Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Не теряя общности, можно считать, что >) (Ь) = — 1, » (с) = 1. Тогда Ьм — '»е =-- — 1, с<» — <>м = 1, откуда — 1 == >) (Ьс ') = >) ((а + 1) (а -- 1) >) = = >1((а -< 1)(а — 1)) = 0(ае — 1). Обратно, предположим, что >! (ан — 4) ~ 1, тогда или а'— — 1 == О, или >! (а' — 1) = — 1. В первом случае получаем, что а =- ~1, а тогда найдется такой элемент с р Г», для которого с<» — '>" -- — а. Отсюда следует, что 7' (с) =- Г (0). Если же >) (а'— — 1) =- — 1, положим Ь = (а -! 1) (а — - 1) '. Тогда >! (Ь) = — 1, и, таким образом, Ь<» — '>м = — 1, а следовательно, 1 (Ь) =- (а + Ь<» — ' >") Ь =- (а — 1) Ь = а + 1 = 1 (1), где Ь чи 1.
В обоих случаях 7" не является взаимно однозначным отображением. П 7.12. Замечание. Покажем, что т> (а' — 1) = 1 тогда и только тогда, когда а =- (с'+ 1)(с' — 1) ' для некоторого элемента с Е К», с Ф 1. В самом деле, если >) (а — 1) -= 1, то а' — 1 =- Ье для некоторого Ь Е !1'»'. Отсюда, если с=- (и+ 1) Ь', мы получаем, что с~О, с»Ф! и (сн 4 1) (с' — 1) ' =--: 1(а + 1)' + Ь 11(а + 1)' — Ь 1 ' =. а.
Обратно, если а = (с + 1)(с' — 1) ', с Р <г», с чь 1, то а»в — 1 =:= 4с' (с' — 1) ' и, следовательно, » (а' — 1) = 1. П 7.13. Теорема. Если а Е !Г», где <) нечетно, то многочлен х<'' »и+ ах не является перестановочным многочленом ни для какого поля К „с г > 1. 4 2. Промеры перествновочных многочленов Доказательство. Если г четно, то результат вытекает из следствия 7.5.
Если г нечетно, то, полагая т ==- (д — 1)~2, получаем, что а':= — 1 (шод (и + 1)), т. е, что а':=- Й (и + 1) -1- т для некоторого Й Е !4. Заметим, что из соотношения /г (т + 1) = т + ! (шое( ц) и того, что НОД (т + 1, а) -- 1, следует, что /г: — 1 (шое) д).
В силу теоремы 7.4 достаточно показать, что многочлен (х'" ~' + ах)д-г — ', се приведенный по модулю х" — х, имеет степень д" — !. В самом деле, д-!-т — ~ (хнем + ах)дтпл — ! — ' ( + ) а/хна! и (д-ры — / — пеу' ~й+ и — 1д 1 у -о д+ы — ~ =Х( ) ) адх -"' — — — 1ы Для 1) т соответствующие показатели степени переменной х не превосходят д' — 2, Как нетрудно заметить, при 1' . дп — 2 соответствующие показатели степени х не меньше, чем д", но и не больше, чем 2~)' — 3. Таким образом, после приведения этих членов по модулю хе — х мы получим одночлены степени, не превосходящей а' — 2.
Остается член, соответствующий =- и — 1 и равный ( + ) а -'хе"-'. В этом случае достаточно показать, что укаэанный выше биномиальный коэффициент не делится на характеристику р поля Ге. Если через з обозначить сумму цифр в р-ичном представлении числа и, то из соотношений (е: — 1 (шое( а), т < а и и ча О (шое( р) следует, что ад+, —— з„, + зд, и тогда по лемме 6.39 получаем, что Ер(( )) = — (з„,+ад — зд, 1) =О, откуда следует утверждение теоремы. П Теорема 7.13 наводит на мысль о том, что многочлены над полем Ее, являющиеся перестановочными для всех конечных расширений поля Ге, встречаются, по-видимому, достаточно редко.
На самом деле многочлены с таким свойством имеют очень специальный аид, и их можно полностью описать, 446 Гл. 7. Перестановочные ыногочлены Заменяя х на х + йы приходим к равенству а (х + ໠— йе)» — ах" = 1. Применяя формулу бинома, получаем (.) = О(пюдр), 0 1 Ь. (7.4) Число й удовлетворяет неравенствам р" < й < р»~' для некоторого й Е л„ Ь ) О.
Если й чь р", то, полагая 1 = р", из леммы 6.39 получаем Е „~(, )) == — (зг .! з„; -- з») .=- О, где з„обозначает сумму цифр в р-ичном представлении числа и. Так как последнее соотношение находится в противоречии с (7 4), получаем, что й — — р". Утверждение теоремы следует теперь из формулы (7:3). П 7.15. Следствие. Если многочлен 1 (х) Е г'ч (х ! нельзЯ пРедставить в виде ах + Ь, то суи(ествует бесконечно много расшиРений Г е полл !) ч, таких, что 1 (х) не Явлаетса пеРестановочным многочленом поля г,, 7.!4. Теорема.
Многочлен 1" (х) Е Гч !х ! является перестановочным многочленом для всех конечных расширений поля !!'ч тогда и только тогда, когда его можно представить в виде 1" (х) =— -- ах' 1- Ь, где а чь О, р — характеристика поля Гч, а Ь— некоторое неотрицательное целое число. Доказательство. Достаточность непосредственно следует из теоремы 7.8 и замечания к теореме 7.9.
Для того чтобы доказать необходимость, заметим сначала, что если 1 — перестановочный многочлен поля !!'ч, то для любого с ~ Гч уравнение 1 (х) = с имеет единственное решение й р Гч. Тогда 1(х) — с = (х — й)» д'(х), где /г Е»4, д Е Гч(х! и либо г)ед (д) = О, либо д является произведением непрйводимых многочленов у» Е Гч!х), е)ед (д») >~ 2. Если для некоторого ! число г делится на дея (я';), то д» имеет корень в Г - и, следовательно, 1 не является перестановочным многочленом поля г .
Таким образом, должно выполняться равенство ) (х) — с =- а (х — й)», а Ф О, (7.3) т. е. для любого с Е !!'ч найдется элемеят а' Р !!', зависящий от с, такой, что выполняется (7.3). Беря с ==- 0 и с = 1, получаем а (х — е(»)» — а (х — й,)» = ! . 4 2. Примеры перестаиовочиых миогочлеиов 447 Если перейти к полю комплексных чисел, то определенные выше многочлены оказываются самым тесным образом связанными с хорошо известными многочленами Чебышева первого рода Тв (х) = соз (й агссоз х). В самом деле, если мы в (7.5) положим х, = е'в, х, = г-'в, то из (7.6) вытекает, что 2 соз кй = и„(2 соз 6, 1) и, следовательно, щ (2х„1) = 2Т„(х).
(7.7) В силу этой связи многочлены Диксона иногда тоже называют миогочленами Чебышева, Тождество (7.7) можно использовать для определения многочленов Чебышева первого рода Те (х) иад любым конечным полем характеристики, отличной от 2. Рассмотрим многочлен Диксона дь (х, а) над полем Е. Тогда в поле рациональных функций над г справедливо равенство дь(у+ —, а) =уе+ —,, у ' е (7.8) которое получается из (7.5) в результате подстановки х, == у, хе = а/у.
Из определения многочленов Диксона также следует формула гч~г~ дь(х, аЬе) =- 'вр' . ( . ') ( — а)4Ь'Ь-<' — епх" —" = Ьея,(Ь вЂ” 'х, а), и ~е — /ч -2а — 1~ ) (7.9) Доказательство. Если 7" не является перестановочным много- членом поля Гч, то он не может быть перестановочным многочлепом ни длЯ какого полЯ вида Ге„, г Е И. Если же 1 — пеРестановочный многочлен поля Гч, то доказываемый результат можно извлечь из доказательства теоремы 7.14, П Введем теперь специальный класс многочленов, называемых многочленами Диксона. Они обладают некоторыми интересными свойствами и являются новыми примерами перестановочных много- членов. Пусть х,, хе — переменные и к Е е ).
Тогда, как мы видели при доказательстве теоремы 5А6, из формулы Варинга следует, что Еце.1 х1 +хе —— ~~1 . ( . ) ( — к~хе)~(к~+хе) ~'. (7,51 у =.о Это равенство выполняется для любого коммутативного кольца )с с единицей. Если а Е )с, то определим миогочегн Диксона и„(х, а) над кольцом )с формулой 1е/е3 ав(х, а) = ~), —. (, ') (--а)1х"--"~. (7,6) у =-о Гл. 7. Переетановочнвн' много»лены которая справедлива для любых а, Ь Е Е, Ь ~ О. Следовательно, если Е - Е», где д четно, то любой многочлен Диксона ан (х, а), ) и Е(Г»", может быть выражен через 8ч(х, 1).
Если же Е =- Г',, где Ч нечетно, то каждый многочлен Диксона де(х, а), и Р !», можно выразить как через д„(х, !), так и через дь (х, с), где с —- произвольный фиксированный элемент поля Е», не являющийся квадратом. Для нечетного о в соответствии с формулой (7.7) многочлены Диксона дч (х, а) можно также выразить через много- члены с!ебышева первого рода Т, (х).
В самом деле, если элемент () Р Г,: таков, что рв — а, то из (7.7) и (7.9) следует, что д, (х, и) = ф"д„(р — 'х, 1) == 2!)чТ„((2(3) — 'х). Как правило, случай а = 0 не представляет большого интереса в силу того. что дч (х, 0) = х". 7.16. Теорема. Многочлен Диксона де (х, а), а Е Ц, является перестановочным многочленом поля Е» тогда и только тогда, когда НОД (й, ое — Ц ==- !.
Доказательство. Предположим, что для некоторых Ь, с Е Е» выполняется равенство дч (Ь, а) == а, (с, а). В этом случае мы можем найти такие (3, Т Е!Г, что (1 + а(Г' = Ь, у -Ь ау ' = с, Тогда из (?.8) вытекает равенство ре + а"() — е =- Т' -, а»? -'", следовательно, (!)' — у') (!!еу' — а') = О, откуда р' -- у' или ()л =- (ау-')". Если теперь НОД'(й, ав — !) = 1, то по теореме 7.8 (В) многочлеи х" является перестановочным многочленом поля К». При этом () =- у или () =- ау '. В обоих случаях получаем, что Ь = с, т. е.
что яь (х, а) — перестановочный многочлен поля )'» Предположим теперь, что НОД (й, ов — 1) = д 1. Если с1 четно, то о нечетно, а я четно. Из (7.6) следует, что а„(х, а) содержит только четные степени х, поэтому я„(с, а) — ах ( — с, а) для всех с Е !е»*, с Ф вЂ” с, Следовательно, де(х, а) не является перестановочнйм многочленом поля Е .
Если е( нечетно, то существует нечетное простое число г, делящее д. Тогда г делит й, и, значит, или о — 1, или о + 1 делится на г. Рассмотрим эти два случая по отдельности, В первом случае уравнение х' = 1 имеет г решений в поле Тч, т. е, существует элемент Ь Е Е„Ь Ф 1, а, для которого Ь' === 1. Тогда Ь' = 1 и из (7.8) следует, что а (Ь + аЬ вЂ” ', а) =- ! —: ач =- д„(! + а, и). Так как из равенства Ь + аЬ ' == 1 + а вытекает, что или Ь =-- 1, или Ь ---- а, то мы получаем соотношение Ь + аЬ ' ~ 1 + а. Следовательно, а„(х, а) не является перестановочным многочленом поля Е». Во втором случае пусть Т Е Е * — решение уравнения х"" = а. Так как уравнение х' = 1 имеет г решений в поле Г»*, то найдется элемент () р Е»., () ~ 1, ау ', удовлетворяющий 449 Э 3, Группы пернсгннонпчных нногпчленпв авенству ()' = 1.
Кроме того, 5»-' = 1 и (Р = 1. Значит, в силу (7.5) дь (у + ау '. а) — й'„фу + а (()у) ', а). далее, справедливы соотношения у ау-' у; — у» р Гч и а (()у) ' = ))у + (()у)» с К . а также ру -' а (()у)-~ ~ т + иу-', поскольку иначе р -- 1 или () =- ау '.
Таким образом, уг„(х, а) опять не является перестановочным многочленом поля Г». (! 7,17. Следствие. Если а ~ Г„гг НОД (й, г) — 1) — 1, то г(а„(с, а)) = () » Г Г» глгч любого нетривиального иддгггггггвного и,ги лгульгггиплггг(ипгивного гороклгера ",( поля Г». Докизательство. Так как по теореме 7.15 многочлен д„ьл, и) является перестановочным многочленом поля Г„, то Е л(йь (е а)) =- лг Х(е) »6Г» ° чГ» и тогда этот результат следует из формулы (5.9) или из (5.37). й Суммы значений характеров, появляющиеся в следствии 7.17, в случае, когда )( — квадратичный характер поля Кч, д нечетно, и )г Е И вЂ” произвольное число, подробно изучались и получили название сумм Бревера (см. также комментарии к э' 5 гл.
5). В последнем параграфе настоящей главы мы рассмотрим много- члены Диксона от нескольких переменных, являющиеся обобщением многочленов вида (7.6) $3. Группы перестановочных многочленов Перестановочные многочлены поля К . имеющие степень, меньшую чем г), можно комбинировать друг с другом с помощью операции композиции и последующего приведения по модулю — Будем для удобства записывать эту операцию в виде (д(х)) () (х)) = (6(х)), пг1иимая под этим. что 7 (д(х)) =:- й (х) (гпог) (л» -- л)). Множество перестановочных многочленов поля Г», имеющих степень, меньшую чем г), образует группу относительно указанной выше операции. Эта группа пзоморфна симметрической группе Б . т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
