Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Многочлен а» = о» (хы ..., х„) ~ Й (х,, ..., х„) на- зывается я-м элементарным симметрическим многочленом от, переменных х„..., х„над 1«. Прилагательное «элементарные»,' применяется ввиду так называемой основной теоремы о симметри-., ческих многочленах, гласящей, что для каждого симметрического многочлена Г С 1« !х„..., х„) существует единственный много-,.
членй Е 1« (х„..., х„), такой, что((х„..., х„) = й (о„..., а„). (:) 1.75. Теорема (формула Ньютона). Пусть и„..., о„— эле-, ментарные симметрические многочлены от переменных х,, ..., х„ над кольцом Й, и пусть э, = и ~ Й и эд —— эд (х„..., х„) = = х1 + ... + х„~ гс (хы ..., х,) при й )~!. Тогда для й ) 1 справедлива формула эд — эд,о» + эд,а, — + ( — 1) — 'эд „„о„, + + ( — 1)'" — „э, о„= О, м где т = ппп (й, и).
1.76. Теорема (формула Варинга). При тех же обозначениях,',:. что и в теореме 1.75, для й ) 1 имеет место равенство где суммирование распространяется на все п-наборы (1„..., (в)' неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию(, +,,„ + 21«+ ... + пг„= й. Коэффициент при о,'« ...
а„' всегда яе'' ляется целым числом. 5 4. Расширения полей Пусть Р— поле. Подмножество К поля Р, которое само яв, ляется полем относительно операций поля Р, называется его подполем. В этом случае поле Р называется расширением поля К„' Если К „-ь Р, будем К называть собственным подполем поля Р«' Если К вЂ” подполе конечного поля Рр при простом р, то он" должно содержать элементы О и 1, а значит, и все другие элемент поля Рр в силу замкнутости поля К по сложению.
Следовательно,'. поле Гр не имеет собственных подполей. Так мы приходим к сле.' дующему понятию. 1 77 Определение. Поле, не содержащее собственных под-' полей, называется простым полем, 4 4. Расширения полей Как показывает предыдущее рассуждение, любое поле порядка р при простом р — простое поле. Другим примером простого поля является поле (ч' рациональных чисел. Пересечение любой непустой совокупности подполей данного поля Р— снова подполе поля Р. Пересечение всех подполей поля Р называется простым подполем поля Р.
Очевидно, что оно является простым полем. 1.78. Теорема. Простое подполе поля Р изоморфно либо полю нри некотором простом числе р, либо полю Я, и в соответствии с этим характеристикой поля Р является либо р, либо О. 1.79. Определение. Пусть К вЂ” подполе поля Р и М вЂ” любое подмножество поля Р. Тогда поле К (М) определим как пересечение всех подполей поля Р, содержащих одновременно К и М; оио называется расширением поля К, полученным присоединением элементов множества М. В случае конечного множества М =— -- [О„..., О„[ мы будем писать К (М) = К (О„..., 0„). Если М состоит из единственного элемента 0 ~ Р, то поле Е = К (О) называется простым расширением поля К, а 0 — образующим (яли порождающим) элементом простого расширении Е поля К. Очевидно, что К (М) является наименьшим подполем поля Р, содержащим одновременно К и М.
Определим теперь один важный тип расширений. 1.80. Определение. Пусть К вЂ” некоторое подполе поля Р и О Е Р. Если О удовлетворяет нетривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами из поля К, т. е. если а„О" + ... + -1[ а10 -[ ао — — О, где элементы а; лежат в К и не равны нулю одновременно, то элемент О называется алгебраическим над К. Расширение Е поля К называется алгебраическим расширением поля К, если каждый элемент поля Е является алгебраическим над К. Пусть элемент 0 ~ Р является алгебраическим над К. Рассмотрим множество 7 = [7" ~ К [х[ [7'(0) = О[. Легко проверить, что 7 — идеал кольца К [х!, причем г* ~ (0), так как Π— алгебраический элемент над К. Но в таком случае, согласно теореме 1 84, существует однозначно определенный нормированный многочлен а Е К [х), такой, что l совпадает с главным идеалом (а).
Важно заметить, что многочлена неприводим в К [х!. Действительно, во-первых, а имеет положительную степень, так как он имеет корень О, а во-вторых, если а = Ь,Ь, в К [х[, где 1 ~( .-.: бей(Ь,) <с[ец(д), ( = 1, 2, то из О = — а(0) = Ь,(0) Ь,(О) вытекает, что либо Ьм либо Ь, принадлежит идеалу 7 и, значит, делится на а, а это невозможно. 1.81. Определение.
Если элемент О поля Р алгебраический пад подполем К этого поля, то однозначно определенный норми- Гл, К Ллгебраические основы 48 рованный многочлен у р- К [х!, порождающий идеал д = [Г с." Е К [х[[7(0) = О[ кольца К [х1, называется минимальным, много«ленам элемента 9 над полем К. Под степенью элемента над полем К понимается степень его минимального многочлена д.: 1.82. Теорема. Если элемент 0 поля Р является алгебраиче' ским над подполем К поля Е, то его минимальный много«лен над К обладает следующими свойствами: (!) Много«лен д неприводим в кольце К 1х[.
(й) Для многочлена ) Е К 1х1 равенство [ (О) =:= Овыполняетсвс в том и только том случае, когда многочлен у делит ). (Гй) Многочлен д' является нормированным много«ленам наис« меньшей степени в кольце К 1х[, для которого 0 является корнем; Доказательство. Свойство (1) уже установлено, а (й) вытекаев из определения д.
Что касается (!й), то достаточно заметить, чтв любой нормированный многочлен из К [х[, для которого О яв-, ляется корнем, кратен у и, значит, либо равен 8, либо имеет сте., пень, превышающую степень у. Отметим, что как минимальный многочлен алгебраическога', элемента О, так и степень этого элемента зависят от того полн К„' над которым рассматривается этот элемент, так что нельзя гово рить о минимальном многочлене или о степени элемента О, н указывая поля К (еслн, конечно, это не ясно из контекста), Если Ь вЂ” расширение поля К, то Ь можно рассматривать ка ' векторное (или линейное) пространство над полем К. Элемент поля Ь (т.
е. «векторы») образуют по сложению абелеву группу' Кроме того, каждый «вектор» и С Ь может быть умножен н «скаляр» г Е К, и при этом произведение га снова принадлежит (здесь ги — просто произведение в смысле операции поля Ь э ментов г и и этого поля). Наконец, выполняются законы г (а + р) = ги + ф, (г + з) и = ги + эх, (гв) и = г (за) и 1 а = ы' где г, з ~ К, а, р 4- Е. 1.83. Определение. Пусть Š— некоторое расширение поля К Если Ь, рассматриваемое как векторное пространство над К[ имеет конечную размерность, то Ь называется конечным расши нием поля К.
Размерность векторного пространства Е над называется степенью поля Е над К и обозначается [Е: К1. 1.84. Теорема. Если Ь вЂ” конечное расширение поля К и М -.« конечное расширение поля Е, то М вЂ” конечное расширение поля А' причем Доказательство. Положим [М: Е1 = т, [Е: К1 = и, и пуст [а„..., а 1 — базис векторного пространства М над Ь и [р», .' ..., [)„1 — базис Л над К.
Тогда каждый элемент сс с- М являетс 5 4. Расширения полей 49 линейной комбинацией и = Т,и, + ... + у и, где у, ~ Е, 1 ( т, и, записывая каждое у; через базисные элементы получим ш П3 / Л РП Л и= ~~ у и; = Д ~ Егф,)и;=- ~ ~ггфгиь г=1 !=1 где коэффициенты ги лежат в К. Для доказательства теоремы теперь достаточно доказать линейную независимость тп элементов !1;и;, 1 ( 1 ( т, 1 ( !' ( и, над полем К. Допустим, что я3 а Е Е з;А),и; =О ~=!у=! с коэффициентами зы из К. Тогда т я ~ (~ зг1),)и; =О, н нз линейной независимости элементов и„..., и„над Ь мы закточаем, что ~~~ з;фа=-О для 1(! (т.
!=о 1!о так как элементы 1!ц ..„Р„линейно независимы над К, мы делаем вывод, что все згг равны О. П !.85. Теорема. Каждое конечное расширение поля К является алгебраическим над К. Доказательство. Пусть Š— конечное расширение поля К, У: К! = т и О й. Е. Тогда т + 1 элементов 1, О, ..., 0"' поля Ь являются линейно зависимыми над К, так что имеет место равен- ство а„+ а,0+ + а„О'" = О с коэффициентами а, ~ К, не равнымн нулю одновременно.
Но это означает, что Π— алгебраический элемент над К. и Изучим строение простого расширения К (О) поля К, полу- ченного присоединением к К некоторого алгебраического эле- мента. Пусть Р— расширение поля К, и пусть О ~ Р— алгебраи- ческий элемент над К. Оказывается, что К (О) — конечное (а по- тому н алгебраическое) расширение поля К. !.86. Теорема. Пусть Π— элемент поля Р, являющийся алге- ораическим степени п над подполем К поля Р, и пусть д — мини- мальный многочлен влемента 0 над К. Тогда (1) Простое расширение К (О) изоморфно факторкольиу К 1х 1~' (у), (11) 1К (О): К) = и и !1, О, ..., 0" — '! — базис векторного гак.
ааа Гл. 1. Алгебраические основы пространства К (0) над полем К. (ш) Кахсдый элемент и Е К (О) является алгебраическилг над полем К, и его степень является делителем и, Доказательство. (!) Рассмотрим отображение т: К [х [ -ь' К (О), определяемое условием т(~) = Г(0) для всех) ~ К [х[. Очевидно, что т является гомоморфизмом колец. Заметим, что, Кегт =- [[ ~ К [х[ [г(0) = О[ = (и) в силу определения мини«, мального многочлена.
Пусть 5 — образ отображения т, т, е. мно' жество значений ') многочленов от х с коэффициентами из поля Я'; при х = О. Тогда по теореме о гомоморфизме колец (теорема 1.40). получаем, что 5 изоморфно факторкольцу К [х[/(д). Но в силу' теорем 1.61 и !.82(!) факторкольцо К [х[/(д) является полем,' а следовательно, 5 — поле, Но поскольку К с: — 5 : — К (О) ад, О Е 5, по определению простого расширения 5 = К (О) н (1)! доказано. (й) Так как 5 = К(О), то любой элемент а ~ К(О) можно. записать в виде а = ((О) для некоторого 1 Е К [х[. Применяй алгоритм деления, находим многочлены д и г из К [х[, такие, что, г' = ~щ + г, где дед (г) < с[ен (д) = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
