Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Характер же ф" тривиален тогда 270 Гл. З. Тригонометрические суммы и только тогда, когда порядок характера !Ь делит число й. По ',: скольку характер Х имеет порядок й, то все характеры !Ь, порядки", которых делят число й, должны иметь вид ф = Хг, 1 = О, 1, „.,' й — 1. Поэтому, учитывая (5.14), получаем И вЂ” ! л †! Е т(с") = 1+ Е 6(К т) = Е б (ХУ, т). 4 ~Г» 1=» г=! Отсюда на основании (5.57) и теоремы 5.12 (1) вытекает искомыф:, результат. 5.31.
Следствие. Если у — нетривиальный аддитивный ха-"", рактер поля Г и НОД(л, 4 — 1) = 1, то ,4о Х(ас" +Ь) =0 'е г'» для любых а, Ь Е Г», а чь О. 5.32. Теорема. Пусть д — нетривиальный аддитивный хаФ рактер поля Г», л ~ о( и й = НОД(л, д — 1). Тогда о((ас»+ Ь) ~ ~~(й — 1) о!!о 'о Ф'» для любых а, Ь Е Г», а ~ О. Доказательство. Утверждение сразу вытекает из теоремы 545;:, и равенства (5.15). Особенно простой вид принимает теорема 5.30 для л = 2 (о(1) нечетного о. Зтнм можно воспользоваться при подсчете сумм хй':;~ рактеров для любых квадратных многочленов над полем нечетн»йь1) характеристики. 5.33. Теорема. Пусть у — нетривиальный аддитивный х1».'.",' рактер поля К», где !7 нечетно, и пусть 7' (х) = а,хо + а,х + ао ~;! ч Г» [х), а, ~ О.
Тогда Е )(Ч(с)) = Х(ао — а!(4а»Г') 71(а,)б И, "к), '"Ф '4Г» где »1 — квадратичный характер лола К». Доказательство. Для с Е у» 7(с) = аи' +а!с+а» = а»(с+ а! (2ао) ') +໠— а!(4ао) — ! ! ' Таким образом, полагая с! = с + а! (2ао), Ь = ао — а! (4ао) и применяя теорему 5.30, получим, что )((1(с)) = ~~ 11(а»со!+ Ь) = у(Ь)»1(ао)6(т1, 2). И ~ 4 о'о 'о 4 (г» 4 4. Суммы аиачеииа характеров Суммы значений характеров подобного вида можно вычислить в явном виде также для случая, когда Г является аффннным р-многочленом над полем Го (см. определение 3.54).
5.34. Теорема. Пусть конечное поле Г имеет характери- стику р и Дх) = а,х»'+ а„,х»" ! + . + а,х» + а,х + а — некоторый аффинный р-многочлен над Ко. Тогда для любого нетривиального аддитивного характера Хо, Ь Е Го, поля Кр, (в обозначениях теоремы 5.7) имеет место соотношение ~1, Х (~(с)) = аЕ!Го Хо(а)д, если Ьа,+Ь»а, "!+ +Ь» а»! +Ь»аф =О, О в противном случае Доказательство. Имеем Е Х»Ч(с)) =Хь(а) Я Х,(Ь(с)), 'ч а'о с с )г где Ь (х) = Ьо х»' + Ьа„ тх»" ! + + Ьа,х» + Ьа,х есть р-многочлен над полем Ко. Если мы положим т (с) = Х, (Ь (с)) для всех с Е К, то из (3.11) следует, что т — аддитивный харак- тер поля Го. 1аким образом, Ьс = тс=! 1' д, если т тривиален, Х ( ) ( О в противном случае. '6 »*о а с !г Остается охарактеризовать те р-миогочлены Ь (х), для которых характер т тривиален.
Пусть д = р', а Тг — функция абсолютного следа из Го в Г . Тогда в соответствии с определением (5.6) ха- рактер т тривиален тогда и только тогда, когда а — ! Тг (Ь(с)) = Д Ь (с)»' = О для всех с ~ К . !=о Указанные равенства выполняются в том и только том случае, когда имеет место полииомиальное сравнение а-! ~~ Ь(х)»! сз О (и!оп (хо — х)). (5.58) ! о Далее, а-! в !/ Г а»! а — ! Е Ь(х)»' = ~3 ~ Е Ьа,х» ) = Я ~~ ~Ь» а!» х» ~о !=о !-о г-о ! о Гл.
З. Тригонометрические суммы и поскольку при т = и (шоб г) выполняется равенство со = ело; для всех с Е 'го, а также имеет место сравнение хл = хло,' (гпоб (хо — х)), то з-1 «вЂ ! / « в ьг'= и(вз" ' -')/'~-.« —.о «=о о=о з=о Таким образом, сравнение (5.58) выполняется тогда и только тогда, ' когда ~Ь" ало =-О для й=-О, 1, ..., г — 1. '=о А это равенство выполняется тогда и только тогда, когда 2 если а, =- йа„ в противном случае ного числа в имеет место равенство -Ф Е Х'з'Ч(Т)) = — * — ".
— ыз-. теооз и «ч лг — з зг — з «, ле — гее — з -:::Д ;=о з=о что и завершает доказательство. П Теорема 5.34 содержит, в частности (при р — — 2, г = !), фор-: ~ мулу для вычисления сумм значений характеров того же вида, что и в теореме 5.33, но для случая, который там не рассматривался, а именно для четного д. 5.35. Следствие.
Пусть ) (х) =- а,х' + а,х+ а, ~ Го [х), где о четно, и пусть ты 5 ~ г", — нетривиальный аддитивный .«1 характер поля г . Тогда '3 К ого=( "м' «сКо 1 Обратимся теперь к общему методу получения оценок для сумм,:,'„"' значений характеров с полиномиальными аргументами. Так как 4 случай линейного многочлена тривиален, то можно считать, что степень многочлена не ниже двух. Следующий результат является::~е основным. Напомним, что поднятие )(~з> аддитивного характера )( ',« поля (1"о до расширения Е = ~оз этого поля вводится при помощи соотношениЯ Х<з~ (Р) = )((Тге~Т (Р)) длЯ () Е Е.
5.36. Теорема. Пусть Г ~ Го (х) — многочлен степени п ~ 2'. причем НОЛ (и, д) = 1, и пусть д — нетривиальный аддитивный .', хаРактеР полЯ го. Тогда сУи1ествдют такие комплексные числа,'., ым ..., оз„„зависЯи1ие только от ~ и )(, что длЯ любого натУРаль,. $4. Суммы аиачеииа характеров 273 до!оязаглельслию.
Пусть Г (х) = Ь„х" + ... + Ь,х + Ь„где Ь„~ О. Для фиксированного натурального числа А ~ 1 тогда ~(х,)+... +)(х„)=Ьеза(х„..., х„)-г-... +Ьтз,(хы..., х»)+ЬЬе (5.59) где з!(хь ° . °, х»)=х!+... +х!», 1~(1~(л„ ! Для 1 -< г ~( й пусть о, = а„(х,, „х,) есть г-й элементарный симметрический многочлен от переменных х„..., ха над полем Гч (см, пример 1.74). Тогда для ! ~ 1 мы получим, используя фор- мулу Варинга (см. теорему 1.76), равенство а;(хь ..., х») = Са+!а-На+ " (й+ га+ + !» — !)! ! С, а, ( — 1)* "' ... о!оа ...
о», -Х- ' где суммирование ведется по всем й-наборам (1„..., !») неотри- цательных целых чисел, таких, что 1, + 2!в + ... + й!» = !. Для ! = 1 мы имеем з, (хы ..., х») = оь Для 2 < ! 4 й суще- ствует одно решение уравнения !» + 2(а + ... + й!» =- 1', в ко- тором !! = 1, а все остальные 1„равны О; слагаемое, соответствую- щее этому решению, равно ( — 1)! — ' !о!. Для остальных решений уравнения 1„+ 2!а+ ... + М» = ! обязательно !! = (у+, — — ... ...
= — 1„= О, так что соответствующие им слагаемые могут содер- жать лишь симметрические многочлеиы о,, ом ..., оу,. Поэтому аа (х„..., х») = оы ау(х„..., х») =( — 1)!-'!о!+6!(о„..., оу,) прн 24/4й, з4(хы ..., х») =Ну(о,, ..., а») пРн 1>й, где б! — многочлен от ] — 1 переменных, а Н! — многочлен от й переменных над Кч, Из (5.59) тогда получаем, что ! ( — 1)" — ' лЬ„о„+ б(о„..., о„») при й~и, !(х,) + .
+г(х») = ~ !1Н(о,, ..., а») при ! ~й~(л — 1, (5.60) где б — многочлен от л — 1 переменных. а Н вЂ” многочлен от й переменных над Гч. Определим теперь функцию Л из множества Ф всех норми- рованных многочленов над полем Гч в множество комплексных чисел с модулем, равным единице, следующим образом. Положим Л (1) =- 1.
Далее, если многочлеи и принадлежит подмножеству Ф„ множества Ф, состоящему нз многочленов степени й:» 1, и раз- ложение этого многочлена в поле его разложения над Ге имеет вид д (х) = (х — еа,) ... (х — а»), то положим Л(й) = )((г(аа) + " + 7(а»)). !3 заа, ага Гл. о. Тригонометрнчесние суммы Заметим, что поскольку а„(се,, ..., ген) ~ Ге, 1 < г ~ Ь, из (5.60) следует, что Г(а,) + ... + ) (сее) ~ Ке. Взяв дру многочлен Ь из Ф, для которого Ь (х) =- (х — ~,) ...
(х — н ~.": получим Х(ай) =Хи(,)+ - +Г(.)+~Е,)+" +~Е.)) =. =да(.)+" +~("))Хи(().)+- +~Е.)) = ', = Х (а) Х (гг), так что условие (5.16) мультипликативности функции Х выпал'!; няется. Рассмотрим теперь сумму Е )(а) и е Фи для фиксированного Ь = и, Для многочлена а(х) =х'+ ~ ( — 1)га,хе-е =(х — а,) ... (х — ссе) ~ Фе г=1 мы имеем о, (ге„..., а„) = а„, г = 1, ..., А, так что из (5.66) следует, что -:4 1(а,)+...
+)(сее) = ( — 1)" — ' пЬ„а„+ 6(а„..., ае е). Поскольку НОД(п, д) = 1, то Ь = ( — 1)"-'пЬ„~= О, а значит,:1 ~'.~ Х(а) = ~ у(Ьа„+ 6(аы ..., а„е)) = НСФ~ а, ...,ее~а', =Че-е Е Ъ(Ьа)ЪЯ(аы, а. )) = "елее =ч'-"~ Е х(Ь.й Е х(а(„.", . И=6:". гение ~ 1е,,", ее ерем / согласно (5,9). Таким образом, условие (5.22) выполняется при, 1= и — 1, Поэтому из (5.24) следует существование комплекс- НЫХ ЧИСЕЛ Фы ..., Ф„м таКИХ, Чта Те= — ЕФО а=1, 2, (5.61) ~ l=~ где Т„введено условием (5.20). Вычислим теперь Е, по формуле (5.21).
Согласно этой формулег ' Е, = Я бей(а)Х(йемен <н>), 8 где суммирование ведется по всем нормированным неприводимым,~ многочленам д из Ге (х), степени бей (а) котоРых делЯт число з;" Для такого многочлена д пусть у ~ Е =- ~Гее — некоторый а75 $4. Суммы аначенн» характеров корень, Тогда многочлен у'пме <е1 является характеристическим многочленом элемента 7 над Ка, так что в силу (2.!) у (х)ивен ~е> = (х — 7) (х — 7«) (х — Та«) ... (х — Те* '), откуда следует, что х(8 ыев(е)) 1 (а(. )+~(уе)+ +,( а 1)) Последнее выражение, очевидно, не изменится, если элемент 7 заменить любым из различных сопряженных с ним элементов уе, уе', ..., 7«е'е'е' ', поэтому можно написать дей(д)К(дамен<а) — Х~ ~(г(7)+ г(7«)+... + 1(7«' ')) «ее г <И-а 7-. = Е Е Х(ж+~(7')+ " +~ (7" ')) = е «6а гМ=а = Е 1((ПТ)+~(7')+" +~( ')). «Ее Но поскольку х(~(7)+~(7)+" +й7"-')) =х(Ю+~(7 +" +ЛТ ')= = 7, (Тге~в (~(7))) = 7;м>()(7)), то Е,= Е Хо>д(7)).
«6е и утверждение теоремы теперь вытекает из (5.61). П 5.37. Теорема. Все комплексные числа ыы ..., ыа х из теоремы 5.36 по модулю равны дна. Первоначально теорема 5.37 была установлена глубокими методами алгебраической геометрии. Более элементарное доказательство было получено с использованием теории уравнений над конечными полями. В следующей главе мы докажем более слабое Утверждение, а именно что ~ ыу ~ < дпа, у = 1, ..., и — 1 (см.
теорему 6,60), которое вполне достаточно для приложений к опенке сумм значений характеров. 5 38. Теорема (теорема Вейля). Пусть )' Е Ка[х) — много«лен степени и ) 1, причем НОД (и, д) = 1, и пусть 7, — нетривиальный аддитивный характер полл Г . Тогда 18« Гл, З. Тригоиомотрические суммы Доказательство, Случай п = 1 тривиален. При п ) 2 мож применить теорему 5.36. Получим 1( (1 (с)) = — ы1 — ° ° ° — ~„ы 'Е Гч Используя теорему 5.37 или более простое утверждение, ч "' ~ юу~.( о''-', 1 = 1, ..., и — 1 (теорему 6.60), мы получаем треб емое неравенство. Чтобы гарантировать выполнение теоремы Вейля, на многс)Ч член 7 приходится наложить определенное ограничение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
