многочленах [.ацзсЬ;, Ь[оЬацег [11. й 4. В этом параграфе основными являются теоремы 1.8 и 1.87. В сущности, можно сказать, что теорема !.87 устанавлн вает один из наиболее фундаментальных результатов теори полей.
Зтот результат, принадлежащий Кронекеру (Кгопес1с [8 1), гарантирует для любого непостоянного многочлена н полем г существование такого расширения поля г", в которо этот многочлен имеет корень. Более того, доказательство это теоремы не просто дает обоснование факта существования ука занного расширения — оно дает также метод построения требуе мого расширения. Можно классифицировать элементы расширения и поля К[ по их отношению к полю К. Если 8 Е и, то простое расширение. К (О) поля К либо изоморфно полю К (х) рациональных функций над К (называемому также полем частных кольца К [х[), либ (в силу теоремы 1.86) изоморфно факторкольцу К 1х[/(д), гд и Е К [х1 — некоторый неприводимый многочлен, для которо Упражнения элемент 0 является корнем.
В первом случае элемент 0 называется трансцендентным над К, во втором, как нам уже известно, 0 является алгебраическим над К. Расширение К поля К, которое не является алгебраическим, называется трансцендентным. Примеров трансцендентных элементов можно привести сколько угодно. Так, ббльшая часть действительных чисел (например, е, и, 2 г -', ...) — это трансцендентные над полем рациональных чисел () числа. Поля разложения существуют не только для одного непостоянного многочлена над полем К, но и для любой совокупности таких многочленов. Поле разложения над К совокупности всех непостоянных многочленов из К (х) называется алгебраическим замыканием К поля К. Это поле является алгебраическим расширением полн К со следующим дополнительным свойством: любой непостоянный многочлен из К !х) вполне разлагается в поле К.
Для случаев К = ( ! и К = (гр алгебраическое замыкание К служит примером алгебраического расширения поля К, которое не является конечным расширением этого поля. Абстрактная теория расширений полей была развита в фундаментальной статье Яе1п((х 11). Более ранние исследования в этом направлении проведены в работах Кпезег !11, Кгопес)сег !5), !0) н %еЬег (31. Упражнения 1.1. Доказать, что единичный элемент группы определяется однозначно.
1.2, Пусть 6 — муаьтнпликатнвная группа. Доказать, что непустое под- множество Н группы 6 является подгруппой этой группы в том н только том слу- чае, когда нз а, Ь Р Н следует аЬ ' Е Н. Есан Н конечно, то указанкое условие можно заменить таким: из а, Ь р Н следует аЬ Е Н. 1.3. Пусть а — элемент конечного порядка й мухьтнплнкативной группы 6. !1оказать, что дая щ С У равенство а~ = е выполняется тогда и только тогда, когда Ь делит щ. 1 4 Для щ Е т( функция эйлера щ (щ) определяется как число натуральных чисел Ь, не превосходящих щ, которые взаимно просты с щ. Доказать следующие свойства этой функции (здесь щ, л, з Е И н р — простое число): '"(') ='('- — ') ' Р (Ь) <р(щп) = ф(щ) ~р(п), если НОД (щ, и) = 1; (с) ю (щ) = щ (1 — ), ( ! — !, где щ = р,х ...
р ' — разложеРх Рг пне щ на простые сомножнтелн. 1 5. Найти ~р (490) н ~р (768). 1.8. Доказать следующее утверждение: если порядок группы равен р', "де Р— простое число, з Е и, то порядок ее центра делится на р (использовать теорему ! 27 — уравнение классов сопряженности). 1 7. Доказать, что в кольце )7 для всех а, Ь Р )7 имеет место' равенство (- ) ( — Ь) = аЬ, 60 Гл. !. Алгебраические основы 1.3, Доказать, что в коммутативном кольце Я для всех а, Ь 5 )7 н л 5 И справедлива формула (а + Ь)" = а" + ( ) а" 'Ь + ... + ( ) аЬ" ' + Ь", г" ()=- . лг л! д Ь/ Ь ! (л — Ь) ! ' (формула бинома) !.9.
Пусть р Е У вЂ” простое число. Для любого а 5 Е, не делящегоск на р, показать, что р делит число ао ! — ! (малая теорема Ферма). 1.1О. Доказать, что для любого простого числа р имеет место сравнении (р — !)! ш — ! (глоб р) (теорема Вильсона). гр — !' 1.11. Доказать, что если р — простое число, то ( . ) = ( — 1)! (шоб ! для 0 ~~ ! » ~Р— ! ! с л.
1.12. Ферма высказал гипотезу, что для всех целых неотрицательных чисел и число 2з" + ! является простым. Эйлер нашел гротнворечащнй пример; число: 64! делит 2з' + !. Подтвердить зто, используя сравнения. 1.13. Доказать, что если ш,, ..., гла — натуральные попарно взаимно простые числа, т. е. НОД (глг, шг) = ! для ! » ~! ( / » й, то для любых целых', чисел а„..., аь система сравнений у .—. а; (шоб т!), ! = 1, ..., й, имеет реше.' ине у, определенное однозначно по модулю гл = т, ...
ша (китайская теорема: об остатках). 1.14. Решить систему сравнений 5х = 20 (шод 6), бх = 6 (шод 5), 4х ш', и 5 (пюд 77). 1.15. Показать, что если Я вЂ” коммутатнвное кольцо простой характерич' стикн р, то при любых а„..., а, 5 /7 (а, + ... + а,)о = а", + ... + а," . 1.16. Вывестн нз результата упр. !.! 1, что в коммутативном кольце Я про-' стой характеристики р для всех а, Ь р К имеет место равенство о — ! (а — Ь)Р ' = ~ агЬо !=.о !.17. Пусть р — поле н / 5 р [х). Доказать, что совокупность многочлено!Ь' (у (/(х)) [д 5 р [х)) совпадает с кольцом р [х[ тогда н только тогда, когдК бей (/) = !.
1.18. Показать, что нз равенства р' (х) — хдз (х) = — хгз (х), где р, д, г 5: 5 Р[х), следует, что р=у=г=-О. ц 1.19. Пусть Р— поле н /, д 5 г" [х[. Показать, что главный идеал (/[!, содержится в главном идеале (д) тогда н только тогда, когда многочлен а делит /.[ 1.20. Доказать следующее предложение, Если Р— поле н многочлены /,; у 5 р [х) взаимно просты и не являются постоянными одновременно, то суще. ствуют многочлсны а, Ь Е р [х), такие, что бей (а) ( бей (у), бей (Ь) ( дей (/)' н а/+ Ьл =- !. 1.21. Пусть для многочленов /,, ..., /„5 р [х), где р — поле, НОД (/г, ...' ..., /„) = — г), так что /; = буь где у! 5 Р [х), ! =- 1, ..., л.
Доказать, что много-, члены у» ..., уо взаймно просты. 1.22. Доказать, что для миогочленов /,, ..., /о Е Р [х[, где Р— поле л > 3, справедливо соотношение НОД (/,, ..., /„) = НОД (НОД (/„..., /„,), /„). Упражнения 1.23. Пусть Р— паче н 1, а, Ь Е Р [х[, Доказать, что если 1 делит йй н НОД (1, а) = 1, то 1 делит Ь. 1,24. Применяя алгоритм Евклида, найти НОД (1, а) для следующих много- членов 1 н а с коэффициентами нз указанного поля Р: (а) Р = Я, 1 (х) =- хт + 2хь + 2хт — х+ 2, а (х ) = ха — 2хз — ха+ хэ+ -~ 2х+ 3; (Ь] Р = [Рз, 1(х) = х' + 1, й (х) = хз + ха + х + 1; (с) Р -- Кз, 1 (х) = хь + х + 1, й (х) =- ха + хз + хз + 1; (б) Р— — й а, 1(х) = ха + 2хь + хэ + хз + 1, а '(х) = 2х' + хз + 2хз + 2х" Ь 2. 1.23.
Пусть 1,, ..., 1„— ненулевые многочлены нз Р [х[, где Р— поле. Доказать существование н единственность нормированного мкогочлена т Е ;- Р [х[ со свойствами наименьшего общего кратного многочленов 1т, !)'хазалие. рассмотреть пересечение главных идеалов (1т) Г) ... [) ()л).) 1.26. Доказать соотношение (1.6). 1.27. Пусть Р— поле н 1,, ..., 1л Е Р [х[ — ненулевые попарно взаимно простые многочлены. Показать, что НОК (1т, ..., 1„) = а '1т ... 1„, где а — стар- ший коэффициент многочлена 1.28. Доказать, что для многочленов 1,, ..., 1л а Р [х[, где Р— поле и л .-,- 3, справедливо соотношение НОК(1т,, 1э) = НОК(НОК(1т . 1а-з) 1ч). 1.29, Пусть Р— поле, 1,, ..., 1» Е Р [х[ — ненулевые многочлены н для каждого [ы 1 (! < л, задайо каноническое разложение 1! = а! П р !~~~, гзе а; Е Р, произведение распространяется на все непрнводимые нормированные чеогочлены р нз Р [х[ н е! (р) — неотрицательные целые числа, причем для каждого ! строгое неравенство е; (р) ) 0 выполняется лишь для конечного числа многочленов р.
для каждого р положим т (р) = шш (е, (р), ..., ел (р)), М (р) = -- шах (е, (р), ..., е„(р)) Доказать, что НОД (1т ° °, 1л) = П р ~~~ НОК (1т, 1и) = П р 1.30. Метод Кронекера нахождения делителей степени (з непостоянного многочлена 1 Е Я [х[ состоит в следующем. (!) Можно считать, что 1 Е х [х[ (учитывая возможность умножения многошена 1 на константу). (2) Возьмем з+ 1 различных чисел ае, ..., а, Р х, не являющихся корнямн чногочлена 1, и для каждого 1, 0 з ! (з, найдем все делители числа 1(а!). (!) Для каждого (з+ 1)-набора (Ь„, ..., Ь ), где Ь! — делитель числа 1(а!), б ( ! < з, найдем такой многочлен а Е Я [х~, чтобы бей (й) < з н 2 (а!) = Ь!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
