Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Сщенки неполных сумм с мультипликативными характерами, зависящие от числа Н слагаемых, были впервые получены Берджессом (Вцгяезз 11!) для квадратичного характера простого поля ~.", а затем Вангом (%апд 'г'. [11, [21) и Берджессом (Вигдезз [21, [31, [51) для произвольных нетривиальных мультипликативных характеров простого поля Кр. Эти результаты имеют следующий вид: для любого з ~ 0 существует число 6 ) О, такое, что для простого числа р ) ре (е) и целого числа Н ) рпгм+' справедлива оценка ! ла Ф(с) (Нр е к=м+~ для любых нетривиальных характеров ф поля Гр и любых целых чисел Л/ (см.
Вцгдезз [21). Аналог неравенства типа неравенства Берджесса — Ванга для произвольного конечного поля [['» был доказан впервые Дэвенпортом и Льюисом (Эауепрог1, [.ечп)з [31): дальнейшее его усиление получено в статьях Вцгдезз [71, Рг!ес[- [апс[ег 131 и'Зогс[ап 3. Н. [31 (для частного случая д = р') и з статьях Вигдезз [101, Рг[ес[!апдег [21 и Карацуба 161, 181 для общего случая '). Распределение значений неполной суммы и»-и »1 (с), гДе Ч вЂ” квадРатичный хаРактеР пРостого полЯ Кр, к Мкл изучалось в статьях [)ауепрог(, Егс[оз 111, Моп1яогпегу [21, и+н %о![се [11 и Усольцев [11.
Неполные суммы вида Е ф (г'(с)), к=г»+! гле зр — нетривиальный мультипликативный характер простого поля Гр и г' Е Гр [х[, рассматривались в работах Впгпезз 161, Виноградов И. М. [41 и Сегал [!1. Нижние границы для абсолютных величин таких сумм при зр =- т[ были найдены Карацубой [91, Митькиным [31 и Степановым [!11. Неполные кратные суммы ДлЯ пРостого полЯ [['р с мУльтипликативными хаРактеРами изучались в статьях Вигпезз 181, [91 для случая бинарных квадратичных форм и в статье Ск[!!е11 [11 для случая произвольных мпогочленов от нескольких переменных. з 6. Суммы Клостермана впервые появились в работе К!ооз(егпзап 1! 1 в связи с представлением целых чисел квадратичной Формой.
В этой работе содержится также оценка нетривиальных сумм Клостермаиа для конечных простых полей [[', имеющая порядок ра~е (см. также Ез[еггпапп [11 и Ба![е [11). Улучшенная 'к к р к р'к к ю к ~ о р ~ [4) ! кв ео1 ° кк ° , и ° к. ° , „. * к.к кк и. [з1. Метод таюие заимствован у Карацубы. — Прим. иерее. 312 Ги. 5. Тригоиочетрииесиие суииы и 5а!!е [21.
Хассе (Назие !5)) заметил, что оценка, указанна' в теореме 5.45, вытекает из гипотезы Римана для кривых н~щ,. конечными полями. Справедливость этой гипотезы была уста! новлена Вейлем (Юе!1 ]11, [21, [3 1), который затем доказаф' в статье (Уе!1 !51 и упомянутую выше оценку для сумм Клостерй) мана. Доказательство Вейля теоремы 5.45 было упрощено Кар' лицом и Утиямой (Саг!![г, ОсЬ!уагпа !! 1), которые к тому рассмотрели случай четного числа д, не изученный Вейлем.
Дв доказательства теоремы 5.45 можно найти в книге Шмид (5с$пп!с[1 %. М. [3, сЬ. 2 1); они существенно опираются на ме Степанова [4 ], [5! . Теорема 5.46 доказана в статье СагШх [!11]. Применяя мног члены Диксона, определенные равенством (7.6) (см. гл. 7), можн переписать формулч из теоремы 5.46 в виде 7((71'1; а, Ь) =- — де( — К, д) =-( — 1)'-' де(К, д). Равенство в теореме 5.47 является частным случаем формул преобразования из статьи ЗасоЬз!Ьа! [! 1.
Доказательства теоре)[ 5.47 можно найти также в работах Рачепрог! 141, 5а!!е [)" 5сЬшЫ[ %. М. [3, сЬ. 21 и Ю!!!!ашз К. 5. [161. Различные р' венства для сумм Клостермана, а также сумм из произведе сумм Клостермана содержатся в статьях Рачепрог! 141, !.' тег, [ еЬшег 1! 1, [31, 5а!!е [! 1 и ЖЬ!!ешап 151; см. также К' хйо 11 ], где предлагается иной подход. Некоторые из этих равен- связаны с суммами Якобсталя. Карлиц (СагШх [!09!) изучил Й' которые элементарные свойства сумм Клостермана для поля характеристики 2. Поскольку уже само появление сумм Клостермана было св вано с квадратичными формами, вряд ли следует удивляться том что их можно использовать для изучения тригонометрическ, сумм, содержащих квадратичные формы (см. СагШх 1451, [4о:: [!09], СЬочч[а 5. [20], Виноградов И. М, 141, Малышев 12 Результат работы Саг!![з [461 был обобщен в работах Саг! !!х [7 ' и Носарев [!61.
В статье Рвот[с 11! 1 суммы Клостермана рас трнваются с точки зрения и-адических когомологий. Рассматриваются также суммы Клостермана для фактор лец х.'(и). Оценка для таких сумм, основанная на оценке Вей была получена в статье Ноо1еу [1); см. также Ез!егтапп [3 [41. В статье 5а[!е 11! получено точное значение для сумм Кл ' стермана в случае т — ре, где р — простое число и й ) 2; также 1чЬ!!етап !2], %!!!!ашз К. 5.
1!91, [281 и Малышев гл. 21. Клостерман (К!ооз[егшап 12 1) сделал важное иаблюден что суммы Клостермана для кольца Е'(гп) появляются в свя$ с коэффициентами Фурье модулярных форм. Эта замечательн связь в дальнейшем широко использовалась; см., например, р боты Вгпдяетап 111, Резйоп!!!егз, [жап!ес [1 ], [~чан!ес [[' Комментарии рагзоп [11, Ре!егззоп [! ), Гсас[евасЬег [11, [21, бе!Ьегн [21, Кузнецов Н, В.
[11, Линник [21, Малышев [4! и Проскурина [! 1, [21, Дальнейшие результаты о суммах Клостермана для фактор- кольца Ус'(т) можно найти в работах Ноо!еу !21, К!ооз!егвап [1), [21, Яа!!е 111, бе!Ьеги [11, бв!!Ь й. А. [51 и Малышев [3, гл, 21. Андрухаев 121 изучал суммы Клостермана для факторколец кольца целых гауссовых чисел. Неполные суммы Клостермана изучались Клостерманом (К1ооз!егвап [11, [2!) и Радемахером ([[ас[евасЬег [11); см. также Ноо!еу [3, сЬ.
21. Обобщенные суммы Клостермана, определяемые в упр. 5.83, пыли введены Дэвенпортом (Пвчепрог! [4 1). Для случая квадратичного характера»р такую сумму называют также суммой Салье, так как Салье (ба!!е [1 1) впервые доказал для нее формулы, приведенные в упр. 5.84 н 5.85 для простых конечных полей. Доказательства формул для сумм Салье можно найти также в работах !.еЬвег [).
Н. [61, Могс1е1! [261, [281, [301, %!Шавз К. 5. [16), 12! 1„[221 и Малышев [3, гл. 21. Суммы Салье играют важную роль в изучении функции разбиения (см. ].еЬвег П. Н. [61). Оценка типа Вейля для обобщенных сумм Клостермана была получена Човлой (СЬосч!а 5. [221) для случая, когда ф не является квадратичным характером. Обобщенные суммы Клостермана появляются также в статьях Саг!Вз [461, Нос[нез [!61, К!ооз!егвап [51 и Виноградов И. М. 151 и (в близкой форме) в работах Кпорр [! 1, ГсоЬгЬасЬ [! 1, Андрухаев [! 1 и Малышев [! 1, [3, гл. 21, [41.
О дальнейших обобщениях сумм Клостермана, связанных с теорией модулярных форм, см. Вгцяяевап [11, РезЬоц!1- !егз, !снап!ес [1!, Кап[с!п П, сЬ. 51, бе1Ьеги [21 и Проскурин [11, 131. Другое важное обобщение сумм Клостермана для конечных полей возникает при рассмотрении сумм вида ~т Я (с)), где Я— рациональная функция над полем гр и суммирование ведется по всем элементам с Е Кд, для которых определено значение )с (с); см. ВовЬсеП [41, Елистратов [71, Перельмутер [11, [21, [9] и Степанов [5!. Гибридные суммы с рациональными функциями изучались в статьях Могйе!1 [271 и Перельмутер [11, [21, [91; такие же и даже более общего вида суммы появляются в статье %!!!!авз К. 5.
1201. Кратные суммы Клостермана (или гиоерсуммы Клостермана) были введены Морделлом (Могс[е!! [141). В нетривиальном случае они имеют вид К (а,с, + ... + а,с, + Ьс| ... с ), "" '»6» где т — нетривиальный аддитивный характер поля г„а а„... ..., а„Ь е- Г». В статье Могс[е!! [141 доказана оценка [К, [ ( с)с»+псе для случая, когда у — простое число; см.
также Саг!!!х [!001 314 Гл. а. Трнганаметрнческне суммы и 5вИЬ К. А. 14); некоторые улучшения для частных случае ' получены в работах СагП!г [!001, [!081. Окончательная оцени®. ! К, ! < (г + 1) ч"г' установлена Делинем (РеПнпе 14 1). Это, безусловно, является прямым обобщением теоремы 5.45. В работах Ка(х 14, сЬ. 2, 5)' н Вегге [3] обсуждаются предпосылки доказательства Делиня: Бомбьери (ВогпЬ1ег! [7 1) получил границу того же порядка рост ' (относнтельно д), использовав лишь предварительные результат ' из статьи Делиня РеПяпе 14!. О дальнейших результатах по крате ным суммам Клостермана см.
работы СагП(з [!00], [!13), Кц!л' а(го 11), !.еЛвег, !.еЬгпег [41, МсЕПесе, Кцвзеу [! 1 и 5регЬег [2),' Кратные суммы Клостермана для факторколец У~(лт) были ра ' смотрены в статьях СагП(г (98), 5гп!!Ь [т. А. 131, (41, 151 и ЪЧе!и.,!, з!е!и 1! ). О гибридных кратных суммах Клостермана см. Ре.'', Пяпе [4], Ка(з 14, сЬ. 5) и МогдеП [26], 13!1. Кратные тригоно) ' метрические суммы с другими рациональными функциями раек„: сматривались в работах СагП!а [1!3], Ка!г [4, сЬ.
51, ЕеЬв !.еЛвег [!1, МогдеП [!О), 1271, 128], [3! ] и ВрегЬег [(1, [3 '' Суммы Клостермана для невырожденных матриц над конечн полямн рассмотрены в статье Нодйез 161, для кососимметри ских матриц — в статьях Ног(яез 181, 1251, для симметрически!), и эрмитовых матриц — в статьях Нодйеэ 131, 1101, 1!7!.
Теорема 5.48 бьиа доказана Якобсталем (ЗасоЬз(Ьа! [! ), 12 для конечных простых полей. О приложениях формулы из этц теоремы см, НаП [8, сЬ. (41 и 1.еЬвег Р. Н. 181. Суммы Н„ф" и 1„(а) были впервые изучены Якобсталем ЦасоЬз(Ьа! [! 1, [2 1) -у';,' главным образом, для случаев и =- ! и п = 2. Различные тождве~ ства, связывающие эти суммы, были получены в работах Вегцг)~" Ечапз 111, !.еЬгпег Е. [4), чоп 5сЬгц((га 1! 1, ФЬ!!евап [6] Постников и Степанов 1! ), Суммы Якобсталя вычислялись для це[ЭЬ больших значений п, часто одинаковым по существу способом„,'5У именно путем определения числа решений уравнений у' = — к" + е[), в поле Ке; так, для нетривиального случая, когда и = 4, а = ф' и г) — простое число, это было проделано еще Гауссом (Оацез 13)ге ' О дальнейших результатах см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
