Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Ха тривиален, то справедливо равенство д„) йд( !) 7(д„, . „д,,). Здесь» — сумма Якоби. 5.29. Пусть )гы ..., )гь — мультиплнкатнвные характеры поля Г». Дока- за гь, что если хоти бы один нз характеров Х! нетривнален, ! < 1 < й, то ~„'У. (),, ..., Дз) =9. и Е 5'» в.30. Пусть Ды ..., )гь — заданные мультиплнкатнвные характеры полн К». Доказать, что имеет место равенство ~„'У (Х, )!э,..., )га) = (7 — !) д'а (дз,, Ха) + У Ры ° . ' "ь) ь где сумма распространяется на все мультиплнкатнвиые характеры Х поля Г».
Зак. »зз 322 Гл. 5. Тригонометрические суммы 5.31. Пусть Х вЂ” нетривиальный адднтнвный характер поля )Гч и а, Ьт, ."' Ьл Е Кч, Доказать, что Е (,, "+ (Ь„, ... ! Ь ° (Х(оЬ4)Ч ', если Ь, = ... =Ь„, Х( тот+ '''+ ьсь) =- + '=)О н противном сл)чае 5.32. Используя соотношение (5.16) и результат упр. 5.31, дать другое казательство формулы из теоремы 5.21, выражающей сумму Якоби 4' (Лх. через суымы Гаусса. (Указание.
Показать сначала, что прн стандартном сот шенин относительно ф(О) (т. е. ф (О) равно О для нетривиального и равно 1 тривиального характера зр) равенство (5.16) выполннется для с = О и нетрйг анального харантера ф) 5,33. Использовать (5.16) н результат упр. 5.31 для доказательства сл ющего утверждения. Пусть Л,,..., Ла — мультипликативные характеры поля К' причем Лт, ..., Ль нетривиальны, а Л, ... Ль тривиален. Тогда для любого негр анального адднтнвного характера Х поля 5' справедливо равенство ч ! !4(Лм, Лл) = (1 — — 10(Л4, Х) .. О(ЛЮ Х). 5.34.
Доказать, что если Л4, ..., Лл — нетрнниальные мультипликатнви а Х вЂ” нетривиальный адднтивный характеры поля 5'ч,то справедливо равен ' 1 з (Л,, ..., Лл) =- — О (Л,, Х) ... о (Лю Х)ы (Л, Лю Х). Ч 6.35. Доказать, что если Л,, Л,, Л,, Л,Лз н Л,Л, — нетривиальные муль пликативные характеры поля Ьзч, то У (Л,, Л,) У (Л,Ле, Л,) = У (Л,, Л,) У (Л,Л, Л,). 5.36. Пусть Л,, ..., Ль — нетривиальные мультипликатнвные харак поля 5'ч и 1 ( Н ( Ь. Доказать, что если характер Л, ...
Лн нетривналеи, У (Лт . Лл) = У (Л . . Ль) У (Лт . Ль Лью, , Ль) 4' 5.37. Пусть Ь > 3 и Л,,, Ль — мультипликатнвные характеры поля (Г ь причем Л, и Лл нетрнннальны, а Л, ... Ль тривиален. Доказать, что ,)(Л, ..., Л!,,) = (Лз ... Ль 4)(-- 1) з (Л,, ..., Лл). 5.38.
Пусть ф — мультипликативный характер порядка гл ) 2 поля )Гер а Х вЂ” нетривиальный адднтнвный характер этого поля. Доказать, что ,! — дУ (ф ..., ф), если л4 делит Ь, 0(Ф х)'= ( О(ф,Х) з (ф ..., ф) в противном случае, где суммы Якоби зависят от Ь характеров ф. 5.39. ДОКаэатЬ, ЧтО СУММа ЯКОбИ З (тн ..., 4)), ЗаВНСЯЩан От Ь КнаДРатНЧ"т ных характеров т) поля (Гч нечетной характеристики, задается формулой ы ( — 1)4~ !е ~! г~!'~д1~ З!Щ при четном Ь, з (4) т)) = ( — 1)1" 4>14 '>Ив!~ '!'""' прн нечетном Ь. 5АО. Доказать, что если Л вЂ” мультипликативный характер нечетного по-г рядна гл ь 3 поля Ь'ч, то справедливо равенство у() )З )м — 1) 1т — 3!12 Упражнения 323 5.41.
Пусть ь — мультипликативный характер порядка 3 поля й'ч и )(— нетривиальный аддитивный характер того же поля. Доказать, что а (), у)а = зу р„д). 5,42. Доказать, что если т) и ф — мультиплннативные характеры порядков 2 и 3 соответственно поля Кз, и д ж — ! (пюб б), то з (тп тР) = д. (Указание. Применить теорему 5.16.) 5,43. Доказать, что если $ — нетривиальный мультипликативный, а т!— квадратичный характеры поля Гч нечетной характеристики, то у (зр, т)) = = Р(4) У (Ч» Р). 5.44. Пусть т) — квадратичный характер поля !)'ч нечетной характеристики, а ю — такой мультипликативный характер этого поля, что характер тра нетриваален. Доказать равенство 7 (Фз Ч) = Р (4) У (Ф Ф)), воспользовавшись теоремой 5.28. 5.45. Доказать, что если характеры фи т) те же, что и в упр.
5.44, то 7 (зр, 65) = 6 (4) У Ф, 6л). 5,46. Доказать, что если т) — квадратичный характер поля Г нечетной характеристики и зр — мультипликативный характер порядка не менее 3 этого же поля, то справедливо равенство ~р ( ! 6) з' (зр, ф) = т! ( — !) з' (йп), з(я)). 5.47.
Доказать, что если характеры ф и т) те же, что н в упр. 5.46, то 7 (Ф Фт)) = Р ( — 4) У ® Ф). 5.48. Пусть тр — мультипликативный характер порядка 4 поля 5'ч, где д и ! (шод 4), и т) — квадратичный характер этого поля. Доказать, что з' (нь 6) = Ф ( — 1) у (тр* т)) 5.49. Пусть ь — мультипликативный характер порядка 3 поля 5'ч, где д: 1 (пюб 3). Доказать, что з' (а, а) = А + Вы, где А, В 5 л, А ж — ! (пей 3), В ш 0 (шод 3) и ы — комплексный первообрззный корень третьей степени из единицы. (Указание.
Применить теорему 5.27 н использовать сравнения в кольце целых алгебраических чисел.) 5.50. Пусть ь — ' мультипликативный характер порядка 4 простого поля $'э, где р ш ! (шод 4). Доказать, что 7 (Х„)с) = А + В~', где А н  — целые числа, такие, что Аз+ В'= р, причем А ж — ! (пюб4). 5.5!. Доказать, что каждое простое число р вида р ж — ! (шод 3) можно представить в виде р = А' — АВ + Ва, где А, В 5 л . 5.52.
для тех же мультнплнкативных характеров х и зр, что и в теореме 5.28, доказать, что если число гп нечетно, то соотношение Дэвенпорта — Хассе (см. теорему 5.28) эквивалентно равенству у (зр рт ~рдм — 1) р ( т) (т — !)~2 5.53. Пусть )( — ш!дитивный характер поля )('ч, а тр — мультипликативный характер порядка гл этого поля, Доказать, что В(зу, Х)м = Аз+ Аз(+ ' + А дь™ где Аш Ам „„Ам т Е л, а ь — комплексный первообразный корень т-й степени из единицы.
5.54. Доказать, что если а, Ь Е Гч, а чь Ь, и зр — нетривиальный мультипликативный характер поля 5'ч, то зр (с + а) ф (с+ Ь) = — 1. с5 ч 21 ° 324 Гл. 5. Тригонометрические суммы 5.55. Пусть зр — нетривиальный мультипликативный характер поля и пусть 5 — произвольное подмножество в К, состоящее иэ Ь элементов. До!ну ир зать„ что ~ ~ 6 (с + а) ~ = Ь (д — Ь). сйКч)айэ 5.56. ПУсть Лм Лз, Лз — нетРивнальные мУльтипликативные хаРактеРЬ),', поля Кч и а„аз 6 Кч, ат ~ ае. Доказать, что Лт (с + ат) Ц (с+ аз) Лэ (с+ Ь) (~ = Ь с Кч ( с с Кд уз — 34, если Л,Л, — нетривиальный характе '": дз — 24 — 1, если Л,Л, — тривиальный характер.
!, 5,57. Пусть 1Р— мультипликативный харантер порядка и ) ! поля К, и и 5 Кч. Доказать, что — ! а, есле гл делит л, ,„Д', тр(ас") — ( ф (о в противном случае. с ~~~*, 5.58. Пусть л ч Ь4, а, Ь е Ке и зР— нетривиальный мультнплнкативн характер поля К,. Доказать, что н-1 6 ( " + Ь) = р (Ь) '); Лу ( ) Л' ( — Ь) у (Л), р), се Кч 1=! 4 где Л вЂ” мультипликативный характер поля К, имеющий порядок с( = — НОД ( д — 1). 5.56. Доказать, что если т) — квадратичный характер полн Кч, д = 3 (спой н(сК [х] — нечетный чногочлен (т. е.
1( — х) — -- — /(х)), то ~ т) (1 (с)) = с 6Кч 5.66. Пусть ((х) = а,х'+ а,х+ ае й К (х), где д нечетно, и аз т= Доказать, что если зр — мультипликативный характер порядка не менее 3 поля К * а т) — квадратичный характер этого поля, то зР (((с)) = ф(4ае) зР( — а)т) (с() з (зР, Ч), сЕКч где д = а, — 4аоа, 2 5.61. Доказать, что для р-многочлеиа г г †! Р Л (х) = а,хв + а, гхп + + атх + аех г — ! г над полем К характеристики и условие а, + ага ! + ... + а(' + аЬ' (см. теорему 5.34) выполняется в том и только том случае, когда Е (х) = М (х)а .
— М (х) для некоторого р-многочлена М (х) над Ке. 5,62. В связи с теоремой 5.39 доназать следующий результат. Пусть гл й и !' ~ Ке (х) — нормированный многочлен положительной степени, являющий т-й стейеиью какого-либо многочлена (над некоторым расширением поля К Тогда существует нормированный многочлен и Е Кч (х), таной, что (= йаь 5.63. Пусть а, ..., а — различные Ь элементов поля !Г нечетной хара " т "' ь ч тернстики, и пусть е, ..., е — заданные Ь целых чисел, каждое иэ который» 1' "' ь равно 1 илн — 1.
Пусть !у (е, ..., е,) обозначает число элементов с р !Г, таких,' Упражнении 325 что г) (с + а.) = ег для 1 () ( й, где т) — квадратичный характер полн К . Доказать, что 1 %"Ч х (ех , еа) = — а 7 (1 + а„т)(с + а )) . [1 -1- ейт)(с -1- а„)) — А, сбК, где О »( А » (й/2. 5.66. Доказать неравенство ~ гг' (е,..., ех) — — ~ (~ — + — )д'Гт-1- —, используя упр. 5.63 н оценки для сумм значений характеров.
5,65. Пусть ~р — мультипликативный характер порядка т ~ 2 поля К, с,, ..., а„— различные я элементов этого поля н е, ..., е, — заданные й комплексных корней т-й степени из единицы. Пусть йг (е, ..., е,) обозначает число эле. ментов с с К, удовлетворяющих условию ф (с+ а ) = е для ! ( !' ( й. Доказать, что лг (е,, ..., е„) = — 7~ П ( 1 + з~ ~тр (с -!- а() -1- е; тгр~ (с -1- а;) -!- ... с~ Кс)=! где О ( А ( й/т. 5.66. Доказать неравенство Ф(е„...,е) — — ( й — ! — — + — 61 1' .Н а) ! й м ' а т та) т' используя упр. 5,65 и оценки для сумм значений характеров. 5.67.
Пусть т и й — заданные натуральные числа. Доказать существование такого действительного числа дс (т, й), что для любого числа с, являющегося степенью простого числа и удовлетворяющего неравенству а ~ уз [т, й), и для любых элементов а, ..., а„нз поля К найдется такой элемент с б!К, что кажч ч' дый из элементов с+ а, ..., с+ аз является т-й степенью некоторого элемента из Кс. 5.68, Пусть 1р — некоторый мультипликативный характер поля К г, где р — нечетное простое число, а у б Кр* — элемент порядка 2 (р — 1). Определим сумму Эйзеншэмйна Е ($) равенством Е(ф = ~~ ~тР(1+су). сеКр Доказать, что Е (~р) не зависит от выбора элемента у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
