Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 69
Текст из файла (страница 69)
— Прим, перев. '.з Комментария ЗО7 В;гсб[21 изУчалось УсРедненное поведение таких сУмм пРи и = 3, когда а и Ь пробегают простое поле Кр. Для случая 7 (х) = ахе+' + '- Ьх ~ ) ч [х[, где а ~ 0 и р — характеристика поля Кч, такие суммы значений характера оценивались Карлицом (Саг!Их [!241, 1[251). Элементарное доказательство отмеченного выше результата Карлица и Утиямы было получено Вильямсом (1ЧИИ- ашз К. 5. [271) для случая, когда число д четно и бед(1).4 б.
Аналоги сумм значений характера из теоремы 5.38 изучались также для факторколец х./(т); см., например, статьи Сйеп Л. !1. [11, Нца [11, [31, 161, [71, [9. сй. ! 1, [!21 и Карацуба [41; недавние уточнения см. в работах Сйеп Л. К. [21, Когпег, 5!ай!е [!1, 1.ох!оп, бгп!й [!1, бгп1Из К. А. [61, Нечаев [71, Нечаев, Топунов [11 и Стечкин [!1. Завершение нашего доказательства теоремы 5.41 в З 4 гл. б покажет, что содержащаяся в ней оценка зависит от нахождения хороших оценок для числа решений уравнения у" =- Г (х) в расширениях поля Гч.
Элементарный метод нахождения таких оценок принадлежит Степанову [21, [71 и Шмидту (бсйш!гИ [Ч. М. !!1, [31); ср. с комментариями к з 4 гл. 6 Менее точные оценки для сумм значений характера из теоремы 5А1 ранее были установлены в статье Рачепрог! 171, а для некоторых частных случаев — в работах Рачепрог! 111, [21, [3[ и Виноградов И. М. [1!1. Оценка из теоремы 5А! является наилучшей возможной общей оценкой (см. 5сйгп!д! ЪЧ.
М. [3, сЛ. 21). Случай, когда г является трехчленом, был рассмотрен в статье Опо [71. Относительно результатов о сумме из теоремы 5.4 ! для случая, когда ф— квадратичный характер, см. также 35 и примечания к нему. Некоторыми авторами изучались так называемые гибридные суммы, т. е. суммы вида Е ф () (с)) т (а (с)), С 6Гд "де ~, у Е Кч [х1, ф — нетривиальный мультипликативный, а д— нетривиальный аддитивный характеры поля Гч. Оказывается, что такие суммы (если исключить тривиальные случаи) также имеют порядок роста не более дм'; см.
Вс[згп!б! '1Ч. М. 13, с[з. 21 и Перельмутер [11, [21. Подобные суммы рассматривал также Вильямс (~ЧИИашз К. 5. !201). Интенсивному изучению подверглись суммы значений таких характеров, аргументами которых являются многочлены от нескольких переменных. Для случая двух переменных пусть 7 Е б Го [х, у) — многочлен степени л ) 2, который невырожден ' том смысле, что нельзя с помощью невырожденного линейного преобразования переменных перевести его в многочлен от одной "еременной. для случаи нетривиального аддитивного характера Х 20~ 308 Гл.
5. Тригонометрические сунны поля Ке в статьях Нпа, М[п [21, [31 установлена граница д суммы значений этого характера у Ц (с, И)), ' и бр» имеющая порядок [е — пы>, и тем самым существенно улучше . полученная раньше оценка Камке (Капйе [! 1). Для случая п ="', Хуа и Мин (Нпа, М!п [21, 131) получили еще лучшую границу," порядка ф'4; см.
также работу Рауепрог[, [.ету18 111, где привед' тот же результат. Наилучший возможный порядок о для случй' п = 3 получен в статье ВоптЬ!ег[, Рауепрог[ [ ! 1, но для некотор" специальных кубических многочленов это было показано рац Морделлом (Могг[е!! [111, [!8 1). Суммы значений характер с кубическими многочленами от двух переменных рассматри ' лись также Карлицом (Саг!1[г 1!221).
Некоторые простей гибридные двойные суммы, т. е. двойные суммы, содержа и аддитнвный, н мультипликативный характеры, были изуче ' в статьях СЬоту!а В. [211 и СЬоч 1а, Вш1!Ь [! 1. Дэвенпорт и Ль ' (Рачепрог[, [.ету!з [! 1) получили оценку для суммы )[ Ц (с„с„с,)) с,те,т ~~' наилучшего возможного порядка де в случае, когда т, — тот; характер, что н выше, а ( — кубический многочлен над [[ее трех переменных, который невырожден, т, е, не может быть п ' веден в многочлен от меньшего числа переменных никаким., вырожденным линейным преобразованием переменных; см.
та Моге[е!! [!51 о некоторых частных случаях. Для произвольной суммы вида 5 (Г) = ~ )[ (Г"(с,, ..., с,)), 'ы " 'ебену где г' Е Г [х„..., х,1, Бомбьери (ВогпЬ!ег! [31, 141) док аналог теоремы 5.36. Аналогичный результат для мультипли тивного характера установлен Перельмутером [31. Нетривиал ные оценки для сумм 5 (() были получены в статьях М!и [21:: ()сЬ!уата [71, но настоящим достижением явилась фундам тальная статья делиня (Ре!!дпе [31), где была подтвержде, гипотеза Вейля для случая алгебраических многообразий И конечными полями (ср. с комментариями к й 4 гл. б), Из ра Делиня вытекает, что если степень и многочлена Г не делится характеристику р конечного поля Ге и однородная часть степени многочлена Г в некотором смысле невырожденна, то [ 5 (Г) [ .. (п — 1)' д'те Комментарии (см.
РеПнпе И1, [61, Ка[г [4, сЬ. 51, Бегге [31), — справедли- вость этого результата предугадал Бомбьери (ВогпЬ]ег] [4!). Делинь (РеПяпе [41) обобщил упоминавшийся выше результат Карлица и Утиямы следующим образом: если многочлен ) [х„.„, х,[ произвольной степени и нельзя представить в виде уо — д + Ь, где д Е ])'е [х„ ..., х,1, Ь Е Ге, то [ 3 (~) ! 4 (и — 1) д' — пт'>. Подробное исследование сумм о (г) проводится в книге Ка[х [4!. Легко показать, что средний порядок роста абсолютной вели- чины ! 5 (~) ! равен д'~' (см.
Саг!Иг [471). Оценки для многочле- пов 7" специального вида были даны раньше, чем появилась упо- мянутая работа Делиня; см. Рачепрог[, [.етч]з П1 для случая кубического многочлена г, А(оге[еП П4] для случая е, ь„ и, и, )(хь, х,) = а,х1'+... +а,х,"+ Ьх,'... х,', МогбеП [241 для случаев ]'(хо ..., х,) =(а~х, +... +а,х,)х, ' ... х, ' ~(хь ..., х,) =д(хь ..., х,'), где д — квадратный многочлен, и Опо [2! для случая, когда миогочлен 7 является полуинвариантом некоторой связной алгебраической группы. Если 7" — квадратичная форма, то суммы 3 (7) можно вычислить в явном виде (см. упр.
6.27 — 6.30). О когомологических интерпретациях суммы 5 (7) см. КаЬх !4, сЬ. 31 и Брг]пйег [41. Общий подход к этим суммам был осуществлен в статье Опо П 1. Относительно сумм с мультипликативными характерами и гибридных сумм, содержащих многочлены от нескольких переменных, см. работы Рачепрог[, [.ечпз 111, КаЬх !41, Бегге [31 я Перельмутер [111, П21. Суммы вида 5 (г) над факторкольцом ;:.',~(т) рассматривались в следующих статьях: 1.ох[оп, Бпй[Ь [21, Архипов, Карацуба и Чубариков [11 и Чубариков [11'). Суммы, аналогичные рассмотренной выше сумме 3 (Г), но в которых г-наборы (сп ..., с,) ~ [ге принадлежат какой-либо кривой или многообразию из ~;, были впервые рассмотрены Ьомбьери (ВотЬ]ег! [4 1); см.
также статьи Адо[РЬзоп, БрегЬег П 1, ВошЬ1ег] 17], СЬаПг,БгпПЬ П], Ноо[еу [41, [5], [61, Еашпоп [11, АП]пе [21, Бегге [31, 5т!Пт [т. А. [21, %1!Паша К. Я. [61 и ПеРельмутер [91, а также детальный разбор в книге Ка[х [41. Так называемые неполные суммы тоже возникают при оград у г--, д у г '>с. „ч~ т и'3, ~и'3, ~1'1.— и 310 Г.«. о. Тригоиометричесиие суммы производится лишь по некоторым «интервалами или «ящика ' Неполные суммы в основнол! рассматривались для простых пол ' )е-) н Относительно неполных сумм вида ~~ Х (7" (с)), где «=-.Ч.е! тривиальный аддитивный характер простого поля Г„'или коль Тг7(т), а 1 — многочлен, см.
работы [)ачепрог1, Неи)[Ьгопп 11 Нца [111, 112, ч 141, Карацуба 131, 171, Коробов 121, [31, 14 [5! и Лебедев!11. О случае, когда 1' — многочлен от г иерем " ных и суммирование ведется по всем г-наборам (с„..., с,) ~ где а! -< с; < 5! для 1 < ! < г, см. Мог«[е!1 1221 и Бегге 131. Для неполных сумм с нетривиальными мультипликативи характерами ф простого поля [р существует классическое ней' венство И.
М. Виноградова [! 1 и Пойи (Ро[уа 111) (см, так ' Зсйцг 121): ! ~ ф (с) < р! г' [од р. с=! Н ебольшие улучшения постоянного множителя были затем пол чены Ландау ([.ап«[ам 11[) и И. М. Виноградовым [!21; см. так ФЬуЬцгп[2[. Тот факт, что порядком роста левой части может бц' число р)ге 1оя !оя р, был доказан Човлой (СЬолч[з $.
[3!) с испол ' зованием расширенной гипотезы Римана и затем в статье Ва1ета СЬомда, Егг[оз [11 (без использования недоказанных предполо ний); этим был улучшен результат из статьи Ра[еу 1! [ для коль Х~(т~). Верхняя граница указанного порядка роста была ус новлена Монтгомери н Воном (Моп1ношегу, УацйЬап [! 1) в пр. положении, что выполняется гипотеза Римана для Т.-функц Дирихле. О приложениях неравенства Виноградова — Пойи в ории чисел см.
Нца 1!2, э !41. Соколовский [11 показал, что д' любого мультипликативного характера ф простого конечно поля 1"р, р ) 2, существует число д) ~ [л), такое, что и;(и — )))2 Ф(с) ег ) (Р 1'Р)' «=-.и -~- ! это улучшает результат из статьи Ваг[«огу [11. Обобщение равенства Виноградова — Пойи на случай произвольных ко иых полей К«, а = р", было получено Дэвенпортом и Льюис' (1)ачепрог1, [.ели[э 131), показавшими, что если ф — нетриви ный мультипликативный характер поля К«, то ~~ 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
