Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Каждый элемент с ~ !)' является простым корнем многочлена б (х), и других корней 6 (х) не имеет. С другой стороны, для каждого с Е Кч по предположению ?(с) ~ О, так что 1 (с)» — ' =- 1, и, следовательно, многочлен б (х) делит )' (х)ч — '— — 1 =- (Р (х) — 1) (Р (х) + 1). Значит, НОД (Р (х) — 1, 6 (х)) НОД (Р (х) + 1, 6 (х)) = 6(х), и из (5.78) вытекает, что (,)»(х)»)с(х) = Ьб(х), где») = Ь~Ьт Е !г';.
(5.79) Пусть пт — — - п, и предположим, что п < н и п < 1. Согласно лемме 5. 56, Р (х) — 1 Р»е»+ Рп+»Рн Г (х) + 1 Рв+» + У»е»Рп а() = ().„+р.„Е. ' 6() = ч.„+т...ч. с рациональными функциями ()„„и у„„отрицательной степени. Вычитая первое равенство из второго, получим 2 Ф и( ) (().„+ р.„е.) (ч...
+ т...ч.) ' где числитель У имеет вид й =Р„,,ᄄ— Р„„4„„+5„„,(р„„(7„— Р„4„„)+ +7, ( Я., — Р,п) )+(),7,~(РА.— Р г),). Из определения числа и вытекает, что Р, = р; н 4~ = й для 1 = — 1, О, ...,и. Следовательно, р„,Д„ — Р„ц„,т = ( — 1)" и Р сеч,т — Р„„г)„= ( — !)н+' в силу леммы 5.57, а р„(~„— Р„д„= == (). Кроме того, простой подсчет с использованием (5.74), (5.75) н леммы 5.5? показывает, что Р.,тЕ., — Р.,т4.. =( — 1) (А„„— „„). Таким образом, мы получаем У = ( — 1)" (А„,, — а„„+ р„„— у„„), Гл.
о, Тригонометрические суммы Поскольку из определения числа и следует, что Аем ~ а„,,'„" то дей (М) ) О. Сравнение степеней в равенстве (5,80) дает с уче " том неравенства п + 1 < ппп !в, 1) и (5.79), что д ~( дед ((!) + г(ед (АГ) =- дед ((1„„) + бед (Уч„) ~ ~< дец Я,) + с$ей (дг) = д Таким образом, здесь всюду должен стоять знак равенства, П этому дед(М) = О и, следовательно, бей(А„„) = дец (а„ы)! Тогда мы получаем из (5,75), что деИ (Я„„) = ЙеИ (д„„) = д/2„; а это противоречит предположению о нечетности числа д. Таким образом, либо и =- в, либо и = 1.
Допустим, что и = Тогда 1 > 3, и мы можем написать Р(х) — 1 ре Р(Х)+ ! Реп+ уеетре 6(,1 = О, б(х) ч„,+Т...ч. ' Снова вычитая первое равенство из второго, получим в сил, леммы 5.57 2 ( ц О (х) г7,(е,+ -~- те+,ч,) и сравнение степеней дает у = дея((',),) + деи(у„,) ( деи((1,) + дед(а,) =- у согласно (5.79). Значит, дед (уе„,) = г(ед (у,), откуда г+ 1 = ' так как степень деи (д;) возрастает с 1. Аналогично предположен и = 1 приводит к тому, что 1+ 1 = в. После этих приготовлений мы можем теперь без труда выве формулу для сумм значений квадратичного характера т( поли (р!' нечетной характеристики, аргументом которого является мног член 1 Е Кч (х).
Точный вид этой формулы зависит от того, как из двух случаев леммы 5.59 имеет место, 6.60. Теорема. Пусть т) — квадратичный характер поля г нечетной хаРактеРистики, и пУсть 1 ~ Ке (х) — многочле положительной степени, не имеющий корней в поле ге. Тогда ( бед(а,), если пг = в, ей Г ( — дед (А,)„если пг — — 1, где многочлены А, и аг получаются соответственно из (5.76) (5.77). Доказательство. Обозначим через А! (1) (соответствени, А( ( — 1)) число элементов с ~ Ке, таких, что т! (1 (с)) равно 1 ( ответственно — 1). Тогда Е ) (П с)) = А! (1) — Аг ( — 1). (5.81 е с(~' Комментарии 295 рак как т) (/ (с))=1 тогда и только тогда, когда Г (с) = /(с)м — 'и' = 1, то А/ (1) равно степени многочлена НОД (г" (х) — 1, 6 (х)), тзк что А/ (1) = д — дедЯ,) в силу первого из равенств (5.78).
Аналогично Аг ( — 1) = 4 — дед (д~). Если в лемме 5.59 имеет место случай пг —— /=з — 1,тод, = 6,= Д,, и Аг(1) — )т'( — 1) = — дед (!/.) + дед (ба г) = — — дед (А,) согласно (5.75). В слУчае жс пг —— - з =- / — 1 получаем А/ (1) — А/ ( — 1) =- дед (г/,)— — дед (д,,) =- дед (а,). Результат вытекает теперь из (5.81). [:) Заметим, что утверждения леммы 5.59 и теоремы 5.60 теряют силу, если многочлен / имеет корни в поле [Гч. Рассмотрим, например, случай / (х) = х.
В этом случае сумма значений характера равна нулю, поскольку ~ т! (с) = ч~~ т! (с) = О. С другой еЕГе сЕГо стороны, 0 (х) = [О, х<е+и!'-'- х) = [О, х'е+'и' — х), О (х) зк что з = г = 1 и дед (А,) = дед (а,) = (и -1- 1)/2, Комментарии й 1. Характеры конечных абелевых групп подробно изучаются, например, в книге Холла (На!1 [б, сЬ.
13)) '). Факт, состоящий з том, что конечная абелева группа имеет столько же характеров, сколько и элементов (см, теорему 5.5), был впервые доказан Вебером (%еЬег [2[). Нетрудно доказать, что группа характеров 6 группы 6 нзоморфна самой группе 6 (см. упр. 5.5). Особые свойства квадратичных характеров поля [Гре при простом нечет1юм числе р были установлены в работах О!пд!с! [1[, [2) и Нагдшап, Зогдап [1). В статье Саг!!ег [1) изучаются квадратичные характеры произвольного конечного поля [Ге и квадратичные характеры групп невырождениых матриц над Ге. Пеллегриио (Ре!!едг!по [2)) изучал, как ведет себя квадратичный характер поля Г при дробно-линейных преобразованиях этого поля.
Карлиц (Саг!!!г [27)) получил аддитивные характеры фактор- кольца Г [х)/Д). Общие обзоры по тригонометрическим суммам см. в кнйгах Нна [12) и Ка1г [4) '). з 2. Суммы Гаусса для конечных простых полей были использованы еще в работе Лагранжа (Еадгапде 14 1) о решении алгебраических уравнений (в старой литературе эти суммы часто назы- ')С. Ш *П"..9.Ю!.— П е) А также Виноградов !2е1 и Виноградов, Карацуба [!'1.
— Прим. верее. Гл, о. Тригонометрические суммы ваются «резольвентамн» и «циклотомическимн резольвентами»)»р Гаусс также упоминал о них и доказал формулу (5.15) в свои' «Арифметических исследованиях» (Оацээ [1, лес. Ъ'П1]); он установил некоторые нз свойств, приведенных в теореме 5.1 (Оацзз [21, [51). Доказательства элементарных результатов о сум мах Гаусса имеются в классических работах Коши (СацсЬу [2)« 141), Эйзенштейна (Е!зепз!е!п 111], Якоби (ЗасоЫ [1], [2])" Куммера (Кцпцпег [3], [4], [51, [61) и Лебега (1 еЬездце [2ф« Обзор этих ранних результатов можно найти в работах Васй» гпапп [11, [21, [т!с[скоп, М[[сЬе[1, Ъ'апг]!чег, %аЫ[п [1, зес.
19 и Бппрй Н. 3. 5. [1). Суммы Гаусса для конечных полей обще вида первым рассмотрел Штикельбергер (5!!с[ге[Ьегяег 1! 1). И тересные замечания исторического характера имеются в работ Вегпг[1, Ечапз 141 и Юе[! [!11. Современные толкования рази ' вопросов теории гауссовых сумм даются в работах Арон!о! [2 Оган [!1, Назье [151, !ге!ацг[, Козеп [11, 3о[у [51, Ьапд 13), [$' и БсЬппг[! %. М. [3], Теорема 5.14 доказана в статье [тачепрог[, Наззе [! ). На доказательство — это по существу доказательство Вейля (%е [6]), где с учетом работ [ге[апг[, Козеп [1, сЬ. 111 и МсЕИ Кцгпзеу [11 сделаны некоторые упрощения.
Другие доказате ства этой теоремы можно найти в книгах Еапя [5, сЬ. ! 1 ' 5сЬгп[г[! %, М. [3, сЬ. 21; особенно элементарны доказательствгг приводимые в работах БсЬгпЫ [11 и Степанов [14]. Более общ результат получен Делннем ([)е[ [дне [41) примевением ко мологических методов. См. также статью Науеэ [31, в кото доказывается аналог теоремы Дэвенпорта — Хассе о сумм, Гаусса для факторкольца [[ [х)У(!). Выражение для квадратичной суммы Гаусса из теоремы 5Л„' было впервые найдено Гауссом (Оацзз [21) для случая з = $.';. С тех пор появилось множество различных доказательств это][г теоремы. Прнведенное в нашей книге доказательство, взятое Н- статьи»ч'а[егЬоцзе [21 и основанное на идеях Шура (5сЬцг [31)зч имеет то преимущество, что использует по возможности лнщвг алгебраические соображения.
В доказательстве Шура приме,," няется матрица (е'"гм! )ьчь»м„, которая в дальнейшем нзу„,', чалась в статьях Саг[!!з [801, где были найдены ее собственньгм; значения, и МсС!е1[ап, Раг[«з 111 и Мог!оп [11, где были опредв,:, лены ее собственные векторы. Другой подход к вычисленн квадратичных сумм Гаусса с использованием теории матриц бы предложен Карлицом (Саг!йг [741).
См. также работы Вгеззоц««[ [11, Саг!![х [1061, СацсЬу [51, Кгопес[«ег [2), МогдеП [121 Ф 5Ьап[«з [11, где даются в основном алгебраические доказательства', аналитические доказательства используются в работах ВагпЬаЬ,',, СЬочг[а [11, Иг!сЫе! [1], Еэ!еггпапп [21, Кагагпа[а, Топпс [!1.! 297 Комментарии Кгопесйег [9], 1апг[аи [31, Могт[е!! [11 и %еЬег [6], а также з некоторых других. Во многих из этих работ вычисляется сумма р-! ~~ ~Еем!а'/р которая, как нетрудно убедиться, совпадает с квадратичной суммой Гаусса для простого поля Гр. С другими доказательствами можно познакомиться в книгах Ароз1о! [2, сЬ. 81, СЬое/!а Я. ! !6, сЬ. 21, Рачепрог! [8, сЬ. 2], [.апбап 15, сЬ. 41, 1апя [3, сЬ. 41 н Боревич, Шафаревич [1, гл, 51. В статье Веги!]1, Ечапз 1!1 дается исчерпывающий разбор техники, применяемой при вычислении квадратичных сумм Гаусса.
В связи с теоремой 5.15 интересен следующий результат Човлы (СЬоч!а 5. 1131, [!4]) и Морделла (Могс[е!1 [131) (см, также [х[аг[х!еч/[сз [1, сЬ. 61): если р — простое нечетное число и тр — мультипликативный хаРактеР полЯ Гр, то число 0 (!Р, т!) Р '/а ЯвлЯетсЯ коРнем из единицы лишь в том случае, когда ф — квадратичный характер. Обобщения этого результата на произвольные конечные поля получены в статьях Ечапз 111 и Уо1хоуаспа [1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
