Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Если Х вЂ” нетривиальный аддитивный харак<'," тер поля Г и один из элементов а, Ь ~ Ц не равен нулю, то'"„ сумма Клостермана К (х; а, Ь) удовлетворяет неравенсгпву ) К (Х; а, Ь) ) ( 2<)<>», Доказательство. В силу замечания, следующего за определе.:г,.
нием 5.42, результат тривиален, если одно нз чисел а илн Ьз' равно нулю. Если же аЬ чь О, то из теоремы 5.43 получаем ' К (х; а, Ь) = — ь>< — ю„ так что требуемое неравенство вытекает;<>) из теоремы 5.44. П "' Теорему 5.43 можно использовать для доказательства редук- .' ционной формулы, связывающей еподнятую» сумму Клостермана" К (Х<*>; а, Ь) для расширения Г, поля Еч, определяемую в этой',:::,, теореме, с суммой Клостермана К (х; а, Ь) для основного поля гч.
", 5.46. Теорема. Пусть у — нетривиальный аддитивный характер поля К, и пусть а, Ь ~ аз, причем аЬ чь О, и К = ' ~~ = К (Х; а, Ь), 7~огда для любого натурального числа з имеет место равенство Ылн> К(Х ">; а Ь) = ~~~~~ ( — 1)е >-> — ( >) <)>К» М где (з/2) — наибольшее целое число, не превосходяи<ее з/2 4 Б. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 283 доказательство. Симметрический многочлен х', + х', можно выразить через элементарные симметрические многочлены х, + + х, н х,х, с помощью формулы Варинга (см.
теорему 1,75). Зто дает х,'+аз = ~~Ь ( — 1)П (', ',, (х, +х,)п(хаха)(ь и ( (а ( (,-(-з(, з где (, н (з — неотрицательные целые числа. Полагая (, = в — 21 и (', = (, получим !а/аЗ х', + хе = ~Я ( — 1)У вЂ ' , (~ 1) (х, + « )* — а( (х х )( !=а Теперь применим теорему 5.43 и подставим в полученное выше ра- венство х, = ш, и х, = шз. Заметим, что ша,.+ ш', = — К (!!(о; а, Ь) и ш, + (аа = — К а также что ш(ша = () в силу равенства 1+ Кг+ дг = (! — ш(г) (1 — шаг), установленного при дока- зательстве теоремы 5,43.
Отсюда сразу вытекает требуемая фор* мула. П Для суммы Клостермана К('> = К (Х(о; а„Ь) можно вывестн также рекуррентное соотношение. Из соотношения ш(+ шз = (ш( + ыз ) (ш(+ шг) — (ш( + (ьз ) ш(шз и теоремы 5.43 сразу вытекает, что К(о = К(-1)К К(а — з(Ч для $>2, где мы полагаем К(а( = — 2 и К(п = К = К (у; а, Ь). Если число д нечетно, то нетривиальные суммы Клостермана можно связать с квадратичным характером т) поля Ге. Мы снова для удобства полагаем т) (О) = О. 5.47.
Теорема. Если у — нетривиальный аддитивный харак- тер ноля Гр нечетной характеристики и а, Ь Е Г вЂ” элементы, не равные нулю одновременно, то сумма Клостермана К ()(; а, Ь) представимо в следующем виде. К(у; а, Ь) = ~~ )((с)(! (с' — 4аЬ), с~а еде Н вЂ” квадратичный характер поля Га. Докаэательство. Если одно нз чисел а или Ь равно нулю, то К (Х; а, Ь) = — 1, что, как нетрудно убедиться, совпадает со значением правой части равенства из формулировки теоремы.
Если же аЬ чь О, то можно написать К (Х; а, Ь) = Е Х ( с + Ь ') = Е Х (д) й( (4, 'ЕГа абГа Гл. 5. Тригонометрические суммы где Ж (й) — число злементов с ~ ''ге*, для которых ас + Ьс ' = й, ' Последнее уравнение зквивалентно квадратному уравнению ' асе — йс + Ь = О. Следовательно, Ф (й) принимает значения 2, 1 или О в зависимости от того, принимает ли квадратичный харак.„'.: тер Ч (й' — 4аЬ) значения 1, О или — 1 соответственно. Другими т словами, тт' (й) = 1 + т1 (йт — 4аЬ).
Отсюда вытекает, что К(у; а, Ь) =- ~~ у (й) (1+ т1 (йт — 4аЬ)) == лба т (й) + ~~~ у (й) Ч (йе — 4аЬ) =- "6 Ге "6Ге )( (й) Ч (йт — 4 Ь), л6Гд ' где на последнем шаге использовано равенство (5.9). П':,' Теперь мы перейдем к рассмотрению сумм, содержащих только', квадратичный характер Ч поля К„где д нечетно, и имеющий; полиномиальные аргументы, т. е.
сумм вида Е Ч (1' (с)), (5.65)' ь ь6Ге ф'" где г" ~ Ке (х ) . Случай линейного многочлена ~ тривиален, а для : квадратного многочлена ( можно установить еще одну явную ,':, формулу. 5.48. Теорема. )тусть над полем Ке нечетной характеристики,":;Ф задан квадратный многочлен г' (х) = а,х' + а,х + а„где а, ~ О,,~' Если т1 — квадратпичный характер поля 1Ге и й = а~~ — 4аеат, то справедлива формула — Ч(ае), если й~ О, е 'ЕК (и — 1)Ч(а,), если с1 = О. Локазательство. Умножая сумму ~ т) (Г (с)) на, (4ае) '6 Ге получаем т)(((с)) = т1(а,) ~~ Ч(4аьс'+4а,асс+ 4а„а,) = с с 1Г с с Ь', и = т)(а ) ~„"Ч((2а,с+ а,)т — й) = т)(ае) ~~ ~т)(Ьь — й). (5.66) ', с с "г ь6Г Для случая й = О результат получается сразу.
Для й ~ О можно,';;:. написать о Е ч(ь' — й) = — у+ Е (1+ч(ь' — й)) ь;р, ь61Гр й Э. дальнейшие результаты о суммах значений характеров 285 и так как величина 1 + т) (Ь' — й) равна числу элементов с Е Гч, таких, что с' = Ь вЂ” а, то Е т1(Ь' — й) = — д+ 5(й), (5.6?) ь6К „де 5 (а) — число упорядоченных пар (Ь, с), таких, что Ь, с ~ с Кч н Ь' — са = й.
Чтобы решить последнее уравнение, положйм Ь + с = и, Ь вЂ” с = и и заметим, что между упорядоченными парами (Ь, с) н (и, о) существует взаимно однозначное соответствие, поскольку а печетно. Таким образом, 5 (й) равно числу упорядоченных пар (и, о), где и, о Е Кч и ин =- а'; отсюда видно, что 5 (а) =- д — 1. С учетом (5.66) и (5.6?) это дает требуемую Формулу и 5.49. Определение. Пусть т! — квадратичный характер поля Кч нечетной характеристики, а Е Ц и я — ' натуральное число.
Сумма вида Н (а) = ~ т1(с"+'+ас) = ~ т!(с)т)(се+а) а с $' '6а а называется суммой Якобсталя. Из теоремы 5.48 вытекает, что Н, (а) = — 1 для всех а Е Ц. Вместе с суммой Якобсталя Н„(а) можно рассмотреть сходную сумму 1„(а) = Е т! (с" + а), (5.68) 'Е й'а которая связана с Н„(а) следующим образом. 5.50.
Теорема. Для всех элементов а ~ К", где д нечетно, и натуральных чисел а выполняется тождество 1,„(а) = 1„(а) + Н„(а). Доказательство. Имеем 12н(а) = ~ т)(са" +а) = ~~ М(а)т1(сР'+а) 'Е а'а лЕК, где У (а) — число элементов с Е Кч, таких, что с' = а. Но У (а) = = 1 + т! ф), так что 1ан(а) = Я (1+т)(д))т)(с(н+а) = 1„(а)+Н„(а). () лса а Суммы 1„(а) легко подсчитываются для п = 1 и п = 2. Получаем 1, (а) = 0 и 1, (а) = — 1 для всех а ~ ц, где второе Равенство вытекает либо из теоремы 5.48, либо нз теоремы 5.50. В общем же случае суммы 1„(а) можно выражать через суммы Я коби.
Гл. о. Тригонометрические суммы 5.51. Теорема. Пусть Кч — поле нечетной характеристики„' Тогда для всех а Е Г" и всех натуральных чисел и выполняетсл. равенсптво и-1 7„(а) = т) (а) ~~ Лт ( — а) У (Лт, т1), где Л вЂ” некоторый мультипликативный характер порядка а' =" = НОД (и, д — !) полл Ке, а т) — квадратичный характер етого т поля. Доказаптельство. Сумму /„(а) можно представить в следующеМ. виде: 7„ (а) = й,' т1(с" + а) = ~~ т1(Ь + а) М (Ь), (5.69). ьЕГ~ ьс о. где М(Ь) — число элементов с ~ Кч, таких, что с" = Ь. Длтр.',,' Ь чь О, используя (5.13), получим М(Ь) = — ',,'Е;Е Р(")Ф(Ь) = — ',,'Е Р(Ь) Х Ри(с). еЕГе ьЕ Г' Согласно (5.12), внутренняя сумма в последнем выражении ранил,: д — 1, если характер тр тривиален, и равна О, если трл нетривне:" ален.
Но рассуждение нз доказательства теоремы 5.30 показываетт':,' что хаРактеР тук тРивиален тогда и только тогда, когда тР = Л~,„':ь 1 = О, 1, ..., й — 1. Поэтому л — ! 'в М (Ь) = Е Лт (Ь), (5.70)," т=о и так как М (О) = 1, то равенство (5.70) выполняется также и для" Ь = О. Объединяя (5.69) и (5.70) и применяя (5.38), получаем.; и — ! и — ! 7„(а) = ~ т1(Ь+а) ~„'Л>(Ь) = т1( — 1) ~~ ~ Лт(Ь)т)( — Ь вЂ” а) =1 ь~3Г г=о т'=о ь6 ге и — 1 и-~ = т) ( — 1) ~ 7 (К т1) = т)( — 1) Я (Лтт))( — а)7 (Лт, т1) = /-о / о е — ! = т)(а) ~~ Лт( — а) У(Лг, т1).
/=о На основании (5.40) член, соответствующий 1 = О, можно опу- „" стить. П. 5.52. Теорема, Пусть à — поле нечетной характеристики': а ~ Ке и и Е И. Тогда сУмма ЯкобсталЯ Н„(а) Равна нУлль;г 4 8. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 287 если наиболыиая степень числа 2, делящая число а — 1, делит ,пакже и.
В противном случае имеет место равенство. л — ~ Н„ (а) = т1(а) Л ( — 1) ~~ И+' (а) Ю (Лег+', и), 7=О где й = НОД (и, д — 1), Л вЂ” некоторый мультипликативный характер порядка 2й поля Кч, т1 — квадратичный характер зтсео полн и Х вЂ” сумма Якоби. Доказательство. По теореме 5.50 имеем Н„(а) = 1з„(а)— — !„(а). Если наибольшая степень числа 2, делящая а — 1, делит также и, то НОД (2п, д — 1) = НОД (и, о — 1), и из тео- ремы 5.51 следует, что Н„(а) = О. В противном же случае НОД (2п, д — 1) = 2й, так что из теоремы 5.51 получаем ы — ~ 1,„(а) = т)(а) 2; М( — а)г'(аг, т)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
