Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(:) „", Теперь мы в состоянии доказать основную лемму, в которой:;:~ строится нужный нам вспомогательный многочлен. 6.52. Лемма. ПУсть 7" ~ 1»ч !х) — такой многочлен степени Ъ гг )~ 1 и т > 2 — такой делйтель числа д — 1, что многочлен:, у — 7 (х) -абсолютно неприводим. Пус»пь, далее, у = 7« — ггг,,',г В ~ Г (х) — некоторый заданный многочлен степени г, 1 С :. г < т, и Т вЂ” множество таких элементов с ~ 1уч, для которых либо ~ (с) = О„»ибо В (д(с)) -- О. Пусть, наконец, М— такое натуральное число, что М ~. й + 1 и (М + 3)' ( 2д»т. '!огда существует ненулевой многочлен й ~ гтч (х), такой, что $4. Метод Степанова — Шмидта каждый элемент с ~ Т яеляется его корнем кратности не менее М, и при этом <)еа(Ь) < — оМ + 4оЬ.
гл — 1 и Ь()=~() Е Е () ()! ', (6.22) <=о г=о где е!т — многочлены с коэффициентами из Кч, которые надо определить, причем должно выполняться неравенство <(ея (еы) ( о/т — Ь, и где и=~ — (М+Ь+1) ~. (6.23) Найдем и-е гиперпроизводные многочлена Ь для п = О, 1, ... ..., М вЂ” 1. Заметим сначала, что поскольку а является степенью многочлена ~, то по следствию 6.49 Е<"! Дмг!1й!) = (и — лецлй<, <1ео(е!1„) ( <(еа(е<!)+ п(Ь вЂ” 1) ( < <' — Ь+ п (Ь вЂ” 1) ( ч + н(Ь вЂ” 1) — 1. (6.24) Можно считать, что Ь (х) = о (х, хе), где л! 1 и о(х, у) = ~~ ~„'~(х)ме<!(х)у(х)!у!', <=о <=о и так как М ( <), то можно применить следствие 6.50 для О ( < и .< М вЂ” 1. Получим т-1 и Е<л! (Ь(х)) = 1(х)м — л Е Е еыл (х) а(х)! хе!'.
(6,25) <=о 1-о Пусть В (х) = Ь, + Ь,х + ... + Ь, „х' — ' — х', где Ь< ~ Го. Если элемент с р Ко удовлетворяет равенству В (с) = О, то с' = Ь, + Ь,с + ... + Ь,,с'-', и тогда для любого ! )~ О степень с' представима ') линейной с — 1 !) При <~ с ото очевидно, при ! = с+ 1 имеем с = с.сс =- с~~ Ь!с< = а=о с-1 Ь|с! Ы + Ьла ~' Ь!с! н т. д.
— Прим. перев. <=о <=о Доказательство. Будем искать нужный нам многочлен в следующем виде: Гл. 6. Урааненнн над нонечнымн нолямн 376 комбинацией степеней 1, с, ..., с' — ' с коэффициентами из е — ! с! = ~ Ь„с'. е=.а Поэтому для элемента с ~ 'г ч, удовлетворяющего равенству ' В (а' (с)) =- О, выполняется равенство е †! д(с)!= 2„" Ь,ед(с)! для 1) О. г=о Подставляя в (6.26) вместо х такое значение с и учитывая, что .",. со =- с, получим ч! — ! а (Е !" ! (Ь)) (с) = 7 (с)м —" ~ ~ е, „(с) г (с) ! с!' = с=о г=о е — ! = ) (с)м-" ~ зе„(с)а(с)!, где !4 м-! и З! о (Х) = ~ ~ Ье!Е!7о (Х) Х!.
!.=о !=-о Чтобы получить равенство (Е<а! (Ь)) (с) = О, п = О, 1, ..., М вЂ” 1,:,:" для всех элементов с ~ Гч, удовлетворяющих равенству В (н (с)) =У,, = О, надо приравнять нулю все многочлены з!„, О < т': г — 1я) О < п < М вЂ” 1. Из (6.24) следует, что Йен(зе„) < — + п (А — 1) — 1+ и. Поэтому если 5 обозначает суммарное число коэффициентов все!(,;е многочленов з!, О < 1 < г — 1, О < и .< М вЂ” 1, то м — ! 5 <г ,'~о ~( — + п(А — 1)+ и) =- гМ ( ~ + и ) + — г (А — 1) М (М вЂ” 1) < <ВМ+гм(М +И+ 1)+ 2г('!)М ввиду (6.23).
Учитывая, что г < !и, получаем неравенство 5 < ч М+ — гМ'(/г+1)+гМ(Ь+1). (6.26) $4. Метод Степанова — Шнндта Пусть А — суммарное число возможных коэффициентов всех многочленов аы, О < 14 лт — 1, О < 1 ~( и. Тогда в силу (6.23) А)~( — — й) лт(и+ Ц)~(д — йт) — (М+ й+ Ц = = — 'т М+ — т(й+ Ц вЂ” гй(М+й+ Ц. Так как М > й + 1, то А> — "' М+ Ч (й+Ц вЂ” 2гйм. (6.27) Условие, состоящее в равенстве нулю всех многочленов а,„, приводит к системе из 5 однородных линейных уравнений от А коэффициентов многочленов аг;.
Если 5 < А, то такая система обязательно имеет нетривиальное решение, а значит, найдутся многочлены а,;, не равные нулю одновременно'. Но в силу неравенств (6.26) и (6.27) неравенство 5 < А будет обязательно выполняться, если выполняется неравенство — гмг(й+ Ц+ГМ(й+ Ц < Ч (й+ Ц вЂ” 2гйм, а для этого достаточно выполнения неравенства —,' М (й+Ц+3(й+ЦМ < ч (й+Ц, которое эквивалентно неравенству Мг16М<2д Последнее же заведомо выполняется в силу предположения, что (М + 3)' < 24!и. Выбрав, как указано, многочлены е;,, мы построим много- член й по формуле (6.22). Этот многочлен отличен от нулевого, поскольку в противном случае в силу леммы 6.46 мы получили бы, что все сы равны О, а это исключено.
По построению многочлена й н в силу леммы 6.61, каждый элемент с Е Е„такой, что В (д (с)) = == О, является корнем кратности не менее М многочлена й. Поскольку й имеет сомножитель (м, то каждый элемент с ~ 7 является корнем кратности не менее М многочлена й. Кроме того, из (6.22) и (6.23) следует, что йея(й) <йМ+ ~ — й+(и — ц й+ди < < йМ+++4й++ (М+й+ Ц < < йонг + — 4М + д ( — + 2й + 1) <,— дМ + 4йг(. зта Гл.
б, Уравнения над конечными полями Теперь мы установим предварительную оценку для числа ре- ' шений уравнения у = 7" (х), которая справедлива для достаточно; больших значений д. Позднее этот результат будет улучшен в двух направлениях, а именно будут ослаблены условия и уточнена ' оценка (см. теорему 6.57). 6.53. Теорема. Пусть Г Е !г'о [х] — такой многочлен стг-: пени я )~ 1 и т ) 2 — такой делитель числа д — 1, что много- член у — 7'(х) абсолютно неприводим. Тогда если выполняется ~ неравенство д ) 1ООтна, то число Ж решений уравнения у"' = = 7' (х) в Ц удовлетворяет неравенству ! Ф вЂ” д ! < 4ятаГгдиг.
Доказательство. Пусть й — многочлен, построенный в лемме,' 6.52. Так как й чн О, то из теоремы 1.66 следует, что (в обозначе-,", ниях леммы 6.52) М ! Т ! ( бей (й), и оценка степени бей (й)'„'' в лемме 6.52 дает !Т! - — д+ — д. г, 4а т г14 Теперь возьмем М =- 1(2д!т)цг) — 3. Поскольку д ~ 1ООтйг, то'; М) ( — '7 ) — 4) ( д ) ~й-,'-1, так что число М удовлетворяет всем условиям леммы 6.52. Учитывая, что М )~ (дгт)нг, получим ! Т ! < — д + 4ятыгдыг.
(6.28) ' Сначала возьмем в лемме 6.52 В (х) = — х — 1, Тогда г =- 1, и."", в обозначениях леммы 6.45 ! Т ! =- ! Т, !+ ! Т, !, так что из'; (6.28) следует неравенство ! Т, ! + ! Т, ! < ~ + 4йт'гад иг. Таким образом, )У = ! То )+ т ! Т, ! < т ( ! То !+ ! Т, () < д + 4йтгггдыг. (6 29),; Теперь возьмем В (х) = х ' + х — '+ ... + х + 1. Тогда ока-; жется, что г = т — 1 и ! Т! = ! Т,!+ ! Т, (, так что из (6.28):; получаем ! То (+ ! Тг! < д ~ 4йт1пднг Вновь применяя лемму 6,45, приходим к соотношению ! Тг ! = д — ! То ! — ! Тг ! > ~ — 4йтцгд' " $4. Метод Степаиова — Шмидта так что а» ~ т[у [ > 4ьта»гу1»г и, учитывая (6.29), мы получаем требуемый результат. [:[ Условие абсолютной неприводимости многочлена у~ — Е (х) можно задать в более удобном виде согласно следующему общему критерию. 6.54.
Лемма. Пусть К вЂ” произвольное поле, »' Е К [х) — мноеочлен положительной степени и т Е а[. Пусть 1(х) = а (х — и,)'»... (х — ив)'в — разложение многочлена»' в его поле разложения над К, где а ~ ~ К и и,, ..., ив — различные корни многочлена». Для того чтобы .иногочлен у'" — » (х) был абсолютно неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы НОД (т, е„..., ел) = 1. Доказательство. Покажем, что многочлен у — Е (х) не будет абсолютно непрнводимым в том и только том случае, когда НОД (т, е„ ..., ев) > !. Допустим, что этот многочлен приводим над некоторым алгебраическим расширением Е поля К, причем можно предположить без ограничения общности, что в поле Е многочлен у'" — 1 вполне разложим, т. е.
у'" — 1 = (у — ~,) ... (у — ~,„). Тогда у'" — »'(х) == г" (х, у) 6 (х, у), где Г, 6 Е Е. [х, у), бее (Г) > О, бед (б) > О. Теперь рассмотрим у — » (х) как многочлен от у над полем рациональных функций Е (х). Если )' — корень этого многочлена в его поле разложения над Е (х), то у.
— ~ (х) = (у — ~»У) " (у — 1.У). В силу единственности разложения для некоторого ненулевого элемента и из Е получим г (х, у) = и (у — ь»,У) ... (у — ь»„У), где»',, )„Е [1,, т[, ! «(и с. т. Рассматривая обе части этого равенства как многочлены от у и сравнивая постоянные члены, получаем ( — [у и~» ., 1» У" 6 Е [х). а значит, )с" ~ Е [х). Пусть и — наименьшее натуральное число, для которого У ~ Е (х).
Тогда»в ««и ( т, н каждое и ~ 'а"[, такое, что У" ~ Е (х), делится на ш. В частности, число т делится на ш, так как )г = » Е Е (х). Полагая Г = т~»в > 1 и 1' = у/»г при у, й ~ Е [х), й ~ О, получаем, что Е = (у/Ь)», откуда 76' = у', Сравнивая кратности корней и», 1 (»' (»1, Гл. 6. Уравнения ннд ноиечными полями в обеих частях этого равенства, мы видим, что У делит каждое из: чисел е;.
Поэтому У делит НОД (т, е,, ..., ел), так что НОД (т, н е„, ..., ел) ) 1. Пусть теперь, наоборот, е = НОД (т, е„..., ел) ) 1 и К,— поле разложения многочлена У над К. В подходящем конечном» расширении поля К, существует элемент (), такой, что ()' = а., Положим и = т,'е и ут (х) = р (х — а1)" у' ... (х — сел)'лу'.
Тогда уы — у(х) = (у')е — (у,(х))' = = (у' — У,(х))(ум' — О +ум' — 4~,(х) -1 ... +У,(х)' — '), так что уы — у(х) не является абсолютно неприводимым много..:: членом. (:) „.' 6.55. Лемма. Пусть в„..., а„— комплексные числа и В ) О,.„' С ) 0 — такие константы, что б !а(+ .. +а„*(~(СВ' для всех з ~ И. (6.36у;. Тогда ! ау ! < В для у =- 1, ..., и.
Доказательство. Пусть г — комплексная переменная. Для:-',. достаточно малых значений ~ г ) О ".л !ои(! — а;г) = — — У вЂ” а,'г', у = 1, ..., и, .~р~ Я Я=! так что )ой ((! а1г) ° ° ° (1 анг)) = ~ (а~ + + ан) г (6 31), 1 Ввиду (6.30) ряд в правой части (6.31) сходится для ) г ( < В '.,::. Поэтому функция в левой части (6.3!) аналитическая в круг$.'', ! г ~ < В '. Таким образом, 1 — ауг Ф 0 при ! г ! ( В ' и, еле ':, довательно, ~ в, ( < В для у = 1, ..., п.
(:)' Теперь мы можем доказать первый главный результат, кото-- рый обосновывает одно утверждение, высказанное в э 4 гл. 5с'( 6.56. Теорема. Комплексные числа а„..., ал, из теоремы,; 5.39 удовлетворяют неравенству ) ау ~ < д"е для у =. 1, ..., д — 1:-„" Доказательство. Предполагая, что выполняются условия тео; ',, ремы 5.39, н используя ее обозначения, положим й = бед (у) и $4. Метод Стенаноаа — Шмидта Выберем г Е К так, чтобы 4 )~ 100ай' и многочлеи / вполне разлагался в поле Ге~.' /(х) = (х — а,) а ... (х — еаа) а, где х„..., аа — различные корни этого многочлена.
Поскольку / не является т-й степенью какого-нибудь другого многочлена, то число а = НОД (т, а,, ..., еа) является собственным делителем числа т. Пусть д (х) = (х — а,)' " ... (х — аа) а/' Е Ка.(х), так что / = д". Зафиксируем число з ~ а( и положим Е = Ке ., Х = фна1, т = Х'. Тогда мультипликативный характер Х поля Е имеет порядок иа, а т имеет порядок и = т/а > 1, так что Е ) д (у)) = Е ) (й(у)') = Е т(а(у)). (6.52) тб е тее Пусть комплексное число р является первообразным корнем и-й степени из единицы, и пусть для 1 = О, 1, ..., и — 1 множество (/~ состоит из всех а Е Е, таких, что т (и) = р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
