Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Пусть К вЂ” произвольное поле. Многочлен положительной степени г ~ К [х, у[ назовем абсолютно неприводимым (над К), если он неприводим (т. е. не допускает нетривиального разложения) над .тюбым алгебраическим расширением поля К. Через К (х) будем обозначать поле рациональных функций над К, т. е. поле, состоящее из дробей вида 0д ~, уб К[х1, уФО. 6.46. Лемма. Пусть ~ Е Т [х1 — такой многочлен степени и >- 1 и т )~ 2 — такой делитель числа а — 1, ипо многочлен У вЂ” 2 (х) абсолютно неприводим. Положим у = ~м-н2'", и "Усть Йа, )22, ..., й 2 — многочлены вида к й2 (х) =- ~ ем (х)ха/, О ( ( ( т — 1, /=о 24 зак. 222 370 Гл. б. Урааненнн над нонечнымн полнмн где е!! Е К [х) и дед (еы) .4 о/т — й.
Тогда если й, + й,у+ ... + й,„,д-- =- О, (6.18) то все многочлены еы нулевые. Доказательство. Сначала установим справедливость леммы,' при дополнительном предположении, что 7 (0) Ф О. Положим А(у; йо " по-т) =йо+йоу+ ' '+по-оу~ '. Тогда многочлен В (у„..„у„) = П А (у;; Ь„..., й„,) является симметрическим многочленом от переменных у„..., у По основной лемме асимметрических многочленах (см. пример 1.74), многочлен В (у„..., у„,) можно выразить в виде многочлена от, элементарных симметрических многочленов о, (у„..., у ), ... ' о, (Ум ", у„) Пусть ~, =- 1, ь„..., ь — корйи т-й степени из единицы в поле Ко; положиму! = ь!у,! ( ! ( т.
Из равенства х — 1 = (х — ~,) ... (х — ь ) получаем, что о, (~,у, ..., ь у) = ' =0 для всех !, 1~(! 4т — 1, и о» (ь1У,." о У) = — У Поэтому В (~,у, ..., ~му) является многочленом от у"'„. обозначим, его 6 (у ). Сравнивая степени у, получаем и деи (6) =- !(еи(В (~,у, ., ьму)) ( т (и — 1) (здесь !(ед (6) — степень 6 как многочлена от у™). Отсюда следует, что деп (6) -~ т — 1. Поэтому можно написать о! !а — ! ПА(1!У;йо " йи а) = Х С!(йо." йм о)у ', (6 19)р где каждый С, (как многочлен от Ьо, ..., й,) имеет степень,'", не превосходящую и.
Поскольку А (ьоу; Ьо, ..., Ь,) = 0 в снлу- (6.18) и у'" = )» ', из (6.19) вытекает, что о! — ! Е С,(й„, „й,)1! — ! =О. !'=о Умножая это равенство на 7!а ', получим о! — ! Е С!(й„..., й,УУ"-!-' =О. Рассматривая последнее равенство по модулю хо и замечаи, что Ь! (х) = е!, (х) (гпоб хо), 7 (х)о— : 7' (0) (иод хо), получаем о! — ! ~'„С! (е„(х), ..., е ... (х)) 7(0)!7'(х) -'-' = 0(щодхо). ! о 5 4. Метод Степанова †Шмид 371 Но поскольку степень по х левой части не превосходит числа т (д/и — й) + (т — 1) )т < д, то а! — ! аат С;(е, ..., е т.о)!'(О)!!' -'-'= О, ! о откуда Х ! 7! (о) ~ ! С, (еоо , ета м о) ! ) ! = О.
к=о Б подходящем алгебраическом расширении поля г существует элемент а, такой, что а'" = ~ (0). Тогда (ау)'" — ! (х) = ! (0) . , (ут — ( (О)-') (х)), так что многочлен у"' — )' (0) ' ! (х) абсолютно неприводим (ввиду абсолютной неприводимости ум — ~ (х)). Далее, многочлен ум — ) (0) ' 1" (х) (как многочлен от у над полем Го (х)) имеет в некотором расширении поля Го (х) корень У.
Нз (6.20) получаем «! — ! ~~ С; (еоо...„е ь,) У вЂ” ' = О. т=о Поэтому из (6.19) следует, что ПА(ь!У ', е„, ...,е ...)=О. !=! Таким образом, А (ь!У '; е,, ..., е ...) = 0 для некоторого т, 0.< ! < т — 1, и после умножения на У -' получаем для этого ! равенство Еоо)' '+ Ь!ЕтоУ '+ + ЬГ 'Е„,, = О. Но У имеет степень т над полем Г (х), так как многочлен у — )' (0) ' ) (х) абсолютно неприводим, поэтому все многочлены ео,, енм ..., е ьо нулевые.
Значит, мы можем разделить (6.18) на хо н с помощью такого же рассуждения доказать, что е„= = е„= ... = е,л — — О. Продолжая таким же образом, получим, что все еы — нулевые многочлены. Остается показать, что общий случай можно свести к случаю !' (0) Ф О. Если й д„то бек (е;,) < 0 (по предположению), так что е;, = О, Поэтому можно считать, что й < д, так что существует некоторый элемент с Е го, для которого ~ (с) ~ О. Положим !т (х) = 1(х+ с) и д! (х) = д(х+ с); тогДа многочлен Ум— — !т (х), очевидно, абсолютно неприводим, и в силу (6.18) Ьо(х+с)+й,(х+с)ут(х)+ +Ь т(х+с)дт(х) -' =О, где многочлены тт! (х + с) снова имеют требуемый вид (но с другими многочленами еы (х)). Так как ( (0) ~ О, то установленный 24* 372 Гл.
6. Уравнения ннд конечными нолямн выше результат приводит к равенству нулю всех многочленов е<7,, так что все и< (х + с) равны О, откуда следует, что все< многочлены 7>> нулевые, а значит, и все исходные многочлены ем ' равны нулю. [:):: При построении вспомогательного многочлена с заданными" кратными корнями нам понадобится удобный метод определения, кратности корней. Для поля характеристики О это успешно осу- ~ ществляется при помощи производных, однако для поля простой:! характеристики р метод производных можно применять лишь" в ограниченных пределах (ср.
упр. 1.51). Например, у много-, члена хн все производные в точке О обращаются в нуль, тогда'"; как О является корнем всего лишь кратности р. Поэтому мы введем усовершенствованные производные, так называемые ги-. перпроизводные, которые окажутся более полезными. Пусть К вЂ” произвольное поле. Для целого неотрицательного' числа и и многочлена 7' (х) = —. ~„а7х> Е К [х[ определим п-щ,' >=о ги»ерпроизводную Е<н> ()) равенством Е<" > ()) =- Е<ю (~~ а х> [ = ~ ( ) а х< <<=о ! >=о >и Здесь мы применяем стандартное соглашение о биномиальныхч коэффициентах, а именно считаем, что [> ) == О при п > 1; эт<кл гарантирует, что и-я гиперпроизводная является многочленощ' над полем К. Если поле К имеет характеристику О, то Е<">(7) = — >7<я> для всех 7 ~ К[х) ! Ясно, что Е<"> является линейным оператором в том смысле," что Е<"> (с)) =- сЕ<"> (7) и Е<н> (>> + ~я) = Е<"> (~>) + Е<"' (~,) для) всех с ~ К и 7', )>, 7я ~ К [х [.
Установим теперь некоторые фор- ., мулы для гиперпроизводных, которые нам понадобятся в даль- ';. нейшем. 6.47. Лемма. Если )„..., 7> ~ К [х[, где К вЂ” произвольное:,- поле„то ) Е" > Ды ..., ~<) = Е Е("') Д>) . Е[н<) Я<) (6.21) ч> ""я<>о ,.< я -<-... Ч-н <ч- н < Доказательство, Ввиду линейности Е<"> достаточно доказать эту формулу для одночленов. Нетрудно видеть, что для многочле- 4 4.
Метод Степанова — Шмидта 373 нов 77 (х) = х т, / =- 1, ..., С равенство (6.21) эквивалентно ра- венству (ьт+ "+ а~) Х (ь~) (ь~) . ло " лтэо л +...+а~=-л последнее легко доказывается сравнением коэффициентов при х" в обеих частях равенства (х+ 1) '+'"+а' = (х+ 1)м... (х-[-1)ы. [:) 6.48. Следствие. Если с Е К, то Е (( — ))=('„)( — )— Показательство. Применим к многочленам ~, (х) == х — с, ! - ! «< С лемму 6.47. Так как Ео> (х — с) = 1 и Еоо (х — с) = =- О для п )~ 2, то в сумме (6.21) останутся лишь те члены, для которых все и; принимают лишь значения О или 1.
Число таких членов равно ~ ), а каждый член равен (х — с)' — ". [л ~лт'' 6.49. Следствие. Если О < и ~( т и Г. в ~ К [х[, где К— произвольное поле, то Е(л) (иф) и, Т вЂ” л где итт ~ К [х) и йен (шт) < т[ед (ш) + и (бей Д) — 1). Доказательство. Применяя (6.21), получим Е(л) (то(') = ~~~ Е(ла) (то) Е(лт) (()... Е(лд (7), ла.
лт., л~а 0 по+от+" +от=а Здесь в правой части каждый член делится на )т — ", так как не менее г — и из чисел п„..., и, равны нулю. Поэтому Еон (в~') = — ит1)т —" для некоторого шт Е К [х[. Кроме того, дед (итт) = йец (Е(л) (в~')) — (т' — и) бей Щ < < йеа (ш) + ( й а У) — и — (( — и) йеа (О = = йед (ш) + п (дед ф — 1). 6.60.
Следствие. Пусть К вЂ” поле простой характеристики р, и пусть задан многочлен вида й (х) = о (х, ха*), где о (х, у) Е 6 К [х, у[ и з Е ат[. Тогда и-я гиперпроизводная Е1л> (й) много- члена й (х) для О ~( и < р' равна и-й частной производной много- члена о (х, у) по х с последующей подстановкой у = хл'. 374 Гл. 6. Ураннення над конечнымн нолямн Доказательство. Ввиду линейности Ег"г достаточно рассмо,'; треть лишь случай, когда о (х. у) = х»у". Заметим сначала, что.
при 0 < и < р' биномиальный коэффициент ( ') р' (р' — г) делится на р. Таким образом, . о Е" (х )=-( х и г в поле характеристики р. Поэтому, применяя лемму 6,47 с много-! членами 7» (х) == х~, 7я (х) =- ... == 7"„„(х) =- хн', полУчим Е ()г) — ( ) х Такой же результат получится, если вычислить п-ю частную про-' изводную многочлена о (х, у) по х и затем произвести подстановку,'„' у = хн' Ц,:. Следующий результат показывает, что гиперпроизводные яв" ляются подходящим инструментом для определения кратности. корней. %' 6.61. Лемма.
Пусть ~ — многочлен над произвольным полем К:;; Если элемент с ~ К является оби1им корнем гиперпроизводных( Егнг (7) для и = О, 1...., М вЂ” 1, то этот элемент являетсй»' корнем многочлена 7' кратности не менее М. Доказате»гьспгво. Пусть 7 (х) = а, + аг (х — с) + ... + ал (х —; — с)л. Из следствия 6А8 получаем Ег"г(7(х)) = — а„+ ( ~ ) а„,(х — с)+ ... + ( ) ал(х — с)~ ". Подставляя х = с, получим а„=- 0 для п = О, 1, ..., М вЂ” 1и'~~.' так что степень (х — с)м делит 7" (х). Остальное вытекает из опре- " деления 1,65.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
