Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Вопрос;; о числе решений некоторых уравнений от инволютивных матриц рассматривался в статьях РцИоп 3. Р. (31, (4) и [.еччпяьч",, Вгачч!еу [11. Об инволютивных матрицах над кольцом у~(л[ ' см. Вгаш!еу, ОагпЫе (11. Матричное уравнение вида г (Х) = 0;г где )' — заданный многочлен над полем Рч, изучалось в статвдг' Ночев [!1]; см. также Вгачг!еу, МцПеп (11. Ходжес (Ног[я ' ' (141) определил число решений системы матричных уравненц а,Х + Ь,У = с,(, а,Х'+ ЬяУ' = с,7, где а,, а„Ь,, Ь, ~ Ц+~' с„с, Е Рч. Число пхп-матриц над простым полем Рр, имеющих заданн значение определителя, было подсчитано Жорданом (Логг[ап ф;; [7)) и Файном и Нивеном (Р[пе, %чеп ( 1!).
Уравнения в определЩ~ гелях, содержащие неизвестные матрицы, изучались в статьФ,,';~ СагИ[х (511, [551, [601 и Нобяез 1131, (20!. В комментария к $ 1 гл. 8 мы еще встретимся с результатами о числе матры~';";, некоторых типов, например заданного размера или ранга. ф 3. Интерес к диагональным уравнениям (отличным от л!(я[г ч нейных и квадратичных) возник из теории циклотомии, где рв4"':' ' сматривались уравнения вида ах" + Ьу" = 1. Эта теория в," ' ходит к Гауссу; в статье Оацзз [11 рассматривается случай т," ' кого -уравнения с й — 3, а в статье Сганзз (31 — с й = 4. О др,": „ гих ранних результатах для этих случаев см.
также ).!Ьг! [21, [.еЬездце [!1. Связь такого уравнения для произвольного я с ци л ' ' лотомическими числами (см. комментарии к 9 3 гл. 5) и суммаМ,~ Гаусса и Якоби была подробно изучена Куммером (Кшпгпег (41~~~', 151, [61). Классическое изложение этих результатов дал Бахмана т (ВасЬгпапп (1]); о более поздних результатах см. 8!огег 11$;;:,,' Математики прошлого века (кроме ранее упомянутых см.
такжВГ, Сагеу 111„РеИе! (81, Рер!п (11 и Бс$глег!пя [! 1) рассматривалФ4 лишь простые конечные поля Рр. Обобщение результатов КУмо мера на случай произвольного конечного поля Рр было получи чена Митчеллом (МИсЬеИ Н. Н. (11, (21). Интерес к циклш( томки был возрожден важными результатами Диксона (ь)[с)гзо[д!; Комментарии (441, (451, (46], (47 1). Вычисления циклотомических чисел низкого порядка, начатые статьями Диксона, были продолжены в работах Вашпег[, Ргес(г!с(сзеп И 1, Вегпй, Ечапз И1, Вгцс1с 121, Ечапз, Н»П И1, Беопагй, %ППатпз (31, (51, Мцз!са! [41, [6], [7], Мпз(са[, %Ы!ептап И(, Ратиани, Адгава(, Гса)вас[е [31, 5!огег [21, »ЧеПз, Миз(са! И] и»ЧЫ!егпап [9], И01, И(], О дальнейших результатах по циклотомическим числам, таких, например, как, соотношения между ними, см.
работы Вашпег[, Ы1Пз, %агб И1, НаП 17], НиП И], Кц[г(со И], Муегзоп [51, Вес(е1 [8], 5!огег [31, [4], Чап»Пчег [91, И!1, И21, И41, И51, И7], И91, 1201, [2! ], [22], Чеп(са!агауис(ц И ) и %Ь(- (ешап [31, (5], [61, И41, Уравнение ах" + Ьх» = с рассматривалось также и независимо от теории циклотомии. Сколем (5(со[егп [31) показал, что для каждого простого числа р чь 7 уравнение ах' + Ьу' = с при заданных а, Ь, с ~ ]Гр имеет решение в Ц; см. также Рцп!оп И 1 и ЫадеП (11. О случае й = 3 кроме уже упоминавшихся работ Гаусса, Либри и Лебега см. также СоЬеп Е. [91, [ге!апс(, )созеп И, сЬ. 81, Рер(п И), 51пйЬ 14) и ЧаЫуапа!Ьазвату 121. О случае й = 4 см.
Рагпапи, Адгава(, [са)вас(е И]. Результаты, относящиеся к случаю произвольного й, имеются в работах СЬов!а 1. И1, [31, СЬов!а 8. И21, !ге!апб, Гсозеп И, сЬ. 81, БшаП И), (21, 13! и'Чапйчег 13], (4), ИЗ[. О связи уравнения х" + у» = 1 над простым полем (Гр с проблемой раскрашивания графа см. Йгеепвоос(, О!еазоп И 1. Более общее уравнение ах" + Ьу» = с было впервые рассмотрено в статьях РеПе! [31 и Ршгпа И1. О дальнейших результах см. СЬов!а 1. [21, Рачепрог[, Наззе И ], Нца, 'Чапйчег 131, МогбеП [51, Чапйчег (51, [6], 19], И21, И41, И51, И71, (!8], И91, [201, 12!1, [221, [231, 1251, ЖЫ!егпап (51 и»ЧПП- ашз К 8.
(231. Таблицы решений для таких уравнений построены в работах 1еЬтег, Чапйчег И], Реагзоп, 'Чапйчег И1. Бе!!г(с(де, %со(, Чапйчег И1 и Чапйчег (24!. В случае когда одно из чисел й; равно 2, мы приходим к эллиптическим или гиперэллиптическим уравнениям (ср. с комментариями к э 4). Об аналогичном трехчленном уравнении см. А1Ьег! 141. Уравнение вида ах» + Ьу» + сг' = с[ (чаще всего с а = Ь = 1, г = — + 1, с[ = О) широко изучалось в связи с последней теоремой Ферма.
Ранние результаты о существовании нетривиальных репений (т. е. решений с х, у, г ~ О) этого уравнения над конечными простыми полями для с[ = 0 получены в статьях СогпассЫа И1, Р!с(сноп [251, [261, Нигв!!г [2!, Мап!е! (21, РеПа! (8), Рерйп И), 5сйиг И! и тсгепс(! И ].Списки случаев, когдавозможио лишь тривиальное решение, приведены в статьях СогпассЫа И1 и Р!с(своп И41, И71, (211. Обзоры этих результатов можно найти в следующих монографиях: Васйгпапп 161, Р!с(сзоп [41, Гл.
6. Уравнения нид конечными волями сЬ. 261, Могг)е)! !21 и К)ЬепЬо)ш 12, сЬ. )21. См. также деталь- .'; ное исследование в книге К)бз|еп [) 1. В статье Ап)сепу, Егббз 7' [) 1 указано условие, при котором уравнение хе + уе + ге = О 1 имеет в )Грв лишь тривиальные решения, а в статьях Чапйчег: !61, [)0] изучается уравнение ах'+ Ьу'+ сге = — 0 над произ-'! вольными конечными полями. Диксон (Р)с)гзоп 1481) использовал"' циклотомию для получения результатов о числе решений урав-'„ нения ах'+ Ьу' + сге == е) над простым полем Гр.
Уравнени вида ах' + Ьу' + сг' = е) изучалось в статьях СЬочг)а, Сон )ез Сои)ез [)1, 12], [31, [41, СоЬеп Е. [71, 191, 1ехч)з [21, 5сЬир !ег 1)1 и Бе)п1ег [) 1. Об уравнении х' + у4 — г' = 0 над поле Гр см. Р)сйзоп !261. Уравнение х'+ уе + г" = О над поле ]Г,. где й = д+ ! или Й =- де+ ), рассматривалось в стат Еппо!а [)1. В работах Еедге [)) 1 и Н)гзсЬ)е)б 1! ] определяетс число решений уравнения хе+' + уее' + ге+' = 0 над полямгь и Ге . Связи между диагональными уравнениями над ко;е нечными полями и диофантовыми уравнениями типа рассмотренноге* в последней теореме Ферма широко исследовались ВандиверомЪ (Чапб)чег !) 1, [3], [41, [)31, [)81, [2)1, 123 1); см, также КЬаг[-;; гЬйчапоч, Кепоч [) 1 по поводу недавних результатов.
Подход к диагональному уравнению (6.)0), основанный на., тригонометрических суммах, применялся еще Пелле (Ре1)е! 161):; для случая, когда Ь = О и все й; равны друг другу. Метод, опи-. санный для общего случая в 3 3, был разработан приблизительно" в одно и то же время в статьях Гцг!або Оош)де [1), Нца, Чап-,, йчег 1) 1, [2] и Же)! [6!. О дальнейших результатах, связанных: с применением тригонометрических сумм к уравнению (6.)0),"" см. Апйепу 121, Еа)гс)о)Ь [11, [21, Ра)гс)о!Ь, ЧапгВчег 121, Ниа,; ЧапгВчег !4], 1ге)апг), Гсозеп [1„сЬ.
8, )01, Зо)у 131, 15], Могг)е[! [23, сЬ. 61, Реагзоп, ЧапгВчег ! )1, 5сЬш)с)[ %. М. [3, сЬ. 4], ' %Ь))егпап 171 и Боревич, Шафаревич [), гл. ) 1. Равенство (6.15) выражает тот факт, что дзета-функция гиперповерхности, апре-и деленной уравнением (6.10), удовлетворяет предположениям,,' Вейля (см. %е)! 161); ср. также )ге)апб, Розеп [), сЬ. ))1 и комментарии к 3 4.
О результатах, аналогичных теоремам 6.16 ' и 6.17, но когда среднее берется по уравнениям (6.)0) с фикси-:; рованными значениями й,, ..., Й„н изменяющимися коэффици- ". ентами а,, ..., а„, см. Саг)))г, Согзоп [) 1, !21 и 5сЬгп)б! Чч'. М,.: [3, сЬ. 41. Оценки для числа решений уравнения, (6.)0) можно',.'; получить также и без использования тригонометрических сумм;;,; см. Мого)е)! 15] и 5сЬгп)г)! %.
М. [3, сЬ. 4!. АсимптотическаФ" формула для числа решений уравнения (6.)0) была получе Карлицом (Саг))!г [341). Вандивер (Чапйчег [7!) построил д горитм для нахождения решений этого уравнения. Гегенбау, (ОецепЬаиег 151) рассматривал уравнение (6.10) над прост, полем Гр, р > 2, для случаев, когда числа й, принимают зна Коммеитарии 4О1 ния 1, 2 или (р — 1)/2, Результаты, касающиеся распределения решений уравнения (6.10) над простым полем Кр, получены в статьях СЬаПг [11, Т]е1ача]пеп [71 и %111]агпз К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
