Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Заметнмм;;: что если ИОД (и, у) > 1, т. е. если степень бей (1) многочлена -' делится на характеристику р полн Гч, то могут возникнуть опрв( деленные осложнения. Рассмотрим, например, случай, когд"' 1' (х) = хо — х и 1( = 1(, — канонический аддитивный характе'' поля Кч, определенный условием (5.6). Тогда в силу свойст функций абсолютного следа, полученного и теореме 2.23 (ге): ул (г' (с)) = 1 для всех с Е Гч, так что оценка и теореме Вейл" неверна при д ==- р'".
В более общем случае аналогичная снтуацн возникает, когда многочлен Г имеет вид 1 — йь — й+ Ь, г д ~ Г (х] и Ь Е Гч, Однако если )' имеет вид, отличный онл приведенного, то оценка в теореме Вейля для такого многочленк сохраняет силу, даже если его степень делится на характеристику поля Гч (см.
комментарии). Применяя аналогичную технику, мы можем исследовать,", суммы мультипликативиых характеров. Г1ри этом снова целесооц"-' разно расширить область определения мультипликативного х, рактера ф поля Гч до всего этого поля, положив ф (О) = 0 дл нетривиального и ф (О) =- 1 для тривиального характера Кроме того, следует заметить, что любой мультиплнкативи характер ф поля Кч можно поднять до расширения Е = к"",, поля Гч, воспользовавшись формулой фо> (р) = ф (ХЕук (()г„" для !) ~ Е. 5.39. Теорема. Пусть ф — мультипликативный характер пйь РЯдка т > 1 полЯ Кч, и пУсть 7" ~ Кч (х) — ноРмиРованн многочлен положительной степени, который не является т;:, степенью какого-либо многочлена.
Пусть й — число розлич корней многочлена 1' в его поле разложения над !'ч, причем й )» Тогда существуют такие комплексные числа со,, ..., юл 1 висящие лишь от 7' и ф, что для любого натурального числа ь им место равенство: Е фо'(~(у)) = — ы( — " — 4-ь т6гчэ доказательипво. Мы пойдем тем же путем, что и при доказа:,' тельстве теоремы 5.36. Определим функцию Х из множества Ф й 4. Суммы значений характеров всех нормированных многочленов над полем Кц в множество комплексных чисел с модулем, не превосходящйм 1, положив сначала ) (1) =- 1. Обозначив через ©а подмножество множества Ф, состоящее из многочленов степени И, рассмотрим для многочлена и ~ Фа, й )» 1, результант Я (и, 1) при формальных степенях, совпадающих со степенями и и )' (см.
определение 1.93), Тогда )р (д, 1) Е Кц, и мы положим Х (д) = Ч ()ц (д, Д). Если разложение многочлена д в его поле разложения над Гц имеет вид д (х) — — - (х — ат) ... (х — аа), то, согласно формуле (1.10), (Р (н, () = ((ат) ...1(аа), так что можно написать ~(а) = ФУ(сат) "1(аа)) Тогда условие мультипликативности функции (5.18), очевидно, выполняется, Пусть 1=6' ". Ь," — каноническое разложение многочлена 1 в Г» (х), где 1„...
..., 1, — различные нормированные неприводимые многочлены из Г, 1х1. Согласно упр. 1.66, )ц (я, Д = ( — 1)"'в Р Д, й), где а =- <!ед (Д. Вновь применяя формулу (1.10), получим )ц(а, 1) =( — 1)ав)с(Д,, а)'а ... )цД„а)". (5.62) Пусть т(; = деи ф) для 1 < 1 < г, Е, — расширение поля такое, что (Е,: Кц) = 45, и (), — некоторый фиксированный корень многочлена ~, в Ео Тогда все корни многочлена (; задаются сопряженными с ~~ относительно поля г'ц элементами, так что )~((ь а)=а(Р)а(И) а(И ) =)ч(п(й,(аФ)), 1<1< .
С учетом (5.62) мы получим в(Й) = Ф(( 1) ) ф т(Яет!Тц(Ю(М)) ф '()ч(ее/Гц(к(ие))) = = еат (а(ра)) т,(а(р,)), (5.63) где аа = ф (( — 1)"") и для 1 «( 1 < г т~ — поднятие мультипликативного характера фц~ до поли Ео Так как по предположению многочлен ~ не является та-й степенью другого многочлена, то по крайней мере одно из чисел е; не кратно т; значит, по крайней мере один из характеров фм, а следовательно, и характер т, нетривиальны. Рассмотрим теперь сумму Е ) (а) а 6'ь» Гл. Э. Тригонамегричесине суммм р7з для й ) г(.
Заметим, что г( = г(г + ... + г(,. Пусть отображением Ф„ — Е, х ... х Е, определено условием 3(й) = (~ф,), ..., дф,)) для й Е Ф,. Пусть задан г-набор (т„..., тг) ~ Е, х ... х Е,. Каждый эл ' мент то 1 (1 (г, можно представить в виде т, =6| (йг), г Ь; ~ Ге (х). Равенство 5 (д) = (т„..., т,) выполняется тот ' и только тогда, когда многочлен д является решением систе сравнений и = Ь, (шоб ~,), 1 = 1, ..., г. На основании китайской теоремы об остатках (см.
упр. 1,3 эта система сравнений имеет единственное решение б ~ 17'е (о степени дед (б) (с(, + ... + г(, = с(. В таком случае все решена и Е Ф„этойсистемыимеютвндд = ГТ", ... 7, + б, где Š— прои',' вольный нормированный многочлен над Ре степени Й вЂ” г(. П ", скольку существует ровно д'-л возможностей выбора этого ми "' гочлена Е, то существует в точности д" — л таких многочлен, д ~ Ф„, что 5(йг) = (дф,), ..., ггф,)) = (т, ..., м,). Испол' зуя этот факт и равенство (5.36), получаем, что Х(д) = ехал-л Е т,(т,)... т,(тг) = н с Фь Ум...,т " 6иг = елдл-'( Я т,(м,))... ( ~ т,(тг)) =О, (е, са, ! ~'ей ~г так как хотя бы один из характеров т~ нетривиален (как б отмечено ранее). Таким образом, условие (5.22) выполнено пр' г = г( — 1. Поэтому из (5.24) следует, что существуют комплеивл ные числа во ..., гни „такие, что (.,= — Я м7, 5=1,2 7=! Теперь подсчитаем Е, по формуле (5.21), используя тот жЖ, прием, что и при доказательстве теоремы 5.36.
При Е = Е"',.; получаем (-,= Е ММ(У') ")(Т'* Ъ 7йа и поскольку 4 4. Суммы аначенна характеров то можно написать Е,= ~~ ф~ >д()) тон что и завершает доказательство. 5.40. Теорема. Все комплексные числа еь, ..., ыа х из теоремы 5.39 по модулю равны дЮ. Замечания, сделанные после теоремы 5.37, справедливы также н по отношению к теореме 5.40.
В частности, элементарное доказательство более слабого утверждения, а именно что ~ ву ~ ( д'М, ~ -= 1, ..., й — 1, будет дано в следующей главе (см. теорему 6.56). 5.41. Теорема. Пусть ф — мультиплика~пивный характер поля Г», имеющий порядок т > 1, и пусть ~ Е г (х) — нормировочный многочлен положительной степени, не являющийся т-й степенью другого многочлена. Если й — число различных корней много»лена 1 в его поле разложения над Г», то для каждого и Е 'г'» выполняется неравенство Доказательспью.
Случай И = 1 легко проверяется, так что можно предположить, что й ) 2. Тогда, применяя теорему 5.39, получаем Е ф(а)(с)) =ф(а) Я фД(с)) = — ф(а)(»а,+ ... +ее,), е 6 Р' 'на'» Теперь, используя либо теорему 5.40, либо ее ослабленную чорму ~ ыу ~ -( 4'~', 1 = 1, ..., й — 1 (теорему 6.56), мы получаем требуемое неравенство. С) В случае, который не покрывается теоремой 5.41 (а именно ~~~да многочлен ( является т-й степенью некоторого другого многочлена), приведенная в этой теореме оценка не всегда справедлива.
Например, если ) = й и многочлен д Е Г» (х) не имеет корней в поле т», то ф Д(с)) = ф"'(й(с)) = 1 для всех с Е Е», так как ф" — тривиальный характер, и поэтому оценка н теореме 5.41, вообще говоря, неверна (левая часть равна д). Случай, когда ф — квадратичный характер, будет подробно р~~смотрен в следующем параграфе. лао Гл.
5. Тригоиометричесиие суммы 3 5, Дальнейшне результаты о суммах эначеннй характеров Сначала рассмотрим один тнп сумм значений характеров, ко " торый допускает исследование методами предыдущего парагра н представляет интерес для теории чисел. ' е' 5.42. Определение. Пусть Х вЂ” нетривиальный адаптивный х рактер поля Ге, н пусть а, Ь Е Ке. Сумма вида К(1(; а, Ь) = Я 3(ас+ Ьс ') е~р1 Р называется суммой Клостермина.
Случаи, когда аЬ = О, тривиальны. Если а = Ь = О, К (уй а„Ь) =- д — 1, а если лишь одно нз чисел а нлн Ь равно то К (т,; а, Ь) = — 1. Вообще заметим, что сумма Клостерман всегда принимает действительные значения, так как если К е = К()(; а, Ь) н К вЂ” его комплексно-сопряженное, то К= ~ Х( — ас — Ьс-')= Е )((а( — с)+Ь( — с)-')=К, ? 'ЕГ' с ~ф' поскольку элемент — с прн этом тоже пробегает все множество Ц;, Как н в $ 4, мы через Х'*~ будем обозначать поднятие адднтнв~,,, ного характера х до расширения Ьее поля К,.
5.43. Теорема, Пусть Х вЂ” нетривиальный аддитивный яви!" рактер поля Ге и а, Ь Е Ке, причем аЬ чь О. Тогда сущесптвуян~' такие числа гог и го„зависящие лишь от т, а и Ь (которые ли оба действительные, либо комплексно-сопряженные), что каждого натурального числа з выполняется равенство ;Ф„," К(хо; т, Ь)= Е Ъ,оо( у+ЬТ ') = — ( — ~ тЕ~Г„" Доказательство.
Метод доказательства тот же, что н для т рем 5.36 н 5.39. Определим функцию Х нз множества Ф все, нормированных многочленов в множество комплексных чнс модуль которых не превосходит единицы, следующим образоые Как н раньше, через Фе обозначим подмножество Ф, состоящМ, нз многочленов степени й, Положим Х (1) = 1.
Далее, если много'-'~ член у Е Фю й >~ 1, нмеет внд е„ у(х) = ~ ( — 1)'с,х" — ', с, = 1, г=о то положим Х (у) = О, если си — — О, н Х(й) =у(ас,+Ьсе,с„'), если с*~О. 4 о. Дальнейшие результаты о суммах зиачеиий характеров 28! дегко проверить, что Х (яй) = Х (л) 1, (Ь) для всех я, Ь Е Ф.
Для /г)3 2.(й) = 2ь' ~ )( (ас~ + Ьсь ,с, ') = ю Е ~за 'г 'ь- Е !Гд 'ь Е й" =-4' '( Е Х(ас1)1 Е Е Х(Ьсе ~са')=О, ! "'т Е ге / 'а-т Е Ге 'е Е Ге так что условие (5.22) выполнено при ! = 2. Из (5.19) получаем ь(г) = 1+( ~~ )ь(я))г+( ~ Х(й))ха. !ЬЕ в l МЕш Прн К = К()(; а, Ь) имеем Х(я) = ~~ у(ас+-Ьс ') = уЕ. ЕГ; Кроме того, Е Х(д) = ~~ Я у (с~ (а+Ьст')) =д, т Е Г ' 'т Е Г т так как внутренняя сумма равна д прн са = — а тЬ и равна О в остальных случаях.
Таким образом, 1.(г) = 1 + ттг + дал = =- (1 — штг) (1 — шаг), где шт и шт либо оба действительные числа, либо комплексно-сопряженные, так как многочлен Т,(г) имеет действительные коэффициенты. Согласно (5.24), Ь,= — ш',— шт для всех а=1, 2,,... (5.64) Остается оценить (, Из (5.21) мы получаем — 2. ' с(ед (у) )„фа/ьеи(з1) — ~~~ ' бей (й) ) (йа/ьез(х!) х з где сумма берется по всем нормированным неприводимым много- членам д из Ге (х), степень которых делит число з, а звездочка означает, что йз области суммирования исключается многочлен и (х) = х.
Каждый такой многочлен а имеет бед (й) различных ненулевых корней в поле Е = Ь'еа, и характеристическим много- членом любого корня у многочлена а будет многочлен р(х)м*'а(а! = (х — Т) (х — уе)... (» — ут ). Пусть, скажем, д(х)нь'и<з> = х' — с,х* — '+... + ( — !)а — ' с,,(х)+ ( — 1)'с,. Тогда ст = Ттрн (Т), са = Тут ... ')и' и с, 1с, ' =у +Т т+... +у =ТгЕ~ (Т '). Гл. З. Трнгонометрнчеснне суммы Поэтому )<(д*>г'е<е>) = Х(а Тгеу<Г (Т)+ Ь Тге(у (Т-')) = Х<'>(ау+ ЬТ вЂ” ') так что йео(о) Х (й'инне>) = ~ ~~ ~Х<'> (~у+ Ьу — ').
е »6е в<т>=о Если многочлен д пробегает указанную выше область суммнро,, ' ванна, то элемент у пробегает в точности все элементы множества ';, Е'. Таким образом, Е,= Е Х<*>(ау+Ь~ ')=К(Х<*>; а, Ь), р тле~ и требуемый результат вытекает из (5.64). П,' 5.44. Теорема. Числа ь>< и «>» из теоремы 5.43 удовлетворяют.,- условшо ) ь» ~ = ~ е>» ) = <)>!е. Элементарное доказательство теоремы 5.44, использующее.''Ь теорию уравнений над конечными полями, дается в примере 6.63<> для нечетного <). 5.45. Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
