Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Карлиц (СагИх [39], [43Е [52], [63]) изучал уравнения,,': вида г (х„..., хн) = л (х,, ..., х„), где 7 — квадратный много,'!,' член, а д — многочлеи некоторого специального вида. Случв]гт) когдап=-Зили4ид(хы ...,х)=-ах, х„+Ь,а, ЬЕе4Г Комментарии 395 рассматривался в статьях Саг1Иг [50], [521, [751 и Гсоза!! [! ).
В работе Саг1Иг [43) рассматривалось уравнение Яа + . ... + 7а„,7аа = Ь, где]с — квадратичные формы, не содержащие общих переменных. Другой частный тип уравнений, содержащих квадратичные формы, рассмотрен Карлицом (см. Саг[Иг [471). О кубичных формах и формах четвертой степени см. работы СагпрЬе11 [!1, [3!. (8), 1101, СагШг [641, С!ссЬезе (1], 121, [31, [41, Рачепрог], 1есч!з 111, 141, (61, с1е Ссгоо!е (1], [2], [.есч!з (1], ! есч[з, 8сЬииг [11, Могс1е1! [51, (211, Бенге [101 и Манин [4, гл. 41, а также комментарии к $ 3 и 4. Содержащие квадратичные формы суммы значений характеров из упр.
6.27 — 6.30 можно рассматривать как обобщения квадра. тичных сумм Гаусса (ср. с. 9 2 гл. 5). Впервые они были вычислены для конечных простых полей, а также.для кольца еС(т) Жорданом (3огс[ап С. [4 1) и Вебером (%еЬег [! 1). О дальнейших результатах см, работы ВасЬшапп [3, раг! Н, сЬ. 71, Вгапп [11, Са!!а!зап, 5шИЬ (11, Саг! Иг 1591, 1!091, ГцИоп 3. Р.
[91, 8шИЬ ]с. А. (4!. Линник 12! и Малышев [21, (3, гл. !1. О близких суммах значений характеров см. работы СагГИг (451, [46], [1091, (1131, Опо [4), Рог!ег 1!61, [!71, Врг!паег [31 и ссылки на литературу в статье Вегпб[, Ечапз [4] по обобщениям сумм Гаусса, Обширная теория приведения и теория инвариантов для квадратичных форм над конечными полями были развиты Диксоном в статьях Ис1сзоп [11), [[2], [131, [!81, [221, 1241. Аналогичные результаты для систем квадратичных форм были установлены Диксоном в статьях. Ис1сзоп [201, [22], [271.
Эти теории были распространены на формы высшей степени в работах Р!с[своп !151, (241, [29], [30], [341, [361, [371, [381, [391. Итогэтим исследованиям был подведен в книгах Р!с(сиоп [35] и (42, сЬ. 191. О продолжении этих работ см., например, статьи О]епп (11, Наг!еИ [11, [21, [31, 141, %!!еу 1! ], %!!!!агпз %. !.. О. [1], 121, [31, [41 и обзор в книге ]си!Ьег[огс] (1]. Более поздние исследования инвариантов форм над конечнымн полями содержатся в работах А!пйч!и! 111, СагпрЬеИ (91, (111 и Саг!Иг [471, 1531, 159]. Нужно отметить, что понятие инварианта для таких форм встречается еще у Гурвица (НигсчИг [Г]). Основная теорема 6.2! справедлива, разумеется, для любого поля характеристики, отличной от 2, так как ее доказательство не использует конечности основного поля; см.
также Боревич, Шафаревич [1, алгебраическое дополнение!. Теория квадратичных форм над произвольными полями характеристики 2 более сложна. Основными работами по этому вопросу являются статьи А1Ьег! (11 и Аг1 111, причем в последней введен один важный инвариант. Об упрощенном подходе к инварианту Арфа см. Р!епс[оппе [1], Руе (11, К!!пйепЬегй, %И! [11, 5рг!пяег [11, Т!е!ге 111 и %И! [2!. ззв Гл. 6. Уравнения над коночными полями Жмудь [1] нашел соотношение, связывающее инвариант А с обобщенными суммами Гаусса.
В статье Меуег [! ] представл обзор результатов Диксона и Арфа с позиций их приложен к конечным полям. О квадратичных формах над конечнымн лями характеристики 2 см. также СагпрЬе1! [2], 141, [51, [!к [71, а о кубических формах над полем [Гг см. Т'и [2]. В ста' Р[езз [2] рассмотрены билинейные формы над полями характ стики 2. О квадратичных формах над кольцом Г [х] см. ра Вуегз [11 и СагИ!х [691. Приложения квадратичных и билинейных форм над кон'.
ными полями к теории кодирования рассматриваются в ста Сагпегоп, Беи]е! [1 [, Ре!заг!е Р. [31, Ре1заг!е, Оое!Ьа1з Оое!Ьа!з [! ], !.ешре1, %!подгаг[ [11 и Япаррег [1]. О прило киях к конечным геометриям см., например, работы АгНп сЬ. 31, Согбен [11, [21, Ра[, Репи [11. [2], Репи, Ра1 [11, 5паррег [!1 и Козел, Шаклеина [1]. О приложениях к алгебр над конечными полями см., например, Опо [5], [6]. Кап (Кар1ап [11) доказал закон взаимности (см. теорему 5.!7)„р г сматривая число решений сравнения х~ + ... + х, = г (гпог[; Теорему 6.21 можно интерпретировать и следующим обри каждая симметрическая матрица А над полем Го при нечет подобна некоторой диагональной матрице Р (в том смысле, Р = СТАС для некоторой невырожденной матрицы С над ср. с работами Ь[егчгпап [1, сЬ. 4) н Ма!еоз Ма!еоз [! 1.
Бли ' результаты о подобии, ортогональном подобии и т. п. име ' в работах А1Ьег! [!1, Рог!ег [81, [!31, Рог!ег, Аг[ашз [1], !ег, Напзоп [11, [21. В силу связи между квадратичными мами н их матрицами коэффициентов над полем [Ге прн нечеги число линейных преобразований, переводящих квадратичую с матрицей коэффициентов А в эквивалентную квадратичную' рму с матрицей коэффициентов В, совпадает с числом невы денных матриц Х, таких, что ХтАХ = В. Это число было о делено Зигелем (5!еИе! [1]) и Карлицам (Саг!йх [54]); для ' ного д число решений Х матричного уравнения ХтАХ = В' симметрических матриц А и В было получено в статьях Р Ра! [!3, [21 н Гц[!оп 3.
Р. [5], [7!; о случае В = О см. В ез!ег [21. Случай матрицы Х фиксированного (но не обяза полного) ранга рассмотрен в статье Ног[дев 12! ]. Кссасиммв ческая матрица А определяется условием Ат =- — А. Матр уравнение 'ХтАХ = В с заданными кососимметрическими ицами А и В рассматривалось в статьях Саг!йх [511 и Н '' 221. Такое же матричное уравнение с другими типами матр ' и В рассматривалось в статьях Вцс]сЬ!ез!ег [21, [31, [41, ' [61. Об уравнении ХгХ =- О см. Саг!!!х [!141 и РегЫпз 1!1, ' В работе Нобяез [9] рассматриваются матричные урав Коммевтаряя ХтА + АтХ =- В для симметрической матрицы В и ХтА— — АтХ = В для кососнмметрической матрицы В.
Матричное уравнение Хт ... Х~~АХ1 ... Х, = В с различными неизвестными матрицами Х,, ..., Х„и заданнымн матрицами А и В, которые либо обе симметрические, либо обе кососимметрические, изучалось в статьях Моцзоиг!з, Рог1ег [! ], Рог!ег, Я!че!апг[ [11 и К!че[апб, Рог!ег 111, [21 Портер (Рог!ег [!21, [221) обобщил матричные уравнения из статьи Нобнез [9) на случай нескольких неизвестных матриц. В работах Ноднез [11, 14] определено число решений матричного уравнения Хг + ...
...+ Х„= А, где Х~ — либо симметрическая, либо кососимметрическая матрица, см. также Рог1ег, МоизоигЬ [5]. Системы матричных уравнений, содержащие симметрические н кососимметрическне матрицы, изучались в статьях Ног[нез [!7), [251. Для матрицы А над полем К * определим матрицу А~, применяя к элементам матрицы А автоморфизм Фробениуса поля ["„» над [[ (т. е. заменяя каждый элемент а элементом и«) и затем транспонируя полученную матрицу. Матрица А называется эрмитозой, если А* = А.
Матричное уравнение ХкАХ = В, где А и  — эрмитовы матрицы, изучалось в работах Саг!!1з, Ног[дев [11, Ри!!оп ]. Р. 15], Нойма [241 и %ап, Уапд [11, 121; оно связано с эрмитовыми формами (см. А!Ьег! [11, В!с[гзоп 11!). Более общее уравнение Х„' ... Х]АХг ... Х„= В с неизвестными матрицами Х„..., Х„и заданными эрмитовымн матрицами А и В рассматривалось в статье Моцзоиг!з, Рог1ег [2]. В работе Нобнез [9] изучается уравнение Х~А + А*Х = В с эрмитовой матрицей В, а в статье Рог1ег 1201 — его обобщение на случай нескольких неизвестных матриц. Системы матричных уравнений, содержащие эрмитовы матрицы, встречаются в статье Нобнез [251.
Приложения эрмитовых форм к конечным геометриям подробно изучены в статье Бенге [1!1. Матричное уравнение АХ = В рассматривалось в работах Нойма [51, Рог1ег [211 и Рог[ег, МонзопгЬ [2!. О несколько более общем уравнении АХС = В см. в статьях Ноднез [19], Рог1ег, Монзонг!з [2]. Работы Нойнез [2], [!8] посвящены матричному уравнению ХАг' = В с неизвестными матрицами Х и У. Дальнейшие обобщения можно найти в статьях Ра!!а, Рог!ег [1], Рог1ег [101 и Рог1ег, Моизоиг!з [1], где изучается Уравнение АХ, ... Х„= В, а также Оа[!а, Рог1ег [21, Рог1ег [141 и Рог1ег, Моцзоиг!з [11, где изучается уравнение Хг ...
Х„АУ, ... 'г' = В. В последней статье имеются также результаты об уравнении АХ, ... Х„С = В. В статье Рог1ег, МоцзоцгЬ [3] ззв Гл. 6. Ураииеиия иад кпиечиыми полями рассматривается матричное уравнение АХ, ... Х„= ВУ, ... Р:","и Об уравнении ХА + СР = — В и его обобщениях на случай боль,' щего числа неизвестных см. Ног)яез [281, (291, Р!ез)сеп (1),„ Рог)ег [19) и Рог!ег, Моцзоиг)з 141. Об уравнении А,Х, + .„':; ...+ А„Х„= В и его обобщении см.
Рог!ег [!8] и Ног)яез [30~ соответственно. Многие работы посвящены так называемым инволютивнызй) матрицам, т. е. таким матрицам А, для которых А' = 7, где 1-ч)-' единичная матрица. Число инволютивных матриц порядка над полем Р определено Ходжесом (Ног[пса (121); см, такжф; Вгач!еу [21. Различные перечислительные задачи для специальтг ных классов инволютивных матриц решались в работах Вгатч)е~~; !.еч)пе (21, РцИоп 3. Р. [!1, [2! и РегЫпз, РиИоп (11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
