Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Те же рассуждения, что и выше, приводят к формуле а„— ! )У, =,? — + — ', ~ ...;~~ б(~Л','), ()(.,).) ... б ((1,„")', (у, ).)~, ! =! я !~О И?' ' ". 1! ") (кв)') = зз — ! ая ,?а!и — !! ) ( 1)(Я+!! (з-!! Э' ~Э~ С ~)чз 1( ) !я ... Оф, ?.„)*б(М' .. Х.',,>' = а„— ! (!?з — !)з ) ( 1)з+! ! =! Хб(~!'- М", Ха))', которая снова имеет вид (6.15).
Оценки, полученные в теоремах 6,36 и 6.3?, можно использо- ''"„ вать для доказательства существования решений диагональных: уравнений (по крайней мере при достаточно больших д). 6.38. Пример. Пусть й — заданное натуральное число. Пока- жем, что для каждого конечного поля Г с достаточно большим !?, ', скажем !? > 4 ь(й — 1) (й — 2) + У й (й — 1) (Ь' — 5А + 8)1 каждый элемент Ь Е Г может быть представлен в виде суммы двух й-х степеней элементов этого поля.
Поскольку случай Ь = О::;:а тривиален, рассмотрим случай Ь ~ О, и пусть й!' — число решений уравнения х', + х,' = Ь в Ц. При з( = НОД (я, !? — 1) из тео- ремы 6.37 следует, что ! ?т' — з( ~ < [(з( — 1)' — (1 — д — па) М (з(, зй) !1!~а. Теперь М (4, 4 = з( — 1 (согласно (6.12) или исходя из определе- ния числа М), поэтому с учетом того, что д ( й, получаем ! 51 — ?! < ((1 — 1)' — (1 — ?-и-') И вЂ” 1)) Ч" = = (з( — 1) (зз — 2) з?!/'+ з( — 1 ( ( (и — !) (Ь вЂ” 2) з)!~а+ й — 1, 364 Гл. 6. Уравнения над конечными полямн Для доказательства второго равенства представим число т,! в р-ичной системе: т = Ь„р" + Ь„,р"-' + ...
+ Ь„где О ~ ' ( Ь; ( р для О ( ! ( и. Тогда ~ — ~ = ь.р«- + ь„,р — + ". + ь,р+ ь„, — ~ = Ь«р«+ Ь«-ьр + + Ьм ~ — „~ =ь„ и ~т/р'3 = О для ! ) и. Складывая эти равенства, получим,4 ь ~~ —,)-ь„' —,',-ь„,',' ь . -,ь,— ь=! 1 = —,(ь„р +ь„,р — + "+ь,р+ь,— — ь„— ь„, — ° ° ° — ь, — ь ) = ль — о р — ! ' П"; 4 6.40. Следствие. Если т„т„..., т„— неотрицательные це«:~ лыс числа и т = т, + т, +:.. + т„, то полиномиальный ковф':.) фициент т! 91 ьпо! ть! ... т«' является целым числом. Доказательство. Достаточно показать, что для каждого про- 6 стого числа р его степень, делящая знаменатель, делит и числитель'.
"; Применяя неравенство (.Ио+ !ь+ . + !«1 ~~(.(о1+ (А )+ +(Аь.) для (о, (,, ..., („~ К и лемму 6.39, действительно получаем =Ер(то!)+Ер(т,!)+ +Ер(т„!) = Ер(то! ть! " тн!). $ 3. Диагональные уравнения 6.41. Теорема. Число решений в Г" диагонального уравнения (6.10) делится на хар ктеристику р йоля Г яри условии, что — +. + — )1 ! ! (6.16) где д! — — НОД (йо а — 1) для ! = 1, ..., п.
Доказательство. Пусть М вЂ” число решений уравнения (6,10), и пусть У вЂ” то же число Ф, но рассматриваемое как элемент поля К«. Положим йй йо 6(хы" хо) =а«+пах! + .. +а„х„, где а,= — Ь. Так как Ж является также числом решений уравнения 6 (х„... хо) 0 В Г«то Р = ~~ (1 — 6(сй, ..., с„)« — ') сы ..., она~'« — 6(с„..., с„)« — ' = сы" «п6Г« й й « — ! — (а, + а,с!'+ + а„с„") со, ов6!Г« (в — !)! ьо ьй ь ййьй — ао а! ... а„"с! — Х ьо+ь,+" +ь„=« — ! йпьв с," " = а 'а ' — Х ь,. ь,, ...,ь„>о ьо+йй+ ~ьв В силу леммы 6.3 во внимание следует принимать лишь те члены внешней суммы, в которых !й! положительны и я!)й; делятся на д — ! для всех й, 1 ( ! .( н. Но последнее условие эквивалентно делимости )й, на (а — 1)/до Поэтому Ф = ( — 1)"+' ~~~ ао'а!' ...
а„", (6.!7) (Ч !)! ьо йй ьо Ь,! Л,! ... Ьа! ("о ьй " ьо)Ен где через Н обозначено множество (н + 1)-наборов ()й„)й„, ..., )й„) целых чисел, для которых )го+ )ой+ ... + )гв = а — 1 )йо = О Гл. б. Уравнения над конечнымн нолямн и для каждого !', 1 ««! ««и, число й! является положительным кратным числа (у — 1)/с(,. Теперь допустим, что выполняется неравенство (б.!6). Тогда".' если (Ь„й„, ..., Ь„) Е Н, то й; ~ (д — 1)/с(; для всем 1, 1 «( ! ( и, " так что Ь,+Ь,+ ... +Ь„- ', '+ ... 1 в„' >д 1 в а это невозможно. Таким образом, множество Н пусто, так чти'. й/ = 0 на основании (6.17), а зто означает, что число Н делится':; на р. П,. Если й, = ... = й„= с( и д — делитель числа о — 1, то ив:, (6.16) получаем неравенство и > с(, и мы приходим к частному,'" случаю теоремы 6.5.
6.42. Теорема. Пусть р — характеристика ноля Кч, Ь„..Т'„ ..., й„— заданные натуральные числа, а„..., а„Е Ка, й Е Кд м',.' числа д! = НОД (йь д — 1) делят р — 1 для ! = 1, ..., и, причем.;,,; 1 1 — + ° ° + — = 1. ва ев Тогда диагональное уравнение (6.10) с иоказателямистеиени й, ..., Ь„имеет хотя бы одно решение в Га.
джазательство. Применим (6.17) и заметим, что при условий(11 (1/д,) + ... + (1/д„) = 1 множество Н состоит из единственноИФ~' (и + 1)-набора (О, й„..., Ь„), где Ь! = (о — 1)/д! для 1 ««! ««и,';-'; Позтому Ф ( 1)Я+~ (в ) а!а а" Ьа! " Ьв! Так как о = р' для некоторого г ~ И, то у — 1 = (р — 1) Р-' + (р — 1) р'-'+ ...
+ (р — 1) есть представление числа д — 1 в р-ичной системе, так что согласно лемме 6.39. Поскольку числа с(! делит р — 1„то представление числа Ь, = (д — 1)/д! в р-ичной системе имеет вид — 1р, !+Р— !р, г+ +Р— ! ВЕ В! В! так что й! — г (р — 1)/В! Ь! г и — 1 и — 1 В1 4 3.
Диагональные уравнения Из равенства (1/а1) + ... + (1/й„) = 1 тогда следует, что Ен(/!!!)+ +Ел(/! !) = Ег((Ч вЂ” 1)!), а это означает, что число (д — 1)!//й1! ... й„! не делится на р. Но поскольку все а! отличны от О, то это значит, что У ~ О, а следовательно, М ) О.
() В некоторых случаях этот метод удается применить и к уран. нениям, не являющимся диагональными. Если в следующей теореме многочлен й является постоянным, то соответствующий результат будет следствием теоремы 6.42. 6.43. Теорема. Пусть р — хороня!врастила поля !! „й— положипмльный делилмль числа р — 1 и а,, ..., а» ~ Ц, Если й Е 'гч !х„..., х„) — многочлен степени, меньшей чем й, то уравнение а,х! + ° + адхй й= и(х,, ..., хд) имеет по крайней мере одно решение в Г». Доказательство.
Поступим так же, как при доказательстне теоремы 6.41, используя те же обозначения и функцию 6 вида б(х„..., хд) = а,х! + . + адхй — и(х1, ..., хд). Тогда /7 = — р„(а»с! + + а„сй — и(с„..., сд))' й й ч — 1 с ..сдс!à — Х Е (ч — !)' А й,! д,! ... лд! ( — и(сд,...,сд)) Х с,. -",с!,6чч й,, д,.
".ддэч ДС+»1+"'+»Д~ ' Ха' ад»с! ...сй — Х (ч- !)! д, й, й„ д,! л,! ... йд! ( — 1) а! .„ай Х д,,д,, .д эй йс+»1+ "+д; =ч 1 ДС й»1 йй» и(с„..., сд) с! ... сд с! " ' сд 6 с'ч Если /!ч> О, то /!ч йец (й) + й/!, + ... + Иц, < й (й, + /йй + ... + Ьд) й (с) — 1), и из лем в нашей Согласно случае, если для каждого ц 1 ( « ( й, натуральное число й, делится на й = (а — 1)(/г.
Поскольку й, + ... + йь = а — 1, то это возможно лишь в случаен, =- ... = 6« = и. Таким образом; ':$ У = ( — 1)«ы ' (а, ... а„)". 1 " А Как и в доказательстве теоремы 6.42, показываем, что число (а — 1)1~61«не делится на р. Зто означает, что У Ф О, а значит, У)0. ("] 6.44. Следствие. Если й — положительный делитель числа ':; р — 1, где р — простое число, и г, (х,), ..., г„(х„) — многочлены степени й над конечным полем К, характеристики р, то уравнение (,(х,)+ ... +~«(х„) =0 имеет по крайней мере одно решение в К .
« в $ 4. Метод Степанова †Шмид ,г Рассмотрим специальные типы уравнений вида г (х, у) = О, где г Е г ]х, у], для которых удается установить нетривиаль- р ные результаты о числе решений «элементарнымиь методами, т. е. методами, не связанными с алгебраической геометрией или с ши- '-' роким использованием полей алгебраических функций. Нашей '„ основной целью будет доказательство ряда результатов, необходимых для оценки некоторых сумм значений характеров из 6 4 гл.
5 (см. теоремы 5.38 и 5.41). ;а Первым типом уравнений, который мы рассмотрим, будут уравнения вида у" =- ) (х). Следующий результат служит исходной точкой для исследования вопросз о числе решений таких уравнений. 6А5. Лемма. Пусть Кч — конечное поле, 1' ~ К ]х), т— положительный делитель числа д — 1 и д ==- р« — ~и . Тогда число Ж решений уравнения у'" = г (х), лежащих в Ц, задастая 4юрмулой У =]Т,] ] «п]Т,], э 4. Матод Степанова — Шмидта где Т, — множество корней многочлена [". (х) в поле га, а Т,— множество корней многочлена д (х) — 1 в [['ч Кроме того, [ Т, [ + + [ Т, [+ [ Т, [ = а, где Т, — множество корней многочлена у (х) ' + у (х)" — '+ ...
+ у (х) + 1 в [Рч. Доказательство. Будем различать решения (х = с„у = с,) уравнения у" = ~ (х), у которых с, = О и у которых с, чь О. Число решений вида (с„О) в точности равно Та. Если же са ~ О, то для решения (с„с,) имеем [". (с,) чь О, и поскольку мультипликативная группа К" поля Га циклична (см. теорему 2.8), то 1(с,) является т-й степенью некоторого элемента из [22 в том и только том случае, когда д (с,) = 1 (с,)ы — н~'" = 1. При этом если д (с,) = 1, то существует ровно т элементов с, Е ~ Та*, таких, что с„=-~ (с,).
Отсюда следует, что Ф= [ Т, [ + т [ Т, [. Легко убедиться в том, что множества Т„Т2 и Т, попарно не пересекаются. С другой стороны, для каждого элемента с Е Гт, очевидно, выполняется равенство О = ( (с)2 — 2'(с) = 2'(с) (й (с) — 1)(к (с) †' + + д(с) — 2+ + д(с)+ 1). Отсюда вытекает, что каждый элемент поля Г, принадлежит одному из трех указанных множеств. Следовательно, [ Та [+ + [ Т,[ + [ Т,[ = у. П Ключевым пунктом элементарного метода Степанова и Шмидта является построение некоторого вспомогательного многочлена, кратными корнями которого являются заранее заданные элементы. ,[1оказываемая ниже лемма гарантирует, что такой вспомогательный многочлен является ненулевым. Будем применять следующие терминологию и обозначения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
