Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 90
Текст из файла (страница 90)
ЗатеМ!( ') Как сообщил С. Л, Степанов, говоря об истонах этого метода, нужд: отметить: !) результат Н. С. Аладова [! ! (!896 г.) о числе решений сравненв! я у' н х (х+ !) (шоб р), полученный применением метода Лагранжа; 2) работу ' ю. и. Маиина [! 1 (!966 г.), в которой элементарным путем, моделируюгцим . ба«ее ранний и очень сложный метод Хассе — Вайля, получена оценка ! Ь и — Р! ц, ',~' ( 2Р ~ длЯ числа й'н Решений сРавнениЯ К:= х + ах+ Ь (шоб и) и 3) эле...
ментарное доказательство й. Г. Постникова (!967 г.) оценки ! й р — р! ( (Р+ '!' + 3)/2 для такого числа 81р. Для получения этого результата Постников рассмо. „' грел многочлен я(х) .= 2/(х) (! ~ (/(х))!" ~~~~) + (х" — х)/ (х), где /(х) о»п/я .*~" =-хэ+ ах+ Ь, и доказал, что каждый корень многочлена г' (х) = 1 ~ (/ (х))~~ по модулю р является кратным корнем многочлена л (х). — Прим. перев. Комментария для того же уравнения Степановым был получен результат теоремы 6.57 (см. Степанов [61).
В его статье [2) указанный метод прилагается к более общему уравнению у~ = 7 (х) над !)'р, где НОД (»[ед (7), т) = 1. К уравнениям вида у» — у = 7 (х) этот метод впервые был приложен в статьях Степанова 131. [51. Другой элементарный метод решения этих уравнений был предложен Митькиным [!1. Оба указанных типа уравнений являются частными случаями уравнения ! (х, у) = у'" + а,(х) у -' + . + а„ (х) = О, а, (х) Е !['„ [х). В предположении, что многочлен 7 (х, у) неприводим над основным полем [['р, степень»[ен(а ) = й взаимно проста с т и дед (а,) < !й/т, 1.4 1 ( т — 1, Степанов в работах [71, [8) получил следующую оценку для числа й! решений уравнения ! (х, у) = 0 в Г,: ) У вЂ” р)~~ Срн», где константа С зависит лишь от й и т; см.
также Степанов 1101. Шмидт (5сЬп!б! %. М. [11) показал, что указанные условия на многочлен 7 (х, у) влекут за собой его абсолютную неприводимость; он обобщил результат Степанова на случай произвольного поля )['», показав, что для абсолютно неприводимого многочлена 7'(х, у) число У решений уравнения 7 (х, у) = 0 в Ц удовлетворяет неравенству 1»»'— — а)~< Сдн», где константа С зависит лишь от степени много- члена ~; см. также 5с[зш!б! %.
М. [3, с[з. 31. Изложение метода Степанова можно найти в его работах [91, 1101, 1!21, 1131; весьма подробно этот метод разбирается также в монографии Шмидта 5с[зш!»[! %. М. 131. Еще до результата Степанова нетривиальные оценки числа решений уравнения у'" = 7 (х) элементарными средствами были получены Морделлом (Мог»[е!1 [5)). Из оценок сумм значений характеров, полученных Дэвенпортом (Оачепрог! 111, [21„[31, [71), тоже получаются аналогичные результаты; см., кроме того, замечания ниже об эллиптических и гиперэллиптических уравнениях. Идея использования гиперпроизводных Е<"> для исследования функций над полямн ненулевой характеристики принадлежит Хассе (Наззе [71), а также Тейхмюллеру (Те!сЬпй1- !ег 111), который доказал основные свойства этих гиперпроизводных. Другое доказательство леммы 6.55 (основанное на диофантовых приближениях) см.
в книге Еапй [1, с)з. 51; ср. также с упр. 6.68 и 6.69. Подход с позиции алгебраической геометрии к уравнению 1 (х, у) = 0 состоит в том, что это уравнение рассматривается как определяющее некоторую кривую в аффннном илн проективном пространстве над полем К .
Если многочлен )' Е !)' 1х, у1 абсолютно неприводим и У, — число К»-рациональных точек на проективной кривой (т. е. точек в однородных координатах, Гл. 6. Уравнения над конечными полями координатные отношения которых принадлежат полю Г«), то справедлива оценка [ У, — д — ! [ ( 2уу!~Я ;4 где у — род данной кривой. Зтот результат был сформулировац[л» Вейлем в работах %е!1 [1), [2! и подробно им доказан в статье„', Же!! [3 !. В статье [.апд, Фе!! [1 ] было отмечено, что коэффициент~ 2д в приведенном неравенстве нельзя в общем случае заменитьЯ меньшим.
Учитывая неравенство 2д < (д — 1) (д — 2), где д ='1 = дед (1) (см., например, Аг!!п [9, с)!. 1б[), для числа У решений;" уравнения ) (х, у) = 0 в Ц (т. е. для числа «конечных» точен,[ на соответствующей проективной кривой) получаем оценку [ У вЂ” д [ ( (д — 1) (д — 2) дн» + д». На такую оценку, однако, нельзя рассчитывать, если многочлен Г"' не является абсолютно неприводимым (см. упр.
б.б4 и 6.55);:Р Покажем, как эти оценки связаны с так называемой гипотезой', Римана для кривых над конечными полями. Для з Е [ч[ обозна-! чим через У, число [Г,,-рациональных точек на проективной кри;,!)« вой, задаваемой уравнением 1(х, у) = О. Определим дзета,,', функцию этой кривой равенством д~ «м=.*~[в!«л! ), где ряд сходится при [ ! [ < д ' (это легко проверить с помощь ", тривиальной оценки У, «д«)»). Вейль установил„что на само)~- деле Л (!) — рациональная функция вида ~( ь[!) [! — !) (1 — ф) ' где ь (Г) — многочлен степени 2ус целыми коэффициентами и сво-' бодным членом 1. Если записать 2л »' (1) = П (1 — е»,Г), то е»т будут целыми алгебраическими числами.
)анотеза Ри-",.;. -$ мана (доказанная Вейлем) состоит в том, что [ е») [ = дп' для. « всех ) =- 1, ..., 2у. Рассуждение, аналогичное тому, которое, ~) привело к формуле (5.24), показывает, что 2« У, = — д'+ 1 — ~'„е»| для каждого з Е Й, )=! а отсюда, учитывая гипотезу Римана, получаем, в частности,""'; указанную выше оценку для У,. Кроме того, дзета-функция УЛов 3 Комментарии летворяет некоторому функциональному уравнению, нз которого следует, что числа еа~ можно разбить на пары комплексно-сопряженных.
Вслед за упомянутыми статьями Вейля появились и другие доказательства гипотезы Римана для кривых над конечными полями. Так, в статье МаНцсй, Та1е 11! решающее место доказательства Вейля было выведено из теоремы Римана — Роха; см. аналогичное доказательство в статье Пго[Ьепйес]г [1]. Теорема Римана — Роха используется также в доказательстве Бомбьери (ВошЬ!ег! [5]), которое в остальных отношениях элементарно; см. также ВотЬ]ег] 151.
Другие доказательства, а также обзоры результатов Вейля можно найти в следующих источниках: сепг!пд [31, Зо!у [5], ].апд [1, сЬ. 61, Мопзйу [11 и Бтч!ппег]оп-Руег 131. В статье ВотЬ]ег! [11 показано, что число й1, асимптотически равно д' при з-+ оо, при этом используется гораздо более простая техника; см. также Апбгеюз [1] и СЬотч]а, Наые [! 1. Пименов 111 изучил распределение чисел Ж, — (да + 1) для кривых рода л ~ 1, Исследование нулей дзета-функции 3 (1) было предпринято Елистратовым 14], [51.
В статье Агпп'- !аде [21 была отмечена связь между гипотезой Римана для кривых и геометрией чисел над полями рядов Лорана характеристики р. Уточнения верхней границы для числа У, были получены в статьях 1Ьага [11 и Манин [51. Формально иной подход к уравнению Г (х, у) =- О базируется на изучении расширения поля 1'а (х) рациональных функций над полем га, определяемого этим уравнением, т. е.
на изучении соответствующего поля алгебраических функций. Такая точка зрения позволила Артину„Дэвенпорту и Хассе (см. Аг1]п [1], Вачепрог], Наые [11 и Наые [2], 14], [8]) доказать гипотезу Римана для некоторых частных случаев даже раньше Вейля. При таком подходе определяется некоторая функция ь (называемая конгруэнц-дзета-функцией) по аналогии с дзета-функцией Дедекинда для полей алгебраических чисел. Конгруэнц-дзетафункция, однако, связана с дзета-функцией х для соответствующей кривой равенством ь (и) = о (д — ").
Гипотеза Римана равносильна утверждению, что действительные части всех нулей конгруэнцдзета-функции ь равны 1/2. Это совершенно аналогично до сих пор не доказанной гипотезе Римана в классической аналитической теории чисел, с той лишь небольшой разницей, что конгруэнцдзета-функция не имеет тривиальных нулей. Конгруэнц-дзетафункция была введена Артином (Аг1!и [11) для случая квадратичного расширения поля ]Гр (х) и Шмидтом (5сЬпий Р. К. [21, 131) для общего случая.
Шмидт (5сЬш!81 Е. К. [31) доказал, что конгруэнц-дзета-функция ь удовлетворяет функциональному уравнению Е (и) =- Р (1 — и), где Е (и) = г(м — и" ь" (и) и л — род кривой. Хассе (Наые [3!) установил, что если 0 — максимум 408 Гл. 6, Уравнення над кпнечнымн налямн действительных частей нулей функции ь, то для введенного выше числа Ж, справедлива оценка [ й[~ — д — 1 [ "2ууе, а также что !/2 < 0 < 1, если у ) О. Верхняя граница для О.' была улучшена Дэвенпортом (Ватепрог1 [71) еще до того, как: Вейль показал, что 0 = 112, Связь между гипотезой Римана для:! конгруэнц-дзета-фуикции ь и точными оценками некоторых сумм;: значений характеров была отмечена Хассе (Наззе [51).
Доказа-;,'... тельства гипотезы Римана, использующие теорию полей алгебра.'.;-' ических функций, были получены (после Вейля) в работах 1ипза'" [1] и []оцпе11е [1), )2]; см. также Е)сЬ[ег [1, сЬ. 51 и Йаззе [181...,::;: ' Об общей теории конгруэнц-дзета-функций (или дзета-функцн$ "„ для полей алгебраических функций над Г ) см. также книгу;~ [)епг[пй [4, сЬ. 3]. Нижняя граница для рода у, зависящая от' степени соответствующего поля алгебраических функций над '! полем Гч(х), была установлена в статье Агш1'[аие [! 1.
Что ка.,'" сается теории полей алгебраических функций над конечными з14 полями, то ее зачатки появляются еще у Кюне (КйЬпе [21), Своего:,'-', полного развития эта теория достигла в работах Аг1[п [1], ВсЬш[01 Р. К. [1), БепяепЬогз1 [1] и Кап1ег [1], [2), что и при- вело к отмеченным выше результатам. Важным частным случаем рассмотренной выше проблемы является случай зллипгпических уравнений (зллипгпических кривых, полей зллиптцческих функций) над конечным полем Г . Этот случай выделяется условием у = 1 и приводится при нечетном д к виду у' = 7 (х), где степень многочлена 1 ~ Г 1х1 равна 3 или 4 и его дискриминант отличен от О, Именно для этого случая Хассе дал доказательство гипотезы Римана, аннонсировав его в работах Наззе [4], [61 и приведя подробное доказательство в статье Наззе [8].
В частности, он показал, что число й! решений в [Гр' указанного уравнения удовлетворяет неравенству [ Ж вЂ” у + ч) (а) [ < ам', гдет[ — квадратичный характер поля Г на — коэффициент прих' многочлена 7 (х). В статьях АгНп [11 и ]таззе [21 гипотеза Римана ' была доказана для некоторых частных полей эллиптических функций; см. также Наззе [171, Более слабые оценки для й! были получены в статье МогйеП [51. Элементарное доказательство приведенной выше оценки для й! было дано Макиным [1) для случая простого числа д и бед (!) = 3; см, также Х[пипег [1], Гельфонд, Линник [1, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
