Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Е Необходимое и достаточное условие для того, чтобы система миогочленов была ортогональной, можно получить с помощью хаРактеров, Воспользуемся обозначениями для аддитивных хаРактеров, введенными в теореме 5.7. Гл. 7. Перестаиовочяые многочлены 464 7.37. Теорема. Система многочленов го ..., ) Е 'гд 1х„ ..., х„1, 1 < т ~( и, является ортогональной системой над поле ' Кд тогда и только тогда, когда лл Х, 5(сп, с))... Х, (7 (сп ..., сл)) = О л 'е ы ("'~ " ° ' )ЕГ» для любых аддитивных характеров Хь, ..., Хь поля К», где; (Ь,, ..., Ь„,) Ф (О, ..., О).
Доказательство. Для любого набора (ап, а ) р 'г обоз.! начим через ЬГ (а,, ..., а ) число решений системы уравнений" ), (хо ..., х„) =- а,, ..., 7 (х„..., х„) = а в Г". Если система многочленов )и ..., ) ортогональна над то нз (5.0) следует, что Х, (П(сп ..., С.))... Х, () (сп ..., сл)) = (еп ..., ел) С е'» — й7(ап ..., а ) Х„ (а~) ... Х (а ) = (ли . ° лы) Е»д =-Р'- ( Е Х,(а,)~ .. ( Е Х, (аы))=О при условии, что хотя бы один элемент Ь, отличен от О. Обратно, если выполняются условия теоремы, то для любого набора (ап ..., а ) Е Г из (5.10) получаем М(ап...,а )= — — ~~~, ( ~~~, Хь Ж(сп ...,сл))Хь,(а1)) .. (еп, ел) с ь' ье Е Г» ~ х,„».,Ь, "" 'ееье, Ь.1)= ьыч»» 1 — Х (а,) ...Х (а ). , О~ ь, ''' ь (ь| "ьы) Е Г» Хь 5(сп ...е сл)) ...
Хь ()' (сп ..., сл)) (»1 ° " ел) С К» ! . чл 7л-ел ( З Перестановочные много»лены от нескольких переменных 465 7.88. Следствие. Многочлен 7' ч Г» [х,, х„[ является персыпановочным много»ленам над полем К~ тогда и только тогда, когда )((Ь(сы, с„)) = 0 е (е! ... ен)е[[» длн любого нетривиального аддитивного характера )[ поля К,, 7,80. Следствие. Система многочленов гы „,, 7" ~ К 1х„... „х,[, [ -. т ей и, является ортогональной системой над полем г» т еда и только тогда, когда для любого набора (Ьь ..., Ьм) е К», Рдокытеоряющего условию (Ь,, ..., Ь ) ~ (О, ..., 0), многочлен )Ь,~', ...
+ Ь г' является перестиновочным многочленом над п„„.,м г„. Д козательство. Утверждение вытекает из теоремы 7.37, ;ледствия 7.38 и того, что)[ь (с) =- 7» (Ьс) для любых Ь, с е 'х».Д [[усть (х»1 — хь „х» — х„) — идеал в кольце г» [хы ... х,!, состоящий из всех многочленов вида о,(хь ..., х„)(х»1 — х,)+ +а„(хь ..., х„)(хн — х.), ~-'ш й,, у„б Г»!х,, ..., х„1. Тогда лемму 7.2 можно обоб- п~ить следующим образом, 7.40.
Лемма. ([) Для любого многочлена ) с '»'»[хо ..., х„[ найоетсн единственный многочлен не Г,[хы ..., х 1, имеющий по каждой переменной степень, меньшую чем д, и такой, что для »юбого набоРа (сь, с„) С Ц выполнЯетсЯ Равенство 7 (сы ..., г„) а (с„..., с„). П~) Если )', а ~ [Г» !х„..., х„[, то равенство ) (с,, ..., с„) к'('ь ..., с„) выполняется для всех наборов (сь,, с„) 6 [[» тогда и только тогда, когда 7" = — а (гной (х»1 — хь ..., х» — хл)) ОП) Для любого многочлена 7 е г»[хы ..., х„[ найдется един- ~ твгнный многочлен у с г [х„..., х„1, имеющий по каждой " 'ременной степень, меньшую »ел~ д, и удовлетворяющий соотно- ю'нию 7': —.
и (запое[ (х', — хь ..., х„' — х.)). . (оказательство. ([) Существование многочлена й следует из ('20) Для доказательства единственности достаточно показать, "то ес»и многочлен а ~ К [х,,, х„! имеет по каждой пере- менной степень, меньшую чем д, и у (с„..., с„) -=- 0 для всех '."'боров (сы ..., с„) Г К", то у является нулевым миогочленом.
'[оказательство проведем индукцией по п. Заметим, во-первых, "то случай п = ! следует из леммы 7.2. Пусть п . 2, и предпо- ложим что утверждение доказано для всех многочленов от п — ! Гл, 7. Перестановочные многочлены переменных. Если многочлен дЕ Ея!х,, ..., х„! является мн гочленом указанного вида, то мы можем записать у (х,, ..., х„) = Ь,(х„... „х„) + +Ь|(хм ..., х„)х|+ ! Ь ~(хм ..., х„)х( где каждый из многочленов Ь, имеет по каждой из переменны х„..., х„степень, меньшую чем а. Пусть зафиксирован на (сг, ..., с„) с Ее '. Из соотношения д (с, см ..., с„) =- О, к рос должно вгиполняться для всех с Е Ко, мы получаем систем нз а однородных линейных уравнений относительно Ь7 (с„л" ..., с„), 0 ( !' ( д — 1.
Определителем этой системы является отли ный от нуля определитель Вандермоида. Отсюда следует, ч Ь7 (с„..., с„) = 0 для всех 0 ( ! ( а — 1, а в силу того, набор (см ..., с,) Р Ц ' выбран произвольно, по предполож нию индукции получаем, что все Ь; равны 0 и, следовательн у=0. (!1) Пусть / = (х! — хп ..., х~ — х,). Если ): — д (гной Х' то очевидно, что 7'(с„..., с„) — у (с„..., с„) для всех набор (сп ..., с„) Е !Г . Обратно, пусть 7 (сь ..., с„) = д(сь ..., с для всех (сы ..., с,) Р К„.
Соотношение хл:=- х; (гпод l), 1 ( ! ( и, Ь > т )» 1, которое выполняется тогда, когда Ь =— т (гпод (р — 1)), позволяет получить многочлены (ы д,. многочлены по каждой из переменных имеют степень, мейьшу чем д, и удовлетворяют соотношениям 7" .= 7, (гной 7), д = д, (гной /). Тогда ~,(с,, ..., с„) =)(с„..., с„) = д(сы ..., с„) =- у,(с,, ..., с„) для всех наборов (сп ..., с ) Е К", Теперь из п.
(!) следует, ч ), =- д, и, значит, 7 = д (глод l). (!!1) Этот пункт следует из пп. (!) и (В), Однозначно определенный многочлен д из леммы 7.40 (В называется результатом приведения многочлеиа 7 по модул идеала 7 и обозначается !' (гпод (хе~ — хы ..., х",, — х„)). Тепе ' мы можем следующим образом обобщить теорему 7.6. 7.41. Теорема. Пусть р — характеристика поля !г'ч.
Тог ' система многочленов )ы ..., !'„с Ко !х,, ..., х„! является ор гональной системой над полем Ко тогда и только тогда, к выполняются следующие два условия: (!) в многочлене (пюд (х) — хп, х'„— х„)) коэффициент при хе1 ~ ... х~ 1 не ровен 0; в З, Перестановочные многочлены от нескольких переменных 467 (П) в многочлене 7,' ...
7„'"(шоб(х(' — х„..., хе — х„)) ковфрициент при х1 ... хе равен О, если (н ..., 1, — целые числа, удовлетворяюи(ие условиям 0 ( 1~ ( д — 1, 1 ( 1 ( и, не все 0 равны а — 1 и хотя бы одно 1~ не сравнимо с 0 по модулю р. Доказательство. Пусть многочлены 7„..., 7„образуют ортогональную систему над полем ГР, и пусть 1„..., 1„Р е — такие числа, что 0 < 1~ ( д '— 1 для 1 ( 1 ( п. Если через д обозначить многочлен 76' ... ~'„"(шоб(4 — х„..., хе х„)), го в силу леммы 7,40 и формулы (7.20) многочлен а (х„..., х„ имеет вид д(хь ..., х„) = ~'„(7~' ...
7„")(сь ..., с„). (со ...,««)сГР (1 — (х, — с,)Р— ') ... (1 — (х„— с„)Р— '). Тогда коэффициент при хе~ .„хе в многочлене а равняется — Е (П' " 7'")( " )=- « («и ... ««)еГР =( — 1)" ~~~ (в(см ..., с„) '... )„(сы ..., с„)" = («~ "'' )ЕГР =( — !)" ~„"а~' ... а„" = («~' " ««)чГР =~-о ( в .',) . ( л .':) условия (1) и (П) следуют теперь из леммы 7.3. Обратно, пусть выполнены условия (1) и (11). Тогда в силу проведенных выше вычислений из (1) следует, что (7.21) ф ' ... 7Р ')(сн ..., с,)~0, ( ~ "' «)ЕГР а нз (П) вытекает, что (г', ... 7'„)(сь ..., с.)=О ( ' '"' )ИГР 3' Гл.
7. Перестааовочаые многочлены 468 для 1„..., )„из условия (В). Используя равенство 1(сс, ..., с„)сс! = ( ~г )(с„..., св)с)с', в в (с!, ..., св) ~ [Г с ! (с! се) СКс получаем, что (~!! ... ~„")(с!,, с„) .= — -О (7.22 (с,, с„)С$",, для !с, ..., 1„Е2, таких, что О - (!~~с) — ! при 1:.
! (и; не все й равны с) — ! н не все й равны О, Равенство (7.22) триви,' ально выполняется для 1, -= ... -= !в =-: О. Для того чтобы по. казать, что многочлепы )с, ..., )„й Ке !х,, ..., х„1 образу ортогональную систему над полем г'», достаточно показать, чт йг (ас, ..., а„) ~ О для любого набора (а„..., а„) с Ц, гд' через Лг (а,, ..., ив) обозначено число решений системы уравнени ', ~,(хс, ..., х„) = а„..., )„(х„..., х„) = а„ с г в [гр. Покажем, что если йс (а!, ..., а„) рассматривать как зл мент поля [г'е, то он отличен от О. В самом деле, в силу (7.21 и (7.22) Л й((а„..., а„) =-( — 1)" ~ П [((с(с,, ..., с„) — а,)е — ' — 11 в с=! (с! "' 'в)йКС =( — 1)е 2' М ' " )'.'+ (с!, ..., св)с Г е — ! + ~~ Ьс, ! 7!' ...
['„в1(с!, ..., с„) = с,,...,с =е в ве все !.=Š— ! с =-( — 1)п Е (Г! . Ус !)(с., с.)ФО. (с! ." св)СКе Результат, получаемый в следующей теореме, может быть и ' пользован для построения новых перестановочных многочлено на основе уже известных. 7.42. Теорема. Пусть многочлен !' с Ге [х„..., х„1 имев вид ) (хс,, хв) =-д(хс, ..., Хвс)+ Ь(хыы, ..., Хв), 1 ~~гп(н Если хотя бы один иэ многочленов д или Ь является перестановочным многочленом над полем Ге, гпо и 7' является пергстановочн 4 Ь, Перестнновочные многочлены от неенплькнх переменных лба н„вгочлгном над полем Гч. Если жг д — простое число, то верно и ~братног утверждение, Нвкизательство.
Если а Е !гч, то обозначим через У (а) число решений уравнения 1 (хп, хн) =- а в Ке, а через Е (а) и М (а) обозначим соответственно число решений уравнений д (х„..., а и й (х,, ..., х„) — а. Тогда Л' (а) == ~„Ь(а,) М(а,). (7.231 а,-~а,=а Предположим для определенности, что а является перестановоч- пым мпогочленом над полем Гч. В этом случае для всех а Е !)" справедливо равенство Л (а) =- дм — ', и тогда из (?.23) следует, что йГ(а)=дт 1 ~ М(а)=у'п 1г1н т дл 1 ее Е !Га Последнее означает, что ) (х„..., х„) является перестановочным многочленом над полем !)'ч. Пусть р — простое число, а' 1(х„ ..., х„) — перестановочный многочлен над полем гр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
