Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В 5 4 корни из единицы изучаются с точки зрения общей теории полей (это понадобится в Э б, а также в гл. 5), В й 5 указываются разные способы представления элементов конечного поля. И наконец, в 5 6 даются два доказательства известной теоремы Веддерберна о том, что каждое конечное тело является полем. В последующих главах многие идеи й методы этой главы получат дальнейшее развитие. й 1. Характеризация конечных полей В гл. 1 мы уже встретились с важным классом конечных полей, т.

е. полей, состоящих из конечного числа элементов. А именно было установлено (теорема 1.38), что для каждого простого числа р факторкольцо Е/(р) является конечным полем, состоящим из Р элементов, которое может быть отождествлено с полем Галуа гр = бр (р) порядка р (см. определение 1.4!). 5 зак гм Гл. 2. Строение конечных полей Поле Рр играет важную роль в общей теории полей, так к согласно теореме 1.78, каждое поле характеристики р долж содержать изоморфное Рр подполе и потому может рассматр" ваться как расширение поля Рр.

Это замечание играет основну' роль в классификации конечных полей, поскольку характер ' стика каждого конечного поля является простым числом (слщ" ствие 1.45). Установим прежде всего одно простое предложение о чи элементов конечного поля. 2.!. Лемма. Пусть Р— конечное поле, содержаи(ее подполе из д элементов. Тогда Р состоит из д'" элементов, где т =ч' = (Р: К). Доказательство. Поле Р можно рассматривать как вектори пространство над полем К. В силу конечности Р это пространст конечномерно, Если (Р: К) = т, то Р имеет базис над полем К) состоящий из т элементов, скажем, Ь„..., Ь . Таким образоМ, 71 каждый элемент поля Р может быть однозначно представле в виде линейной комбинации а,Ь, + ... + а Ь„, где а„..., а ~ К, Так как каждый коэффициент а; может принимать д зна чений, то поле Р состоит в точности из у элементов.

2.2. Теорема. Пусть Р— конечное поле. Тогда оно состои из р" элементов, где простое число р является характеристи поля Р, а натуральное число и является степенью поля Р над простым подполем. Доказательство. Так как поле Р конечно, то его характерй;"' стика — некоторое простое число р (см. следствие 1.45). Поэта ',,' простое подполе К поля Р изоморфно Рр, согласно теореме 1.7 ' и, значит, содержит р элементов. Остальное вытекает из ле мы 2.1. Отправляясь от простых полей Рр, мы можем строить други конечные поля с помощью процесса присоединения корня, оп санного в з 4 гл.

1. если ~ ~ Рр !х) — неприводимый многочле,' степени и над 1)р, то, присоединяя к Гр корень этого многочлени мы получим конечное поле из р" элементов. Однако на этом этап еще неясно, существует ли для каждого натурального числа неприводимый многочлен степени и из Кр (х). Чтобы установит ' что для каждого простого р и каждого натурального и существу конечное поле из р" элементов, мы используем другой подхо ' подсказываемый следующей леммой.

2.3. Лемма. Если Р— конечное поле из у элементов, то к дый элемент а ~ Р удовлетворяет равенству ае =- а. Доказательство. Для а = О равенство ае = а выполня тривиально. Что же касается ненулевых элементов поля Р, 4 1. Характеркаацкк конечных полей они образуют мультипликативную группу порядка д — 1, так что для каждого ненулевого элемента а ~ Р выполняется равенство ае — ' = 1, умножение которого на а приводит к требуемому результату. (:) 2.4, Лемма. Если Р— конечное поле из д элементов и К— подполе поля Р, то многочлен хе — х из К (х ) вполне разлагается е Р (х) следующим образом: хе — х = П (х — а), аСе так что Р является полем разлояеения многочлена хе — х над полем К.

Доказательство. Многочлен ха — х степени д имеет не более д различных корней в поле Р. В силу леммы 2.3 нам известно д таких различных корней — ими являются все элементы поля Р. Таким образом, данный многочлен разлагается в поле Р указанным в формулировке образом и не может вполне разлагаться ни в каком меньшем поле. П Теперь мы в состоянии доказать главную характеризационную теорему для конечных полей, основная идея которой содержится в лемме 2.4. 2.6. Теорема (существование и единственность конечных полей). Для каждого простого числа р и каждого натурального числа и существует конечное лоле из р" элементов.

Любоеконечное поле из 4= р" элементов изоморфно полю разложения многочлена хе — х над полем Кр. Доказательство. Существование. Для д = р" рассмотрим многочлен хе — х из г р (х ), и пусть Р будет его полем разложения над Гр. Указанный многочлен имеет д различных корней в поле Р, так как его производная является постоянным многочленом Чхе-' — 1 = — 1 ~ О из Гр (х) и в силу этого не может иметь общих корней с хе — х (см. теорему 1.68).

Положим 5 = (а Е б Р(ае — а = О(. Тогда 5 является подполем поля Р, так как (1) 5 содержит О и 1; (И) если а, Ь Е 5, то по теореме 1.46 (а — Ь)е = ае — Ье = а — Ь, а значит, а — Ь Е 5; (ш) для а Ь ~ 5, Ь ~ О, имеем (аЬ вЂ” ')е = аеЬ вЂ” е =- аЬ вЂ” ', так что аЬ вЂ” ' Е 5. Но, с другой стороны, многочлен хе — х должен вполне разлагаться в 5, так как поле 5 содержит все его корни.

Таким образом, 5 = Р, а поскольку 5 состоит из а элементов, то Р является конечным полем из д элементов. Гл. 2. Строение коиечкых полей Единственность. Пусть Р— конечное поле из д = р" элемен;, тов. Тогда Р имеет характеристику р (теорема 2.2) и потому' содержит в качестве подполя поле Гр.

Из леммы 2.4 следует, чт»ь Р является полем разложения многочлена х» — х над полем гр, Требуемый результат теперь вытекает из единственности (С~ точностью до изоморфизма) поля разложения (теорема 1.91). [ ')~ Доказанная в теореме 2.5 единственность позволяет говорить: о вполне определенном конечном поле данного порядка д (т, е.. о поле Галуа из у элементов). Будем обозначать его через где под д понимается степень некоторого простого числа р, которое является характеристикой этого поля (теорема 2.2). 2.6.

Теорема (критерий подполя). Пусть 1'» — конечное поле из д = р«элементов (р — простое число). Тогда каасдое подполе' поля Г» имеет порядок р'", где т является положительным дели-,, телем числа и. Обратно, если т — полоскательный делитель числа и, то существует ровно одно подполе поля Г» из р~ эль ментов. Доказательство. Ясно, что любое подполе К поля Г» должно': иметь порядок р , где т — натуральное число, не йревосходящее и.

Из леммы 2.1 следует, что число д = р" должно быть степенью числа р~, так что т обязательно делит число п. Обратно, если т — положительный делитель числа и, т»!~' р~ — 1 делит число р" — 1, так что многочлен хя — ' — 1 дели .' многочлен хр" — ' — 1 в Г, [х).

Следовательно, хя — х дели « многочлен хя« — х = х» — х в [Г [х). Таким образом, кажды ' корень многочлена хя — х является корнем многочлена х»вЂ” и, значит, принадлежит полю [Г». Поэтому поле К, должно со... держать в качестве подполя поле разложения многочлена хя над Кр, а из доказательства теоремы 2.5 мы видели, что так поле разложения имеет порядок р~. Если бы поле Г» содерж два различных подпола порядка р, то эти подполя содержали б в совокупности больше чем р~ корней многочлена хр — х в п '„' ле К», а это невозможно.

Доказательство теоремы 2.6 показывает, что если т — пол жительный делитель числа и, то в поле Г „имеется единственн « подполе порядка р , и это подполе состоит в точности из корд многочлена х« — х Е г [х ) в поле Г ,. 2.1. Пример. Подполя конечного поля Г»к» можно найт составив список всех положительных делителей числа ЗО. Отн 5 1. Харгктеризация конечных полей (пения включения между этими подполями указаны в следующей диаграмме. ..огласно теореме 2.6, эти отношения включения равносильны отношениям делимости соответствующих делителей числа 30.

г1 Для конечного поля г мы будем через Ц обозначать мульти- (лнкативную группу его ненулевых элемейтов. Следующий ре- зультат устанавливает одно важное свойство этой группы. 2.8. Теорема, Мультипликативная группа Ц ненулевых эле- ментов произвольного конечного поля гч циклическая, Доказательство. Можно предположить, что (/ ) 3. Пусть Ь = р',( ... р'т — разложение порядка Ь =- (1 — 1 группы Гр на простые сомножители. Для каждого (, 1 ( ( ( (п, многочлен ха э( — 1 имеет не более й/р, корней в поле Гч. Поскольку Ыр, < < Ь, то в поле Ко имеются ненулевые элемейты, не являющиеся корнями этого многочлена.

Характеристики

Список файлов книги