Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 20
Текст из файла (страница 20)
С другой стороны, ясно, что этот многочлен "е может вполне разлагаться ни в каком собственном подполе 88 Гл. 2, Строение яонечныя полей поля Кч. Следовательно, К является полем разложения много; члена хл ' — 1 над любым из его подполей. П Поскольку !)'; — циклическая группа порядка д — 1 (сог-. ласно теореме 2.8), то для любого положительного делителя и числа у — ! существует циклическая подгруппа (1, а, ..., а"-') группы Ц порядка и (см. теорему 1.!5 (ш)). Все элементы этойь подгруппы являются корнями и-й степени из единицы над любым' подполем поля Гч, а ее образующий элемент а является перво-" образным корнем и-й степени из единицы над любым подполем':; поля Кч. Закончим параграф леммой, которая позже нам пригодится.", 2.50.
Лемма. Пусть й — делитель натуральною числа и, ! ~' ~ а ( п. Тогда и-круговой многочлен 9, (х) (если, конечно, он' определен над рассматриваемым полем) делит многочлен: (х" — 1) Дхв — 1) . Доказательство. Из теоремы 2.45 (!) мы знаем, что Я„(х) ' делит многочлен х" — 1 =(х — !)— х" — ! х — ! Поскольку й — собственный делитель числа и, то многочлены Дп (х) и хв — 1 не имеют (согласно той же теореме) общих корней, и,' следовательно, ИОД Я„(х), хв — !) = — 1, что доказывает наше утверждение. Ц; $5. Представление элементов конечных полей В этом параграфе мы опишем три разных способа представле-, ния элементов конечного поля К из о = р" элементов, где р характеристика г'ч.
Первый способ основан на принципах, изложенных в гл. ! и в данной главе. Заметим, что в силу теоремы 2.10 поле !!'В!. является простым алгебраическим расширением простого поля Г '," Действительно, если 1 — неприводимый многочлен степени из Гр (х), то по теореме 2.14 любой корень а этого многочлеи принадлежит полю Крн = 'гч, и потому Кч =- Кр (а).
Знач ввиду теоремы 1.86 каждый элемент поля Гч можйо однознач представить в виде значения некоторого многочлена от х над Г степени, не превосходящей и — 1, при х = а. Мы можем так рассматривать поле гч как факторкольцо г !х),'(1). 2.51. Пример. Чтобы представить таким способом элемен поля К„будем рассматривать Г, как простое алгебраическ расширение степени 2 поля Г„получаемое присоединени корня а неприводимого квадратного многочлена над Г„скаж 7(х) = х'+ 1 Е гя !х). Тогда ! (а) = а'+ 1 =- 0 в К,, и зять элементов поля Гь можно задать в виде ао+ а,а, где 4 б. Представление элементов конечных волей а, Г Гэ. Точнее, ]Гэ —— (О, 1, 2, а, 1+ сс, 2+ а, 2а, 1+ 2ск, 2 -г 2а].
Таблицы операций для К, можно построить так же, как н в примере 1.62, причем корень а играет здесь ту же роль, какую там играл класс вычетов (х]. П Другую возможность представления элементов поля г'ч дает применение теорем 2.47 и 2.49. Г!оскольку поле Кч является (д — !)-круговым полем над йр, мы можем построить его, найдя разложение (о — 1)-кругового многочлена 9ч г Е Гр (х] на не- приводимые сомножители в ]1'р [х! (все они ймеют одну и ту же степень). Любой корень каждого из этих многочленов тогда является первообразным корнем (д — 1)-й степени из единицы над Кр, а значит, и примитивным элементом поля К .
Таким образом, поле Кр состоит из нуля и степеней этого примитивного элемента, 2.52. Пример. Чтобы применить этот способ для построения поля Кэ, заметим, что Гэ =- Ц", т. е. поле Гэ является 8-круговым полем над ]Га. Далее, следуя примеру 2.46, получаем, что 9, (х) — ха + 1 ~ Ка (х ]. Разложение многочлена Ь на непрнводнмые сомножители в Га (х] выглядит так: 9~(х) =- (х'+ х+ 2) (х'+ 2х+ 2). 1]усть ь — корень многочлена х' + х + 2; тогда он является перво- образным корнем 8-й степени из единицы над ]Г .
Поскольку К, =- Гэ (ь), то каждый ненулевой элемент поля ]Гэ можно представить подходЯщей степенью элемента ь, так что ]1э = (О, ь, Ьэ, чэ, ь', ьа, ьа, ьт, ьа) '). Мы можем свести ненулевые элементы поля ]Г, н так называемую таблицу индексов, в которой указывается значение степени Ь', соответствующее показателю г. Для установления связи с предыдущим представлением (пример 2.51) заметим, что корнем многочлена хт + х+ 2 Е Га ]х] является элемент '"., = 1 + а, где ат + ! = О (т. е. а — корень многочлена ха + 1, как и в примере 2.5!). Поэтому таблица индексов для поля ]Гэ имеет следующий вид: г 1+а 5 2а 6 2+ 2а а 7 2+а 8 1 1+2а 2 ') Иногда при таком предстанлении элементов поля ]Гч (в виде нуля и степеней примитивного элемента ь) для удобства вводят формальный символ в, такой, что й' = О, Тогда произвольный элемент р поля Кч представляется в виде гь =, где Ь вЂ” либо символ в, либо вычет по модулю д — !.
Это удобно для выьнслений. — ПРим. нерее Гл. 2. Строение конечных полей Из таблицы видно, что мы получаем, конечно, те же самые элементы, что и в примере 2.51, только в другом порядке. () Третий способ представления элементов конечного поля Ц. осуществляется с помощью матриц. Пусть 1 (х) = ао + а,х + ...; ...+ а„,х"-' + х" — нормированный многочлен положительной степени л над некоторым полем (не обязательно конечным). Его сопровождающей матрицей называется следующая квадратная' матрица порядка л: 0 0 0...0 — ао 1 0 0...0 — ад 0 1 0...0 — а, А= 0 0 0...1 — а„,! Из линейной алгебры известно, что матрица А удовлетворяет- уравнению 1(А) = О, где 1(А) — «значение» многочлена 1(х) ' при х = А (будем называть его многочленом от матрицы А),, т.
е. а«/+а»А+... +а„,А"-'+ А" = О, А=( Следовательно, поле г» можно представить так: !1'» — — (О, /, 2/, А, / + А, 2/+ А, 2А, 1+ 2А, 21 + 2А). Или, в явном виде, 0 0 ' 0 1 ' 0 2 ' 1 0 где 1 — единичная, а Π— нулевая квадратные матрицы по-, рядка и. Таким образом, если А — сопровождающая матрица нормированного неприводимого многочлена / степени и Е !г) над про., етым конечным полем !гр, то / (А) = О, и потому матрица А мо- ' жет играть роль «корня» многочлена /. Отсюда следует, что эле-' " менты поля !г'ро представляются всевозможными многочленамй' ' над Гр от матрицы А степеней, меньших л.
2.53. Пример. Как и в примере 2.51, пусть задан многочлецп, 1(х) = — х'+ 1 Е Г» 1х). Сопровождающей матрицей этого много-.,', члена является матрица б б. Теорема Ведаерберна 1-(- 2А = ( > ), 2!.г 2А †( 91 с-(, Поле [Еа может быть представлено следующим образом: Га — — (О, С, С', С', С', С', С', С', С'), где с-(с ), с=( ), О 1 с=(, О 2 Вычисления проводятся по правилам алгебры матриц. Например, С+С= + = =Са. (-[ ф 6. Теорема Веддерберна ') Все результаты, полученные для конечных полей, справедд б ° у а р )Э "РРФ" 6 "г "~УФ~"""""""""У ющна глав.
Если поле [га задано таким образом, то вычисления в этом поле проводятся по обычным правилам алгебры матриц. Например, (21+А)(1+2А) = = =2А. П Аналогичным образом и метод, основанный на разложении кругового многочлена (~е, на неприводимые сомножители в [г' [х[, можно приспособить для того, чтобы он давал представление элементов поля г'ч матрицами. 2.54. Пример. Как и в примере 2.52, пусть Л (х) = ха + х+ —,— 2 Е [Еа [х1 — неприводимый делитель кругового многочлена 1~а Е 'га [х1. Сопровождающей матрицей многочлена Ь является матрица 92 Гл.
2. Строение конечных полей Веддерберна. Зта теорема утверждает, что если конечное кольцо ' обладает всеми свойствами поля, кроме коммутативности умножения (т. е. если это кольцо является телом), то умножение в нем должно также быть коммутативным. Мы приведем два доказатель- . ства этой важной теоремы. В первом из них, рассматривая какое- . либо подполе конечного тела, мы установим сначала одно число- '.,' вое соотношение, связывающее мультипликативную группу этого ( поля с мультипликативной группой всего тела. Используя затем:, это соотношение и некоторые сведения о круговых многочленах, ' мы придем к противоречию, если только исходное тело не совпа- ',' дает с рассматриваемым полем.
Прежде чем перейти к детальному ':, доказательству теоремы Веддерберна, отметим несколько общих соображений, которые мы будем использовать. Пусть Р— некоторое тело и г — его коммутативное подтело " (будем в дальнейшем называть Р иодиолем тела Р). Тогда Р можно: рассматривать как (левое) векторное пространство над полем г:, (аналогичная ситуация для полей была рассмотрена в 9 4 гл. 1). ) Если г" =- !г'ч и тело Р имеет конечную размерность и над г, то Р состоит из д" элементов. Для мультипликативной группы '. ненулевых элементов тела Р примем обозначение 0'. Пусть б — некоторая группа и 5 — ее непустое подмножество.
Выше было введено понятие нормализатора Л~ (Ь) элемента Ь Е ~ б в группе б (см. определение 1.24). Из теоремы 1.25 следует, ,'' что если 6 — конечная группа, то число элементов в классе;~ сопряженных с Ь элементов группы 6 равно индексу ~би М (Ь)) . нормализатора й! (Ь) в группе б. 2.55. Теорема (теорема Веддерберна). Каждое конечное тело ~ является полем. Первое доказательство. Пусть Р— конечное тело и Я = 'б = (г ~ 0 ~ гс( = да для любого д Е 0) — его центр.
Нетрудно '~2 проверить, что Я вЂ” поле. Тогда 2 = !!ч, где д — некоторая сте-: пень простого числа. Так как телось является векторным простран- ' ством над Я некоторой конечной размерности и, то Р состоит из дн ": элементов. Покажем, что Р =- Я, т. е. что и = 1. Предположим противное, т. е.
что и > 1. Пусть а ~ Р и,. М, = (Ь Е Р !аЬ = Ьа). Тогда й!, — тело, содержащее 2, и! потому состоит из а' элементов, где 1 ~ г ~ и. Покажем, что число г делит и. Поскольку й!; — подгруппа группы Рн, то число,, д' — 1 делит д" — 1. Если и = тт + г, где О ~ г' < г, то д" —, — 1 = д'"'д" — 1 = в' (д' — 1) + (д' — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
