Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Некоторые из них, например касающиеся функционального уравнения и раз- ложения Е-функций„доказаны Гротендиком (Ого!Ьепс[]есй [2], [31); по поводу случая Е-функций, связанных с полями алгебра- ических функций над ]Гч, см. Же[за!пйег 1! ). Аналог гипотезы Римана — Вейля был доказан лишь с помощью результатов Делиня (Ое!]япе [31, [41, [6!). Обзор результатов Делиня имеется в статьях Ка[з [41 и Вегге [3).
Дальнейшие результаты по 1,-функциям можно найти в работах Аг[о!рЬзоп, ВрегЬег [1], ВогпЬ[еп' [7], Ноо!еу [61, !.ашпоп ! !1 и ЯрегЬег [! ], [31. Ана- логичную теорию можно развить также и с помощью мультипли- кативных (а не аддитивных) характеров, а также для гибридных тригонометрических сумм (см.
Ка[з [41, Вегге [3) и Перельмутер [31). Значение этих результатов для оценки тригонометрических сумм обсуждалось в комментариях к 4 4 и 5 гл. 5. [Различные диофантовы уравнения в конечных полях рас- сматривались в работах ОгзесЬ [1*1, Вша!! 11*) и Япаррег [!" 1. Спэкман (Врасйпап [1* ]) получил рекуррентное соотношение для последовательностей, связанных с числом решений некоторых диагональных уравнений, и усилил результаты, полученные в работе Муегзоп [41. Хеллесет (Не!!езеГЬ [1*)) установил связь между одной задачей теории кодирования и проблемой Варинга в конечном поле. Стор и Волох (6[оЬг, Чо!осЬ [1* 1) получили ' ' новое доказательство оценки Вейля (Фе[! А.
[2 1) для числа„.:,';, рациональных точек на кривой методом, аналогичным методу''~, Упражнення 417 Степанова [9], [10], а также получили некоторое ее уточнение. Мазур [1е ] вывел асимптотическую формулу для числа решений системы сравнений р — ~ 2,[ пай~=а,(шойр), я=1, ...,и (еа Е [О, 1], 1=1,, р — 1).
х=! где р — простое и и — натуральное число. Одлыжко и Стэилн (06]ух[со, 8[ап[еу [1]) рассмотрели только последнее уравнение этой системы и получили для него более точные результаты. Шпарлинский [3'! другим методом получил аналогичное уточнение для исходной системы.
Конягин [1е ! дал неулучшаемую оценку с асимптотически точным значением константы для числа решений полиномиального сравнения п-й степени. При этом он использовал результаты Стечкина [1! и Нечаева [7!. Хаксли (Них!еу [1е ]) получил уточнение аналогичной оценки Натела (Нане] [1е ]) для числа решений сравнения с многочленом, имеющим ненулевой дискриминант. К этому же кругу вопросов относится проблема Артина о локальном представлении нуля формой. Пусть р ~~ 2 — простое число, 1)р — поле р-адических чисел, г' (х„ ..., х„) — форма степени и от й переменных надь)р. Если уравнение г'(х,, ..., хп) = О, х1 ~ ь), 1 = 1, ..., Й„имеет ненулевое решение, то говорят, что форма г нетривиально представляет нуль.
Гипотеза Артина была доказана при п = 2 Минковским и Хассе, при л = 3 — Демьяновым [!" ) и Льюисом (].ету[з [1" ]). Кроме того, Ершов [1], а также Акс и Коген (Ах, Кос]теп [1 [) в 1965 г. доказали, что при заданном п для всех р, за исключением конечного числа, гипотеза Артина верна. А в 1966 г.
гипотеза Артина была опровергнута в работе Тег]ап1ап [1е], где доказано, что для нетривиального представления нуля формой над 1',1 необходимо Й ) а1оа~ ао, в том же году это утверждение было усилено Бровкиным (Вготу[с[п [1е !) до й'= пв — ', е > О. В 1981 г. Архипов и Карацуба [1" ! (см. также [2' ], [3' ]) доказали, что необходимо условие й )~ ) ехр (а~([ой и)'+е), в > О, т. е. для выполнения гипотезы Артина требуется почти экспоненциальный рост числа переменных. Аналогичная гипотеза для системы форм была также опровергнута Архиповым [1" ], [2е], который доказал, что в этом случае й должно расти экспоненциально, именно как 2".
См. также Боревич, Шафаревич [1]. По тематике шестой главы кроме отмеченных выше имеются еще работы: Вготу[с[п [2е ], С[тепд 11*], Пгу1сху]с, Тгора1с [1' ! и Григорьев [1е !. — Перев.1 Упражнения 6.1. Найти число решений уравнення ха+ 2х" + ха+ 1.= О в поле Га. 6.2. Найти число решений уравнення к' — Зка — ха+ ха — х = О в поле Гт, 27 зак. ем 418 Гл. 6. Уравнения над конечными полями 6.3.
Пусть [ ~ [Гз [х,, ..., х„[ — многочлен степени, меньшей чем и, н пусть (сг, ..., сги), ! = 1„ ...„ 6), — решения уравнения [ (х,, ..., хи) = О, лежащие в К". Доказать, что Ф ~~ с;! =О для любых ) н Ь, 1 (/(и, О(й ~~4 — 2, г=! 6.4. Многочлен [ Е Гч [х» ..., х„] степени л называется иорлеиимзгмногачленом, если единственным репгением уравнения [ (х„ ..., х„) = 0 в Ц является (О, ..., 0).
(Объяснение такого определении содержится в примере 6.7.) Доказать, что если 1 — норменяый многочлен и я с Гч [х,, ..., х„[ — произвольный много- член степени. меньшей чем и, то УРавнение [(х,, ..., х„) = 6(хы ..., х„) имеет по крайней мере одно решение в Ги. 6,6. Построить норменный многочлен степени 3 в кольце Кз [х, х,, хз[, 6.6. Доказать, что если однородный многочлен [ ~ )Гч [хы ..., хи[ степени 6~1 делится на некоторую переменную хы то число решений уравнения [(хы ..., х„) = 0 в г и не превышает числа гй)и ' — (Ы вЂ” 1) ди ч 6.7. Доказать, что число ы (с0, определенное перед теоремой 6.16, совпадает /и+ ~11 с бииомиальным коэффициентом 6.8.
Найти диагональную квадратичную форму, эквивалентную форме х,х, + 2х,хз — хзхз б Гз [хг хз. х,!. 6.9. Йайти диагональную квадратичную форму, эквивалентную форме 2хз — Зхтт+ Зхзе+ х,хз — 4х,хз — Зхзхз Е й'ы [хы хг, ха[. 6.!О. Найти число решений уравнения Зх,'+ хт — 2х хе + х хз+ Зх хз = 2 в Ц. 6Л1. Найти число решений уравнения 2х', — хе+ хз — х,хт — 2х,ха=2 в Гз. Б 2 " т 6.12. Найти число решений уравнения х', — хз+2х — х,х, — х,х,+ + 2х х, = 0 в Цз. 6.13, Найти число решений уравнения х,'+ х'+ х" ,— х,х, — хзхз+ хзх~+ + хзхз= — 1 в Ц.
6.14. Найти число решений уравнения хз+ 2х[ — 2хз! — 2х,хз+ хгхз+ +2хх =!вЦз. 6.16. Найтя число решений уравнения х', — х[ — хт+ х,х + 2хзхз — х,+ + 2х, = 0 в Кьз. 6.16. Найти число решений уравнения х[ — х, '+ х~а — х,х, — х,хз+ х,х4+ + хзхе + хз + ха ! В [Гз 6.17. Найти число решений уравнения х[+ х,'+ х,х, + х,х, = 1 в Ц. 6.18. Найти число решений уравнения х', + хтз+х,ха+ х,хе+хека+ +хьхе=! в Ц. 6.19. Найти число решений уравнения Взх[+ Ох[+ х,хе+ х,хз+ х,хе+ + хтх,= В в Ц, где элемент 0 ~ Ц удовлетворяет равенству 0'= О+ 1, 6.20. Найти число решений уравнения (В'+ О) х'+ х„'-[- Вх[+ 0'хгхт+ + Вх,ха+ Вхехз+ (В+ 1) хзха = 0 в Ц, где элемент 0 ц К, удовлетворяет равенству Вз = В'+ !.
6,2!. Доказать лемму 6.24 тем нсе способом, который применялся для доказательства леммы 6,3!. 6.22. Доказать, что если 7 — квадратичная форма от л ~ 3 переменных над полем 2'ч, то уравнение 7 (хы ..., х„) =- 0 имеет в )Г" хотя бы одно нетривиальное решение. Доказать также, что условие л ~ 3 не может быть заменено условием л ~ 2. 6.23. Пусть [ Е 2'ч [х,, ..., х„! — ненулевая квадратичная форма и Ь и й я. доказать, что уравнение [(хд, ..., х„) = Ь имеет решение в 6'", если (!) д четко Упражиеиия 419 или (!!) 4 иечетио и ранг матрицы ковффициеитов квадратичиой формы / ие меиьше 2.
6.24. Доказать, что две иевырождеииые квадратичиые формы /, я Е Е1рч (х„..., х„) пРи иечетиом 4 эквивалентны тогда и только тогда, когда з) (де1 (/)) = т! (бе! (6)), где г) — квадратичный характер поля Г . (Указание. Испольэовать лемму О.Ю и упр. 6.23). 6.23, Пусть Гч — коиечиое поле иечетиой характеристики. Доказать, что все иевыролщеииые квадратичиые формы / Е Гч (х„х ), для которых уравие. иие / («мха) = О имеет иетривиальиое решение з Гз, эквйвалеитны друг другу.
6.26. Пусть Гч — коиечиое поле нечетной характеристики. Доказать, что каждая невырождепная квадратичная форма / Е Гч (х,, х„) при иечетиом и эквивалентна квадратичной форме х,х, + х,х, + ... + хэ-зха-г + а«ч для иекоторого а Е Гч, а при четном и эквивалентна квадратичной форме хзхз+ + хз«4+ ... + хч зхч з + «т , + ах„ для кекоторого а Е Г'. 6.27.
Пусть / — певырождеииая квадратичная форма над полем Гч нечетной характеристики от четного числа и переменных и пусть де((/) = Д. Доказать, что для каждого нетривиального аддитивиого характера )( поля Гч справедливо равенство )((/(с„..., с„)) =да~за)(( — 1)ч/~Л), см ..., заЕГ где т) — квадратичиый характер поля Г . 6.28.
Пусть условия те же, что и а упр. 8.27, только число и иечетио. Дока- вать, что х (/ (см ..., с„)) = д!" '1~за) (( — 1)!" !1гзд) О (т), х), м '"' гпЕГз где Π— сумма Гаусса. 6.29. Пусть / — иевырождепиая квадратичная форма от нечетного числа л переменных иад полем Гч характеристики 2. Доказать, что для каждого иетривиального аддитивиого характера )( поля Гч справедливо равенство )((/(с„..., с„)) = О. 'и "" 'чЕГч 6.30. Пусть / — иевырождениая квадратичная форма от четиого числа л перемеииых иад полем Гч характеристики 2. Доказать, что если)( — нетривиальный аддитивиый характер поли Г, то имеет место соотношение Х(/(с„....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
