Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 72
Текст из файла (страница 72)
делении примитивных элементов и степенных вычетов, а таквэйк пар последовательных примитивных элементов (т. е. отличают' шихся иа 1) среди значений многочлена над конечным поле В работе Еох1оп, ЧацдЬап 11*! получена оценка рационально,ч тригонометрической суммы с многочленом ~ е""1 <и/е =,1 е=-1 =0(г)~ — щ'+и), где е — максимальная кратность комплексных коф!~ ней многочлена 1' (х), и тем самым доказана гипотеза, выска'Г занная в работе 1 ох1оп, Яш]1Ь [1). Стечкин [1*1 получил оцеий ',й, суммы Гаусса ! еиигаеч д (ехр (~ [и ~~р (п)]2) д! — г/и А=! где гр (тт) — функция Эйлера, с ) 0 — абсолютная постоянная к;, НОД (а, д) =- 1. Митькин 12*1 получил уточнение оценки Хуц,:; Ло-геиа [121 для рациональных тригонометрических сумм, ко",;, торые близки к полным суммам.
Шмидт (БсйшЫ1 Ф. М. 11*1,;; 12* 1) подробно исследовал тригонометрические суммы с кубиче. "' скими миогочленами. Степановым в работах [1*], [2*1, [4е) .;. получены новые оценки кратных тригонометрических сумм нв .'„ алгебраических многообразиях, обобщающие полученные ранее:; оценки Бомбьери (ВошЬ!еп 141) и Перельмутера [91 на случай ': составного знаменателя тригонометрической суммы. В работе Неа1Ь-Вгочгп 11*1 показано, что аналог оценки Делиня (РеИйпе 131) для рациональных тригонометрических сумм со знаменате. лем ре может быть получен на основе довольно элементарных со" ображений. В работе В.
Шмидта (ЯсйшЫ1 Ф. М. [3* 1) получена Упражнения 8$9 оценка кратной тригонометрической суммы с многочленом и с простым знаменателем для случаев, не охватываемых оценкой делпня (Г)е!!цпе [31). Одопп (Ос]оп! [1*1, [2*)) перенес статистический подход, примененный им ранее к суммам Бейля (см. Одоп! 111) на случай других сумм.
По тематике пятой главы имеются также следующие работы: Вгешзег 11ч1, Со[геп 11'1, Со]геп, [епз(га 11*1, Ехропеп(!а1- чппппеп (К!ооз!егшап'зс)ге Бцшшеп), Оо!сИе!д, Багпа]с 11*1, [(пс]зоп, Ж!1!(агпз [1*1, Моих!пцо 11*1, Оие]с! [1ч], 8!наташа]сг!с]тап, $7!]ауап [1*1, Т(е(ауа!пеп [1* ], Архипов, ]чарацуба, Чубариков [1*1, 12* ), Архипов, Чубариков И* ], Бронштейн [1' ), Голубева 11* ), Глазунов [1" ], Елистратов 11ч 1, 12ч ) Карацуба 11*1, 12*], 14" 1, [бч ), [б" 1, [7" 1, [8ч1, [9ч ), Кузнецов [1*1, 12*), [3" 1, Митькин !4" ], Перельмутер 1!ч ), [2*1, Постников 11*), Постникова 1!'] и Чубариков [1ч), [2*], [3*].— Перев.) Упражнения 5,1, Пусть 6 — конечная абелева группа, Н вЂ” ее собственная подгруппа н и 5 6, и ф Н.
Доказать, что существует характер Х группы 6, который аннулирует Н, но для которого Х (И) Ф!. 5ЛЬ Пусть и — подгруппа конечной абелевой группы 6. Доказать, что аннулятор А подгруппы Н в группе характеров 6 группы 6 изоморфен фактор- группе 6)Н и что факторгруппа 6 !А изоморфиа подгруппе Н. 5.5. Пусть 6 — конечная абелева группа и гл 5 $Ч, Доказать, что элемент е 5 6 является гп-й степенью некоторого элемента группы 6 и том и только том случае, если х (и) .= $ для всех характеров х группы 6, для которых х~ — тривиальный характер.
5ли Пусть 6,, ..., 6ь — конечные абелевы группы. Определим умножение /с-набоРов (иы ..., дь) и (йы ..., Ьь), где дг, ь, 5 6г дла 1 ( г ( ь, Равенством (а ° "На](" " "ь) = (азат йьйь) Показать, что относительно этой операции множество всех таких Ь-наборов является конечной абелевой грчппой (она называется прямым произведением групп 6,, .„6ь и обозначается д, З ... З 6а). Доказать затем, что соответствующая группа характеров (6, сь ...
чп 6а) нзоморфна прямому произведению а З...~р6ь. 5.5. Прнмснив структурную теорему о конечных абелевых группах, которая в своей простейшейформе утверждает, что каждая такая группа изоморфна пряному произведению некоторых конечных циклических групп, доказать, что группа характеров 6- конечной абелевой группы 6 изоморфна 6.
5.5. показать, что если х — аддитивный характер конечного поля Гр (в обозначеннЯх теоРемы 5.7), то Х Х =- Х Ь ДлЯ всех а, Ь 5 Г . Показать таким ч ь ь ч способом, без использованиа УпР, 5.5, что гРУппа аддитивных хаРактеРов полЯ Гч нзоморфна аддитивной группе этого ноля. 5.7, Пусть ул — канонический аддитивный характер конечного поля Гч характеристики р. Доказать, что ул (сп ) = ул (с) для всех с с Гч и ! 5 $Ч. П 5.8. Пусть ф — мультипликативйый характер порядка и конечного поля К з, где ю, з 5 $(.
Доказать, что огРаниченне хаРактеРа ф на поле )Гч ЯвлЯетсЯ мУльтипликатнвным хаРактеРом поРЯдка гп/$(ОД (т, (дз — !)/(о — $)) полЯ )Гч. Гл. 5. Тригонометрические суммы 5.9. В обозначениях упр. 5.8 доказать, что ограничение характера ф иа является тривиальным характером поля (Гч в том и только том случае, когда' делит число (дэ — 1)7(4 — 1). 5.10.
Пустьф — мультипликативный характер поля Ь'ч, и пусть 1Р' — ' поднятие до расширения !Г, поля Г (определение поднятия характера ч ч в рассуждении, предшествующем теореме 5.!4). Доказать, что ф (с) = ф' (с) любого с Е 5'. 5.11, Доказать, что мультипликативный характер т полн !Г э совпад ч Ь с поднятием ф' некоторого мультипликативного характера поля Кч тогда и толь тогда, когда те ' — тривиальный характер. 5.12. Пусть т 8 74, д .=- 1 (шоб гл) и ф пробегает множество всех муль плнкатнвных характеров поля (Г, порядки которых делят т. Доказать, что и этом соответствующее поднятие ф' до расширения 1Г, поля !Г пробегает миожйь 3 ч ство всех мультипликатнвных характеров поля К „поридки которых делят йтл ч 5.13.
Доказать, что аддитивный характер д конечного расширения Е поля Ьч" совпадает с поднятием некоторого характера поля Ь чтогда и только тогда, когд он имеет вид 7 = р для некоторого Ь Е (Гч, где р — канонический аддитввиьйл характер поля Е (определение характера р см. в теореме 5.7). 5.14. Пусть 5' — конечное поле. Доказать, что если с Р К", то ~) ф1л1(с) =- н1Ю вЂ” !) ~)Щ! если с — примитивный элемент Р'я, '„. д — ! т(4 !) (О в противном случае, Е 6(Ф Х) =О, х где )( пробегает множество всех адднтнвных характеров поля (Гч, 5.18. Доказать, что для любого адднтнвного характера 7 поля !Гч сира" ( ведлнво равенство Е 6 (Ф Х) = (4 - 1) Х (!), Ф ~ "у где ф пробегает множество всех мультипликативных характеров поля эя где во внешней сумме Й пробегает все положительные делители числа д — ), ':ч а во внутренней ф! ! пробегает ф (гО мультнплнкативных характеров порндка г(,: поля Ь'ч.
Здесь р обозначает функцию Мебиуса (см. определение 3.22), а ф — ': функцню Эйлера (см. теорему 1.15 (!ч)). 5.15. Показать, что т! (2) = ( — 1)!ч ~!7з, где т) — квадратичный характер 54 поля й'ч нечетной характеристики (определение т) см. в примере 5.10).
5.18. Пусть Ь'ч — конечное поле характеристики р и г 5 И. Доказать, что'(( в обозначениях теоремы 5.7 для любого мультипликативного характера фполн йа,.', и любого Ь 5 К имеет место равенство 6 (фпг, )(ь) = 6 (ф )( ), где р(Ь) !',: = Ь . Здесь 6 — сумма Гаусса. лг 5.17. доказать, что для любого мультипликативного харантера ф поля (Га',г! справедчнво равенство ::.(Ь Упражнения 321 5.19. Пусть з Е $4, » = р', где р — простое нечетное число, н т) — квадратичный характер поля К . Доказать. что если уь (Ь Е К ) — адднтивный »' ' Ь » характер поля (("», определенный в теореме 5.7, то справедливо равенство !)!»+!Уг,.д!р .~ар+ам» !Ю Ь) 5.20. Доказать, что если т) — квадратичный характер поля !)» нечетной характеристики, то в обозначениях теоремы 5.7 справедливо равенство 6(т), )(д)6(т), хь) =т)( — аЬ)4 для любых а, Ь6(Г".
5.21. Применить квадратичный закон взаимности (см, теорему 5.17) для вычисления символов Лежандра ( — ) и ( — 7!, Определение символа Ле* (, 59 7 (, 6! 7' кандра дается в примере 5,!О. / — 3т 5.22. Найти все простые числа р, для которых ( — 7! = !. Р 5.23. Найти все степени 4 простых нечетных чисел, для которых квадратич- ный характер т! поля Г» удовлетворяет условию т! (3) =- 1. 5.24.
Доказать, что квадратный многочлен х'+ ах+ Ь над полем Г» не- четной хврактеристихи неприводнм тогда и только тогда, когда т) (аз — 4ь) = .—. — 1, где т! — квадратичный характер поля К». 5.25. Выяснить, будетлн квадратный многочлен х'+ !2х+ 4! неприводимым в кольце Кют (х). 5,26. Пусть р н г — различные нечетные простые числа и з — такое нату- ральное число, что г' = ! (глод р). Определим для целого числа Ь и элемента ь порядка р группы К; элемент ба Е (1' д равенством Г г р — ! "=Х(-;)" д=! гот где !х — ) — символ Лежандра.
Доказать следующие свойства: (!) 6э = ( — ] 6,; Р Р (й) 6! — — ( — !)ьэ !!'зр, где правая часть равенства рассматривается каи элемент поля К,, 5.27. Использовать результат упр. 5.26 для доказательства квадратичного закона взаимности (теоремы 5.!7). 5.28. Пусть Х„ ...,)га — мультипликативные характеры поля К». Доказать, ~то если характер Ха нетрнвиален, а характер Хз ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
