Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Однако этот <элементарный» "одход доведен до достаточной степени совершенства, так что "казывается возможным получить все основные оценки для сумм Веяла Рассмотрение указанных сумм значений характеров идет Гл. 5. Тригонометрические суммы в тесной связи с детальным изучением некоторых типов уравнен над конечными полями. Поэтому некоторые возникающие «с бодные концы> удастся связать лишь в гл, б, где будут изуче соответствующие уравнения. В $ 5 мы рассмотрим суммы значений характеров специально вида, представляющие интерес для теории чисел, а именно сум ' Клостермана и суммы Якобсталя. В связи с одним результато о суммах значений квадратичных характеров в этом же пар графе рассматриваются разложения в непрерывные дроби р циональных функций над конечными полями.
й 1. Характеры Пусть 6 — произвольная конечная мультипликативная а лева группа порядка ~ 6(с единичным элементом 1о. Хараягпгроле. группы 6 называется гомоморфизм из 6 в мультипликативн группу У комплексных чисел, по модулю равных 1, т. е. та отображение Х: 6 — У, что Х (я,де) = Х (я,) Х (де) для всех д',Е6. ПосколькуХ (1о) = Х (1о) Х (1о), то должно бытьХ (1а): = 1.
Далее, для каждого элемента я~6 (Х(й)) = Х Ы ) = Х(1а) = 1 так что значениями характера Х являются корни степени ( ' из единицы, Заметим также, что Х (и) Х (й ') = Х (ий ')„; = Х (1о) =- 1, так что Х (й ') = (Х (д)) ' = — Х (я) для каждо' элемента д ~ 6 (здесь черта означает комплексное сопряжени Среди характеров группы 6 имеется тривиальный характер ' определяемый условием Х (и) =- ! для всех йг~6; все остальи характеры группы 6 называются нетривиальными, Ка характеру Х группы 6 соответствует сопряженный характер определяемый условием Х (и) = Х (и) для всех д~ 6.
Для данно' конечного множества характеров Х,, ..., Х„группы 6 можно обр зовать их произведение Хг ... Х„, полагая (Хг" Х,) (й) = Хт (ф '.' „. Х„(>т) для всех у~6. Если Х, = ... = Х„= Х, то произ' ' ние Х, ... Х„ будем обозначать Х" и называть п-й степенью х рактера Х. Очевидно, что множество 6" всех характеров группы' образует абелеву группу относительно введенного умножения рактеров, А так как значениями характеров могут быть л корни степени 1 6) из единицы, то группа 6" конечна.
Прежде чем перейти к установлению основных свойств хар теров произвольной конечной абелевой группы 6, рассмот один важный частный случай, когда 6 — конечная циклич группа. 5.!. Пример. Пусть 6 — конечная циклическая группа:., рядка л, и пусть я — ее образующий элемент. Легко убей $1. Характеры что для произвольного фиксированного целого числа 1, О ( .. 1' ( и — 1, функция (у») = ег"ц»т = сов 2п)И~а+ (з1п 2п)И(п, И = О, 1, ..., и — 1, где 1 — мнимая единица, определяет некоторый характер группы 6, С другой стороны, если у — произвольный характер группы 6, то Х (у) является некоторым корнем и-й степени из единицы, скажем у, (д) = е'"пт для некоторого 1, О (1 ( и — 1, и, значит, т = Хр Поэтому группа характеров 6" циклической группы 6 — (д) состоит из характеров у.„Х„..., Х„,. (:1 5.2.
Теорема. Пусть Н вЂ” некоторая подгруппа конечной абелевой группы 6, и пусть ф — характер группы Н. Тогда ф можно продолжить до некоторого характера группы б, т. е. существует такой характер Х группы 6, что Х (И) = ф (И) для всех И ~ И. Доказательство. Можно считать Н собственной подгруппой группы 6.
Выберем такой элементаЕ6, что аф Н, и пусть Н,— подгруппа группы 6, порожденная множеством Н(1 (а). Пусть т — наименьшее натуральное число, для которого а~ Е Н. Тогда каждый элемент у ~ Н, может быть однозначно представлен в виде у = аЖ, где О ( 1 < т и И ~ Н. Определим на группе Н, функцию»р, условием»р, (у) = ыцр(И), где ь» — фиксированное комплексное число, удовлетворяющее равенству е" = »р (а ). Покажем, что функция ф, является характером группы Н,.
Пусть д, = а»И,, где О ( И < т, И, Е Н, т. е. у, — еще один элемент группы Н,. Если у+ И < т, то ф, (уу,) = ы~'»»р(ИИ,) = = $, (у)»р, (у,). Если же у + Й )~ т, то аа, = а>+»- (аИИ»), так что ф,(уу,) = ~!'»- ф(а ИИ,) = ь»!'~- ф(а )»р(ИИ,) =— = ы'"ф (ИИ ) = »р (у) р» (у») Очевидно, что»р, (И) = »р (И) для всех И ~ Н.
Поэтому если Н, = =- 6, то теорема доказана. В противном же случае мы продолжим эту процедуру, пока через конечное число шагов не получим продолжение характера»р до группы б. П 5.3. Следствие. Для любых двух различных элементов у» Е 6 существует характер Х группы б, такой, что Х (к») Ф Ф х (у»). Доказательство.
Достаточно показать, что для элемента И =: = к1й»' Ф 1о существует характер Х группы 6, такой, что Х (И) Ф Ф 1. Но это вытекает из примера 5.1 и теоремы 5.2, если через Н обозначить циклическую подгруппу группы 6, порожденную элементом И. Гл. о. Тригонометрические суммы 5.4. Теорема.
Если у — нетривиальный характер ка абелевай группы 6, та Е Х (й) = О. «са Если д ~ б„причем и чь 1а, та Е х(й) = О. (5 хса Даказательсгпва. Поскольку )( — нетривиальный хара группы 6, то существует элемент й ~ б, такой„что т (й) чь Поэтому Х(Ь) Е Х(а) = Е Х((га) = Е Х(й), «Еа «ча «6а так как если элемент й' пробегает группу 6, то и произведение пробегает группу 6. Таким образом, мы получаем равенство "-',<, (Х (й) — 1) й~ Х М) = О, «са откуда следует (5.!). Что касается второй части, то заметим, что функция у, оп' деленная равенством у (т) = и (д) для всех х Е 6 „явли характером конечной абелевой группы 6".
Этот характер н виален, так как ввиду следствия 5.3 существует характер у ~ ',, такой, что т (и) чь )( (1а) = 1. Поэтому из равенства (5.1), при ' пенного к группе 6", получаем Е Х (а) = Е а (Х) = О. хса хса 5.5. Теорема. Число характеров конечной абелевай группы, равно 16~.
Доказательство. Зто следует из того, что ~6 ~= Е Е Х(Ю= Е Е ХМ)=~6~, «Еа хба хна «Еа где в первом равенстве использовано (5.2) и тот факт, что х (1а) ° = 1, а в последнем — (5.1) и тот факт, что Хе (д) = 1. Утверждения теорем 5.4 и 5.5 можно объединить в следу соотношения артоганальнасти для характеров. Пусть Х и та характеры группы 6. Тогда — Е х(к)ф(а) =~ 1 и — 1 О, если ХФф, (. 1о1 ~ 1, если у =ф 4!.
Характеры Первая часть получается применением (5.1) к характеру Хф, вторая часть тривиальна. Кроме того, если д и Ь вЂ” элементы группы О, то хЕв Здесь первая часть получается применением (5.2) к элементу уЬ ', а вторая часть вытекает из теоремы 5.5. Теорию характеров часто применяют, чтобы получить выражение для числа решений какого-либо уравнения в конечной абелезой группе О. Так, пусть / — произвольное отображение декартовой степени О" = О ~~ ... Х О (и сомножителей) группы О в О. Тогда на основании (5А) для фиксированного элемента Ь ~ 6 число Ф (Ь) и-наборов (й,, ..., й„) Е О", для которых /(й„... ..., й ) = Ь, определяется равенством Ы (Ь) = †' Е " . Е Е Х (/(й, " .
й.)) Х (Ь). (5.5) 1 1 е,~а е„Ев хЕс Характер у. группы О может быть нетривиальным на группе 6, но аннулировать при этом какую-либо подгруппу Н группы О (в том смысле, что Х (Ь) = 1 для всех Ь Е Н). Множество характеров группы 6, аннулирующих данную подгруппу Н, называется аннулятором подгруппы Н в группе характеров 6" группы 6. 5.6. Теорема. Пусть Н вЂ” подгруппа конечной абелевой группы О.
Тогда аннулятор этой подгруппы в группе характеров 6" является подгруппой группы О порядка )6(/)Н). Доказательство. Обозначим аннулятор подгруппы Н в группе характеров 6" через А. Из определения аннулятора сразу следует, что А — подгруппа группы 6". Пусть Х Е А; тогда легко видеть, что равенство р (йН) = Х (й) для й Е 6 задает характер р факторгруппы О/Н. Обратно, если р — некоторый характер группы О///, то легко видеть, что равенство Х (й) = )х (йН) для 0 Е О определяет некоторый характер у группы О„аннулирующий подгруппу Н. При этом различные элементы из А соответствуют различным характерам факторгруппы О/Н. Поэтому между элементами подгруппы А и элементами группы характеров (О/Н)" факторгруппы 6/Н существует взаимно однозначное соответствие, так что порядок подгруппы А группы О" равен порядку группы (О/Н)", который равен 16/Н! = )ОДН) согласно теореме 5.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
