Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 80
Текст из файла (страница 80)
П $ 3. Диагональные уравнения В предыдущем параграфе мы пришли к изучению уравнений, содержащих диагональные квадратичные формы. Такие уравнения являются частным случаем общего семейства так называемых диагональных уравнений. Диагональным уравнением (над конечным полем Кд) называется уравнение вида б, п агхг'+ т паха" = Ь, (6.10) где й„..., Ь„Е К, а„..., а„~ Гр и Ь ~ Кд.
Число решений ЬГ .=- йг (агх, '+ . + а„х„" =- Ь) уравнения (6.10) в К," можно выразить через суммы Якоби, Если сг, ...,с„~ Гд,то Лг = ~~ у (агхг' =- с,) ... гд' (оах„" = с,) = г + °, са — — б ЬГ(х~г = а~ с,) ... у(х„" = а„с„). гг+".+да=а Из (5.70) получаем а — ! йг(хг = с) = ~ Х (с), г'=О Гл. б. Уравнения над конечными полями где Л вЂ” мультипликативный характер порядка й = НОД (Ь,, д — 1) поля К . Для 1 = 1, ..., и пусть йо =- НОД (Ьо о — 1) и Л, — мультипликативный характер порядка йо поля К». Тогда с+. +с =-о О =о ~п "о А — ! лп Ц' (а1 ~) ... ЛЫ (а, 1) ~„Л(' (с„) ... Л|" (с„) = и=о г =о и с+.
оа =о о ' ' и л~ — ! лп Ц' (а,) ... Л„" (а„) и (Л(', ..., Л„"). и=о у --о о Если (1ы ..., 1„) = (О, ..., 0), то оь (Л~', ..., Л,',") .=. да ' согласно (5.38) и (5.39). Если некоторые (но не все) 1; равны О, то»1 йь (Л~', ..., Л„") = 0 согласно (5.38) и (5.40). Поэтому А~ — 1 лп )Ч =- о" + Е ... Е Ц'(а,) ... Л„"(а„)и' М, ..., Л„") (6.11) /.— — ~ о и Рассмотрим теперь два случая Ь = 0 и Ь Ф О.
Если Ь =- О, то нз ':,'! (5.41) вытекает, что если характер Л~' ... Л„" нетривиален, то,,;.~ . Ф1 lо (Л,', ..., Л„") =- О. Поэтому мы приходим к следующему результату. 11 6.33. Теорема, Число ЬГ решений в 7" диагонального уравнений;.~:;;. а,х,' + ... + а„х„" = О задается формулой Ж = д" '+ ~~ Л,'(а,) ...
Л'," (аи)lо(Л1' ..., Лп") (~а "" Гл) Е г где Ло — мультипликативный характер порядка йо = НОД (Йо ей д — 1) поля К», 1 ( 1 ( и, и 7 — множество всех п-наборов,'-,.,'-.'1 (1„...,1„) Е у", где 1 ( 1'; < й~ — 1, 1 -~ 1-~ и, таких, что;" Л1' ... Л„" — тривиальный характер поля г Если же о ~ О, то, применяя (5.38), получим, что (Лй Л/о) (Лй . гп) (1) у (18 1 он) Это приводит к следующему результату.
6.34. Теорема. Если Ь Е 1Г*., то число М решений в К» диагонального уравнения а,х~' + ... + а,х„" = Ь задается формулой л,— 1 "и ЬГ = о" '+ ~~ ... ~„' Л~'(Ьа1') ...Л'"(Ьа„')и'(Л,", ..., Лп'"), ги $ 3. диагональные уравиеиня где Х~ — мультипликативный характер порядка 4 = НОД (Ьо д — 1) поля Гч. 6.35. Замечание. Выведенные выше формулы показывают, что число )т' зависит не непосредственно от показателей Ьо а лишь от наибольших общих делителей й; = НОД (Ьо д — 1). Можно поэтому считать без ограничения общности, что в уравнении (6.10) показателями Ь, являются делители числа в — 1.
(:) Из теорем 6.33 и 6.34 нетрудно получить оценки для числа У. Пусть й„..., й„— натуральные числа, н пусть М (йь, ..., й„)— число и-наборов (1„..., 1„) ~ 2", таких, что 1 (» < й, — 1 прн 1 «< 1 < и н (1,/4) + ... + (),/й ) Е К. 6.36. Теорема. Число Ж решений в К" диагонального уравнения а,х~' + ... + а„х," = 0 удовлетворяет неравенству ~)У у — ~ ~, М(й й )(у 1), ь — мгг где й; = НОД(йо д — 1),! «(1«(п.
Доказательство. Из следствия 5.23 и теоремы 6.33 вытекает (в обозначениях этой теоремы), что 1У вЂ” 4.— ) <!Т1(в — 1)а< — г. Группа мультипликативных харантеров поля Кч, согласно следствию 5.9, цнклична. Пусть Х вЂ” образующий элемент этой группы. В теореме 6.33 можно взять Ц = Х~~ пы~, 1 = 1, ..., и. Тогда произведение 6 /а ~(й м ~1А)+ + Рв м ~» и) Х,1 ... Х„" = ) 1 будет тривиальным характером в том и только том случае, если (1,/4) + ... + (1 /й ) ~ У, так что ! Т ! = М (й„..., й„). [) 6.37. Теорема.
Пусть Ь Е Ц. Тогда число У решений в Г~ диагонального уравнения атх~г + ... + а„х„" = Ь удовлетворяет неравенству )51 ул — 1~ ( «< ((А — 1) " (й — 1) — (1 — Г»г) М (4 " й )) у'" п~' где й~ — — НОД (Ьо д — 1), 1 «( ! «( и, Доказательство. Из теорем 5.22 и 6.34 следует, что ~)У д- ~ <((й, !)...(й„— !) — !Т1)у~ И +!Т)д1- » = =((й,- 1) ...
(й„- 1)-(1 -д- ~ь)1Т!)д<.— >ге. Остается только напомнить, что ~ Т ~ = М (й„, ..., й„) на основаннн доказательства теоремы 6.36. П Гл, 6. Уравнения над конечными полями если — "+ .+!" Еу, в противном случае. — ~~»~» ~е (Ь ( !! ) Поэтому и1 — 1 М ((« "'~ !(н) 1,=! — ~» е(й «=о (Ф+ +й)) = = — Р е(1! — ) ... лг, е(1„— ) р ! и — ! и„— ! — ~ е~1! — „) — 1 ... ~ е(1„— „) — 1 «=о !»=о 1„=~ о-! = —,','~ ( — 1)«+ «=о ю — ! ч а !» — П Х (.-'„))] а=! »<! <! « ° !„<н Поскольку для !( Е 1Ч имеет место соотношение и — ! ~ ( „)-1 !.
а ° ~ !1, если г! = О (шод !1), ( О в противном случае, Ясно, что М (о(ы ..., !1 ) ((!(! 1) ° . ° (!1 1).ЧислоМ(д„... '! ...„г(„) может равняться нулю, например, если одно из чисел д! взаимно просто со всеми остальными. Чтобы это доказать, предположим для определенности, что НОД (г(„4) = 1 при всех ! = 2, ..., п. Если для некоторого и-набора (1», ..., 1'„) ~ гя, где 1 (1! ( !1! — 1 для 1 ( ! -~ и, имеем (1„Ы!) + ... + (/„/д„) = т ~ Л, то /»!(о ... д„+ 1о(! = т!(! ... о(„для некоторого 1' ~ у, поэтому 1«!Цо ...
д„: — О (той !(!). Но 'НОД (!(», 4 ... д„) = 1, значит, 1, = О (то!1!(!), что невозможно. Из теоремы 6.36 видно, что если М (!1„..., !1„) == О, то Л! = !1" — '. Общую формулу для М (Й„..., о(„) можно получить следующим образом. Положим й = НОК (!(ч, ..., г(„) и е (1) = ео"'»„ где ! ~ Р; заметим, что $3. Дивгоивльные урввиения 359 Мфд, ...,д„)= о-!» = ( — 1)" + —,','~', ~( — 1)— «=о»=! !<!,<!,«" !„<» вюо(«!оо ае; ) 1)» ) ! ~( 1)— «=о «=— о(т«7а! !<!~<!о<" <!„<» Самая внутренняя сумма равна В/НОК (д!,, д! ), так что » М(д !( ) — ( 1)«( ~( 1)» — » ~),~ ! '» (б 12) »=1 !«!<Ге«" У,<» ! "' » ас! ...
с„ Теперь мы укажем са(с один подход к оценке числа й! = — — Ь1 (а,х!'+ ... + а х„" = Ь) решений диагонального уравнения (6.10) в Г", опирающийся на суммы Гаусса. Согласно (5.5), Л! = — ~1, ~1,)((а!с,'+ ° . +а„с»"))1(Ь), " '»ЕГо х где во внутренней сумме т пробегает все аддитивные характеры поля Го. Меняя порядок суммирования и отделяя часть, соответ- ствующую тривиальному характеру 1(„получим Л! = — ~~~~~ т, (Ь) ~ у (а,с,') ... у. (а„с„™) = »! ""»«ЕГо -г-'!- — ~ х(ь>!' ~ х!« '!!...1 ~ х!.»!). х«х» ~сяЕГо 1 !'«И'и то произведение в последнем выражении для М (д„..., Ы„) равно ...
о(!„,еслийделится на НОК(д!,, ..., о(!) = Ь!,, ! иравноО в противном случае. Поэтому Гл, 6. Уравненяя над нонечнымн полями Применяя теперь теорему 5.30, получим Ы,— ! хх':= ди — ' —, — ~1 у (Ь) ~~~~~ Ц'(ах)6(Ц', у) хих. и=! и ии й„" (а„) б (й,„", у) =- ди ' +— Хи /,=1 и -1 и й"(а)" й.'"(а,) ~ х(Ь) 6()ч', Х)" 6().", Х).', х+х.
где Х„как и раньше, обозначает мультипликативный характер,; порядка х(; = НОД (й,, а — 1) поля Кя. Для внутренней суммы, ~ используя обозначения из теоремы 5,7 и применяя теорему 5.12 (1),, получим Е у(Ь)6()ч',у)" 6(У"", у) = хихон = Е х. (Ь) 6 М, у,) " 6 (Х.", у ) = и 5 $' = б (Уи', ул) ... 6 (Х„", ух) ~ Хь(а) Х~'(а) ... Х„" (а) = и Е~'Е = б М, Х~) " 6 (Х ", ул) б (М'." Х ", Х ) так что л1-1 ли ЬУ = Ч" ' + — ~~У, " ~ 6 (Х ', )Ь,) ".
б ()'", у,„) б Ф " Х.", Хд и=! / =1 и (5.13) Для случая Ь = 0 можно применить (5.14); тогда й( = д"-'+ (1 — — ) ~ 6(йи', у„,) ... 6(Х„", у „), (6.14) (/Д " ' /'и) Е ' где Т вЂ” то же множество, что и в теореме 6.33. Полученную в той теореме формулу теперь можно вывести из (5.!4), используя теорему 5.12 (1) и формулы (5.42) и (5.44). Для случая Ь ~ 0 ': формулу (6.13) можно преобразовать в формулу из теоремы 6.34 '. применением теоремы 5.12 (1) и результата упр. 5.34. Диагональное уравнение (5.10) можно рассматривать также иак уравнение над некоторым конечным расширением поля Ке, $3.
Диагоналевые уравиеиия а не над самим Кя, как было до сих пор, Пусть Е = К~, где з ~ К, — некоторое расширение поля Кя; обозначим через Л(, число решений в Е" диагонального уравнения (6.10). Попытаемся найти зависимость Л', от з в предположении, что все показатели й; делят число д — 1. Для случая Ь = О можно получить значение Л', из (6.14). Если )ь, — канонический аддитивный характер поля Е, то каждый характер )(,, в (6.14) должен быть заменен на )ь,, Но для а Е Ка мы, согласно (5,7), имеем р, (р) = у„(Тгидг (р)) при всех р ~ Е, так что ра = (у )', где (у )' — характер, получаемый поднятием характера у поля г, до Е (ср. с рассуждением, предшествующим теореме 5.14). Кроме того, каждый характер Х; порядка К в (6.14) должен быть заменен мультипликативным характером порядка й;) поля Е.
Но поскольку функция нормы (см. 'определение 2.27) отображает Е' на Ц (по теореме 2.28 (Н)), то (надо учесть формулу (Х,)' (5) = Х, (Уиди (р)), р ~ Е*) поднятый характер (Х;)' имеет тот же порядок, что и Хь и, таким образом, характер ) г в (6.14) можно заменить на (Х;)'. Поэтому, применяя (6.14) и теорему 5.14, получаем Л,=) <- +(1 — — 1,) '~ а(()„"),()(.,)) ... ' (,.
—..)6 - а(М).( „)')= =д "-' +( — 1)" *-«(» — — '),')' ,а(М',)(.,)'... (Уь " ! а) 6 г ... а().'", )(.„)' = (г)л 1)а+( 1)л ~~)~ ~(( 1)аа()ьь )( ) а()ьиа, )(а )) ()ь "')и)6" ( 1)» '«~ ~ ' ( — 1) а(л(',)(.) ...а(л.'",)(. ))'. ()ы "'!в)6" Таким образом, эта сумма имеет внд Ф, = т~ + ° + ог — оь — — га„, (6.15) где алгебраические числа т„ ..., т,, го„ ..., го„ не зависят от и и удовлетворяют условиям )та( = д а~ и )га)( = д"1~ для некоторых та, пу Е г. Гл. 6. Уравиеиия иад кеиечиыми валями Для Ь ~ О значение )т', можно получить из (6.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
