Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 66
Текст из файла (страница 66)
См. также работы Етапз [81 и 51!с]хе!Ьегяег [1] по поводу близких результатов. р †! В статье Саг!!1г [81] показано, что сумма вида В = ~' с„е™а/и а=! при простом нечетном числе р и с„=- +1 удовлетворяет равенству [ В [ == р'/а лишь в случае, когда  — квадратичная сумма Гаусса для поля Гр. Другая характеризация квадратичных сумм Гаусса среди сумм вида В дается в работах т[ет[е! [71, [11, сЬ. 61. В статье Сач!ог [31 отмечается, что если в сумме В коэффициенты с„— произвольные целые числа и выполнено условие [ В [ = р'/', то сумма В тесно связана с квадратичной суммой Гаусса, Теорема 5.16 принадлежит Штикельбергеру (5!!сйе!Ьегяег [11).
Ее доказательство приводится также в статьях СагШз [71] и Ваитег1, МсЕ!!есе [1], при этом последняя содержит также вычисления некоторых других сумм Гаусса специального вида. Подобные же формулы можно найти также в работах Весне[1, Ечапз [11, [21, [4], Ечапз [11, 1зЬ!пшга [1], МсЕИесе [5] и Муегзоп [51, однако некоторые из этих формул содержат неточности. Квадратичный закон взаимности (теорема 5.17) был установлен Гауссом (С!аизз [11), который дал несколько его доказательств (см. также Оапзз [21, [41). Одно из них основано на суммах Гаусса (Оацзз [2 1); см. также СапсЬу [21, Е!зепз1е!п 131, Наззе [!5, сЬ. 8] и !ге!апг[, Козеп [1, сЬ.
61. Некоторые рассуждения в доказательстве теоремы 5.17 существенно упрощаются, если ~спользовать суммы Гаусса со значениями из конечных полей; см упр. 5.26 и 5.27, а также работы Вцг/]е [61, Нацзпег 111, 298 Гл. 5. Тригонометрические суммы Но1гег [1, 8 18, 191, )ге!апг[, Розен [1, сЬ.
71, К[поз!еггпап [6Т Вегге [1, сЬ. 11 и ХаззепЬаг|з [31. Другой метод доказательств квадратичного закона взаимности с помощью конечных поле связан с разложением многочлена (х" — 1) (х — !) над просты ' полем Е . Эта идея восходит к посмертно опубликованной работв Гаусса (Стацзз [4)) и позднее неоднократно использовалась фак. тически в эквивалентных формах другими авторами (см.
Ре[[е [21, М!г!птапо!1, Непзе! [11 и 8 иап 111), Этот тип доказательств воспроизведен также в книгах Васйгпапп [4, сЬ. 71, Вег!е)сап)к 14, сЬ. 61, СЫЫз [1, раг1 П1, сЬ, 161 и Йег[е! [10, сЬ. 111. Дру. гие доказательства, использугощие конечные поля, можно найт' в статьях Аяоц [61, Вгетеег [1), СЬоте[а Я [181, Рцгг[ц[гп А!пгеЫа [21, ).еЬезяце [4), Ре)1е1 [9), Вйо)епт [61 и Решетуха [2 см. также пример 5.24 в 5 3. Систематический обзор различи ' техники, используемой для доказательства квадратичного закон взаимности, можно найти в работе Р!ерег [11.
В книге ВасЬгпа [4, сЬ. 6! представлена история различных доказательств. Ин'„ тересны также доказательства квадратичного закона взаимно в недавно опубликованных статьях Вгоумп Е. 1! 1 и Егагпе 1! Суммы Гаусса используются также при доказательстве высш ' законов взаимности; см. Е[зепз1е[п [2! относительно кубично случая н Е!зепз!е[п 141 относительно биквадратичного случа Доказательство Эйзенштейна кубичного закона взаимност„ воспроизводится в книгах ВасЬгпапп [1, сЬ. 141 и !ге[апг), Гх; зеп [1, сЬ. 91; см. также ВасЬгпапп [1, сЬ. 131 по пово' биквадратичного случая.
Доказательство Джоули (3о[у [4 кубичного закона взаимности тоже связано с суммами Гаус При этом использование сумм Гаусса со значениями из конечно поля вновь приводит к упрощениям (см. Вцгг)е 161, 191 относ ' тельно кубичного и биквадратичного случаев соответственн ." Доказательство кубичного закона взаимности, основанное конечных полях, приводится также в статье Ясо!егп [6). Сум Гаусса используются, кроме того, в законе взаимности, пр надлежащем Вестерну (Юез!егп [1)) и в так называемых рац ональных законах взаимности, рассмотренных в статьях Еч [91, 1еопагг), 'тчг!!1!агпз [61 и %1[1!агпз К. Б.
[341. Об оценке ро сумм Гаусса в законах взаимности см. Же[1 [1! 1. Интересные соображения об общих законах взаимности пр ведены в книге Наззе [161 и обзорной статье %'угпап [1). Друго тип законов взаимности, связанных с конечными полями, ра. сматривал Дедекинд (Оее[еЫпс! [11), который установил квадр ' тичный закон взаимности для нормированных неприводи многочленов над конечными простыми полями; см.
также Аг1. [11 и тгаЫуапа!Ьазтчагпу 111. Высший закон взаимности это типа для произвольных конечных полей был получен Кю (К6Ьпе [11) и затем переоткрыт Шмидтом (6сЬгпЫ! Р. К [2 Комментарии и Карлицом (Саг!11з [1], [2]); см. также Саг1Ба [4], Оге [6], рос)с!!яд!оп [2], БсЬтчагг [2] и %'Ь!1егпап [1]. Большое количество работ о суммах Гаусса с кубнчными характерами появилось в связи с давней гипотезой Куммера. Куммер (Кипппег [2]) на основании вычислений, проделанных в статье Кппппег [1], выдвинул гипотезу, что для мультипликативного характера ф порядка 3 простого поля Гр, где р = 1 (шос[ 3), числа попаданий величины 0 (с[с, !«с) р и' в три подмножества единичной окружности 1д — — [!енсс ~]1[ < — ~, 1, — ~еисс ~ (,= ~иисс~+<]!] <1~ стремятся к отношению 3: 2: 1 при р — оо. Однако более основательная вычислительная работа, проделанная многими авторами (например, чоп Ь[ецшапп, Оо!бз[!пе [1], Веуег [1], 1 еЬспег Е.
[5], Савве!и [2], РгоЬегя [! ]), склоняла к выводу, что предельное отношение ближе к 1: 1: !. Теоретические результаты Морено (Могепо С. Л. [1]) и Паттерсона (Ра11егзоп 5. Л. [3]) также указывали на это. Наконец, Хит-Браун и Паттерсон (Неа[ЬБгочсп, РаИегзоп [1]) преуспели в доказательстве гораздо более сильного утверждения, а именно что значения 0 (ср, т,) р сса распределены равномерно на единичной окружности, когда число р пробегает все простые числа, сравнимые с единицей по модулю 3, Зто доказательство построено на более ранних работах Куботы (КпЬо[а Т. [5], [6]) и Паттерсона «Ра11егзоп 8.
Л. [1], [21). См. также Ое!!япе [5], где результаты Паттерсона рассматривасотся с другой точки зрения. Более ранняя попытка А. И. Виноградова [1] опровергнуть гипотезу Куммера оказалась неудачной. Мэтьюз (МаПЬечз С. [!. [1]) доказал формулу, высказанную ранее Касселсом (Савве!и [3), [4], [5]) в качестве гипотезы, согласно которой значение кубичной суммы Гаусса над простым полем Г, равно 'а (ф, х,) = ~ (ф, ф) О (ф) ; , где 1 (ф, ф) — сумма Якоби (см. э" 3), а О (ф) — произведение значений «-функции Вейерштрасса.
Простой алгоритм для вычисления этого выражения предложен в статье МсбеПНсй [1]. О дальнейших результатах по кубичным суммам Гаусса см. Наззе [15, сЬ. 20], Кга1зе! [1), 1.ох1оп [! ], [2], [3) и Решетуха ~ 11. а также обзорную статью Бегит[1, Ечапз [4]. Мэтьюз (Ма11Ьетчз С, К. [2]) доказал справедливость формул, 'средложенных Локстоном ([ ох!оп [2], [3)) и Мак-Гетриком (Мсбе[[г!с[с [2]) в качестве гипотез и дающим значения биквадратнчных сумм Гаусса б (ф, ул) над простым полем Гр. Распределе- зоо Гл.
5. Тригонометрические суммы ние величины 6 (ф, ул) р 'Уе на единичной окружности исследовал' Хассе (Наззе [15, сЬ, 20]), Кубота (КиЬо1а Т. [4]), Лемер (1.е гпег Е. [5)) и Ямамото (Уагпапю1о [1]), а затем Паттерсон (Ра1' 1егзоп 5, 3. [4]) показал, что эти значения равномерно расп делены на единичной окружности, когда р пробегает все прост числа, сравнимые с 1 по модулю 4 и что аналогичная теоре ' справедлива для сумм Гаусса любого высшего порядка.
Дальн шие результаты о биквадратичных суммах Гаусса можно найт' в работах Вегпе[1. Еуапз [4], Наэзе [15, сЬ. 20], Кга1ге[ [1, и КпЬо[а Т. [4], Другого типа результат о равнораспределегг, ности для сумм Гаусса установил Смит (5гпВЬ Я, А. [3], [4] ' который показал, что если ф пробегает все нетривиальные муль пликативные характеры простого поля Гр, то распределение р— величин 6 (4г, уа) Р "' на единичной окРУжности стРемитсЯ к Ра: номерному распределению, когда р — оо (см.
также Ка[з сЬ. 1]). При доказательстве теоремы 5.17 мы отмечали, что значепв ' сумм Гаусса являются целыми алгебраическими числами. П' этому представляет интерес разложение на множители тако,' значения (точнее главного идеала. порожденного таким зна пнем) в кольце целых соответствующего поля алгебраическ чисел. Это было осуществлено в важной статье Штикельберге (51!с[ге! Ьегяег [1]). Йекоторые результаты этой статьи излага в работах Сггаз [1 ], Зо! у [5], 1 апд [3, сЬ, 4], [5, сЬ. 1!, В стат " РгбЬВсЬ [2] предлагается другой метод доказательства. Штикел бергер в той же статье (51!с[се[Ьегяег [1]) получил некотор ' ' сравнения для значений сумм Гаусса; см.
также [)туог[е [2] Пгаз [1]. ,че Результатом, представляющим большой теоретический ии рес, является формула Гросса и Коблица (Сггозз, КоЬШг [11]г' выражающая значение суммы Гаусса в виде некоторого прои,' ведения значений р-адической гамма-функции; см. также Воуагз[г, е [1], КоЫ[[х [3, сЬ. 3] и Еапд [6, сЬ. 15].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
