Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 86
Текст из файла (страница 86)
О приложениях теоремы Акса см. Саг!Их [! !01. Однородные многочлены ]', построенные в примере 6.7, называются иорменными форма.ии; они были введены Диксоном ([)]сЫ- зоп [161, [281). Карлиц (СагШх 1781) исправил доказательство Диксона (])!с]своп [!61) и показал, что если для нечетного д ) >~ !3 однородный многочлен г" С г [х„х,, х,! третьей степени обращается в нуль на [г»» лишь в точке (О, О, 0), то он должен быть норменной формой, Системы уравнений, состоящие из норменных форм, были изучены Карлицом (СагИ!х [87)). Норменные формы представляют собой частный случай так называемых факторизуемых многочленов (см.
Саг!Их [121 и комментарии к э 2 гл. 3). В статье Тег!ап!ап [!1 доказано, что если Г' ~ Р» 1х,, ...,х,) — многочлен степени и, обращающийся в нуль на " лишь в точке (О, ..., 0), то для каждого многочлена д Е г 1х„..., х„1 степени, меньшей и, существует хотя бы одно решенйе уравнения 7 (х,, ..., х„) = я (хь ..., х„), лежащее в ]Р"; см. также Зо!у [51. Теорема 6.
13 доказана Оре (Оге [1!); см. также Бспт!б! %. М. [3, сп. 4] и Боревич, Шафаревич [ 1, гл. ! ]. В работе Бс]»ш!б! %. М. [31 имеются также теоремы 6.!5, 6.!6 и 6.17, Тот факт, что для ненулевого многочлена г" ~ г [х„..., х„] 392 Гл. 6.
Уравнения над конечными нолямн число решений уравнения 7(х„ ..., х„) = 0 в ~" не превышает д" — ', был отмечен в статьях М!и [21 и [.апи, Юе!! [ ! 1, а для ко','„ печных простых полей также в работе Нпа 19, сЬ. 21. Обобщения теоремы 6.13 на случай системы уравнений можно найти в работакч СЬа!к, %!!1!ашз [! ) и 5сЬш!б! %. М. 13, сЬ. 41.
Теоремы типа теоремы Кенига — Радоша для полиномиальныя,, уравнений от нескольких переменных и для систем таких уран];" пений были установлены в работах ОеиепЬацег [51, [[адов [2А: и 5еяге [41, [5], [71. Сравнения по модулю характеристикц" ПОЛЯ [[' ДЛЯ ЧИСЛа РЕШЕНИЙ УРаВНЕНИЯ Г (ХЫ ..., Хв) = — 0 В [Гата можно получить очевидным обобщением закона Лебега, упоминав'." шегося выше; см.
1еЬезице [11, Нигв!!х [! ), Р!синоп [!9) ир Берге 13), 141. Элементарный подход к числу решений указанного'.," уравнения был использован в статье Сахасп [2). Вандивер (н'ап-";" Д!нег 13]) получил выражение для числа решений уравнени '; 7" (х„..., х„) = 0 через значения переменных хо являющиеся ' т;-ми степенями в группе Ц для ! ( ~' ~~ а. Редеи ([хег[е! [3])' показал, что уравнение Г (х„..., х„) =- 0 в том и только том случае не имеет решений в Г„", если многочлен )ч ' — 1 является' линейной комбинацией многочленов от одной переменной видак х7 — х,, 1 ~ ! 4 а, с коэффициентами из кольца К [хы ..., х„1.' Робинсон ([чоЫпзоп А. [1, сЬ. 21) доказал, что если система:, полиномиальных уравнений от нескольких переменных над коль-,, цом Е такова, что она имеет не более и решений в каждом расши-.ь, ренин поля (), то для всех достаточно больших простых чисел р:~„' система уравнений, получаемая из исходной приведением коэффициентов по модулю р, имеет не более т решений в каждом рас-,: ширении поля [Г„; см.
также О!!шег, Мо!! [!1. Множество элементарных результатов доказано для частных,1 типов уравнений от нескольких переменных. Об уравнениях, со-,'~~ держащих однородные многочлены с непересекающимися мно-:1 жествами переменных см. Саг!!!х [621 и 5едге [!01, а о частном!3! случае факторизуемых многочленов см. Саг1Их 1581 и %!!!1-!~ агпз К.
5. [!41. Карлиц (Саг!1!х [391) показал, что число решений..'„:"'Ч1~ ы п3 '"Ф' УРавиеиии х~ ... хв н = 7'(Уы ..., У,), где ты ..., т„Е Й вЂ”:,1 взаимно простые числа, можно выразить через число решений ';; уравнения Г' = Ь, Ь ~ Кр', обобщения этого результата см. в 1 статьях Рог!ег [9] и нап Ме!ег [2], 131. Уравнения и системы уравнений, содержащие элементарные симметрические много- ' члены, рассматривались в работах АЬегЬЬ [1], Саг!!!х [641, Р!пе [!1, Могг[е!! [7], цег[е! [!1, сЬ.
61, 5сЬюагх [!51, Зед !асс[с [1) и Аванесов [11. Уравнение 7' (х) (у — г) + 7' (у) (г — х) + + Г (г) (х — у) = 0 с многочленом Г ~ [['ч [х] изучалось в статье СессйеПп1, Н!гзсЫеЫ [11, Определенное внимание привлекли Коииеитарни так называемые мулыпилинейные уравнения. и-линейным уравнением называется уравнение вида атхтт...х,я+атхтт...х,я+... + а„х„,...х„ь = а от йн переменных х„, где а,„..., а„, а Е 'гч. О таких уравнениях н системах уравнений см. Саг!йг [56], СоЬеп Е.
181, Нодйез [2], Ло!у [5], Рог1ег [4], [51, [61 и чап Ме1ег [21. Обобщения на случай, когда допускаются более высокие степени переменных хси можно найти в статьях Саг!![г [391, Рог1ег 17), [91, [11] и чап Ме1ег [1), 121, [31. О дальнейших элементарных результатах по частным типам систем уравнений см. работы Согзоп [1], К!е!п 111, [2], М18поз! [41, 5егде, Ваг!осс! [1] н Бабаев, Исмонлов [11. Число решений уравнения г[е1 (хн)~кь;с„= а было получено в работах 3огс[ап С.
[7) н Р!пе, Йчеп [! ]; см. также Саг!![г [581, [67) об аналогичных уравнениях. В статьях Ах [21, 131 и РВА, 5асегдо1е [! 1 рассматриваются алгоритмы, позволяющие выяснить, будет ли данная система уравнений от нескольких переменных разрешима не в одном конечном поле, а в целом семействе конечных полей. О матричных уравнениях над конечными полями см. комментарии к $ 2, а об уравнениях, для которых неизвестными являются многочлены над конечными полями, см. комментарии к гл, 3. Некоторые функциональные уравнения над конечными полями изучаются в работах Р!скеу, Ка!г!ез, 5Ьапк [11, Рппп, [.!б! [11, Негяе1 11] и 1.йпеЬпгя, Р1апшапп [11. й 2.
Уравнения над конечными полями, содержащие квадратичные формы, рассматривались еще Лагранжем ([.аягапяе [31), который показал, что уравнение х'+ Ьу' = с, где Ь, с Е Ц при простом числе р, всегда разрешимо в ге. Это было необходимым шагом при доказательстве его известной теоремы о том, что каждое натуральное число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Простое доказательство разрешимости этого уравнения в замечании 6.25 принадлежит Коши (СапсЬу [11), который нашел его, исходя из общего комбинатор- ного принципа, переоткрытого впоследствии Дэвенпортом (Рачепрог1 [51). То же самое доказательство применил Диксон (РБхзоп [431).
Вебер (%еЬег 15, 9 64]) показал, что каждый элемент конечного поля можно представить в виде суммы двух квадратов. Формулы для числа решений уравнения х' + Ьу' = с в Ц приводятся в работах Неггп!1е [11, 1.1ЬП. 111, [.еЬезяпе [11 и 5сЬопешапп [1], Более свежие результаты об этом уравнении см. в статьях 5!пяЬ [2], [3) и 5ошег [1]. Решения уравнения ах" + Ьу' = с в г ~р с малыми значениями х и у были исследованы в статьях Магде[1 [91, 5ш!1Ь К. А. [1] н '[н'!!!!ашз К. 5.
[121. 394 Гл. 6. Уравнения иал конечными полнми Вопрос о том, какие решения уравнения х'+ уа =- ге являютс квадратичными вычетами, был изучен в статье Вцгг[е [8]. Лебег (1еЬезяце [1]) установил формулу для числа решений] е 2 и уравнения х~ + ... + х„=- Ь в Гп, а для произвольных диаго, нальных квадратичных форм над Ер это было впервые сделаю' Жорданом (Зогдап С. [1]); см.
также Зогдап С. [2, 5 197 — 200 и 1еЬездце [5]. Теорема 6.21 для простого поля Ер, р > 2, былйч доказана Жорданом (3огг[ап С. [5], [6]); он же напзел число ре; шений уравнения 7 == О, где !' — произвольная квадратична!) форма над таким полем. Обобщение указанной теоремы на слуТ чай произвольного конечного поля нечетной характеристики былд, осуществлено Диксоном в статье О!сйзоп [4]; в этой статье мо",, жно также найти теорему 6.30. О тех же результатах с инымв, доказательствами см.
также работы ВасЬтапп [3, раг1 11, сЬ. 7]'„,! Вег)е)сагир [4, сЬ. 16], СоЬеп Е. [!3], О[с)гзоп [7, раг!. 1, сЬ. 4,'„ раг1 11, сЬ. 7, 8], Нц!1 [1], !ге1апб, [!озеп [1, сЬ. 8], 3о!у [5]','' Ь[ада!а [1] и 5сЬгп!г[! %. М. [3, сЬ. 4]. Метод, указанный в за-'," мечании 6.28 для произвольных многочленов степени 2 над по,'' лем Еч, не пригоден для четного числа д, но число решений можнег найти и для этого случая (см.
СагИг [109]). Кантор (Кап!ог [1 определил число различных значений, представимых квадратФФ:. ными формами над простым полем Еп, р > 2. Системы уравнений ~, (х,, ..., х„) =- Ь, ~ Еч, 1 = 1, ..., й, с квадратичными формами )ы ..., 7, над ][" изучались в статья$' В!гсЬ, 1еюЬ [2], В1гсЬ, [.ечч!з, МцгрЬу [1], СагИх [56], Еечбв]а 5сЬциг [1], Могде[! [8], [ч[огдоп [1], [2], [3], %е[1 [8] и Демь, нов 12]. О системах, содержащих как квадратичные, так и лй",:ь нейные уравнения, см. Сит[1(х [101 ], [102), СоЬеп Е. [10];;": [11!, [12), Гц[1оп 3. О. [9], Зппп [1], [2], О'Соппог [1], О'Соп",,, пог, Ра[1 [1] и Т[е1ача[пеп [3]. В статьях СагИг [101] и Т!и;.
1ача!пеп [3] доказано предположение Коэна (СоЬеп Е. [11)г";„ о том, что система уравнений над полем Еч нечетной характерй~~! стики, состоящая из уравнения 7 (х,...., х„) =- 5, где 7 — нд(!':~', которая невырожденная квадратичная форма, и системы из 'ае~й линейных уравнений от переменных х; полного ранга, всегда раз);,.", решима в Е", если и ~ 2!+ 2, но при и =- 2г'+ 1 существукф:,,' такие системы, которые не имеют решений в Еч. Карлиц получил! и также аналогичный результат для поля характеристики 2 (Саг(,, Их [101 ]). Системы уравнений, содержащие квадратичные и [,' билинейные формы, рассматривались в статьях СагИх [56] и;; Рог1ег [1], [2], [3), [6], [15].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
