Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 105
Текст из файла (страница 105)
41, %ППашз К. 5. [25). Многочлены Диксона как перестановочные многочлены кольца У/(гп) изучаются в статьях [.ацзсЬ, М61!ег, Ь]оЬацег [1], Мй!1ег [! ], ХоЬацег [81, (121. Взаимосвязь между рациональными перестановочными функциями (см. абебе! 14)) и многочленамн Диксона была установлена Карлицом в работе Саг!йх [86]. В статьях СагП[з [791 н КозепЬегиег [11 указаны некоторые приложения многочленов Чебышева.
Общую информацию о многочленах Чебышева можно найти в книге ц!ч!ш [11. Значение многочленов Диксона особенно возрастает в связи с известной гипотезой Шура (ВсЬцг [41) о том, что любой много- член 7 Е 2 [к1, являющийся перестановочным многочленом про- 480 Гн. 7. Перестаноночные ыногочлены стого поля К„(т. е. рассматриваемый по модулю простого р),.' для бесконечного множества простых чисел р, может быть пред„,~~ ставлен в виде композиции двучлена ах" + Ь и многочлена Дик",: сонэ. Шур в своей работе БсЬнг 141 рассмотрел случай, когдве бей (7) является простым числом, улучшив тем самым результв~' Диксона из работы О!с)сноп 12).
В работе %едпег 1! ) неслед ' вался случай„когда бед (!) является или произведением двуд',, нечетных простых чисел, нли степенью нечетного простого числа'". Курбатов [31 исследовал случай, когда дед (7) является или проса изведением не более чем четырех нечетных простых чисел, ил ' произведением степеней двух нечетных простых чисел. В друг своей работе 1) 1 он показал, что если число п -= р, ... рю г р; — различные нечетные простые числа н ни одно из р; не мож быть представлено как линейная комбинация с неотрицательны ' целочисленными коэффициентами остальных чисел р;, то гипот Шура справедлива для случая с)еп (7) == п. И наконец, справе вость гипотезы Шура была полностью доказана в работе Рг) )21, где также был установлен аналогичный результат для мно ' членов над полями алгебраических чисел.
Более того, в эт работе было показано, что если многочлен 7" Е О [х) являе композицией двучлена аха + Ь и многочлена Диксона н ес степень бея (7) взаимно проста с числом 6, то многочлен 7" являетс перестановочным многочленом поля Кн для бесконечного мн жества простых чисел р (см, также упр. 7.34). Близкими по т' матике являются также работы БсЬнг [4), %едпег [31, Гг)еб 14 [51, %ебегге))ег, 1.о [11 и Курбатов 121.
Если )с — коммут тивное кольцо с единицей и 7 ~ Я (х1, то множество всех (пр етых) идеалов / кольца )с, таких, что 7', рассматриваемый по м ' дулю l, является перестановочным многочлеиом факторколь )с7,7, называется (простым) перестиновочным спектром мно члена 7'. Эти понятия были впервые рассмотрены для случая тс = У в работах Ь)оЬанег 181, [9), а в общем случае в книге 1ацзс ' ЫоЬанег [1, сЬ. 41. Дополнительные замечания для случая )с =— можно найти в работе Хагй)етн)сх [21.
Детальное нсследовани, случая, когда )Г является кольцом целых в поле алгебраически чисел, было проведено Нидеррайтером и Ло в работе %ее)егг (ег, 1.о [1 1. Карлиц в работе Саг! Пг [821 рассмотрел перестановочны[) многочлены поля г нечетной характеристики р, удовлетворя,,'„' щне дополнительным условиям (7'(а) — [(Ь)ре — и" = (а — Ьре — и ', и, Ь Е[['ч, и показал, что если с)еп (7) < д, то 7'(х) =- схн~ — с), где с Ф О ненулевой квадрат в поле Г, а с) — произвольный элемент это поля (см. также работу Оо!1Ъегд [1 1), Обобщение на случай мнпг гочленов от нескольких переменных приводится в работе Саг!)1 ' Комментарии 48! [841 Макконнел (МсСоппе! [!1) обобщил результаты Карлица из работы Саг!Их [821 в другом направлении и доказал результат, который можно сформулировать следующим образом: если 6— собственная подгруппа группы Г;, то многочлен 7 ~ [г» [х1, 8!сд ()) < д, удовлетворяет соотношению (а — Ь) '(7(а) — 7(Ь))Е6 для любых а, ЬЕГ,, аФ.Ь, ~огда и только тогда, когда 7' можно представить в виде 7 (х) = гха' ! А где с Е 6, Н Е К„и р~ = — 1 (п1од т), а т является индексом подгруппы 6 в групйе Ц.
Другие доказательства этого результата приводятся в работе Вгпеп [11 для случая простого ч и в работе Вгпеп, [.ег!пиег [!! для общего случая. В работах МсСоппе! [11 — [31 эти результаты обобщаются на,случай много- членов от нескольких переменных. В статье Огппг[Ьо[ег [11 описываются все многочлены 7 ~ [Ро [х1, которые удовлетворяют соотношению (а — Ь) 0(п) — Г'(Ь)) Е 6, а, Ь Р[Г„а Ф Ь. В работе О!аге[г [! 1 изучались перестановочные многочлены поля р, коммутирующие со всеми автоморфизмами этого поля. [;глй оба многочлена 7 (х) н 7 (х) + х являются перестановочными многочленами поля [г', то 7 (х) называется вполне пересгпаи лонным многочленом поля ~'ч Это понятие впервые было введено в сабатье %ег[егге[!ег, КоЬ!пзоп [! 1 и было детально изучено в работе Ь[[ес[егге![ег, моЬ!пзоп [21.
Човла и Цассенхаус (СЬотч!а, 2аззепЬаиз [11) выдвинули следующую гипотезу: если 7 (х) Е [х1, Йеи ([) = 2, р — достаточно большое простое число и »ногочлен ['(х), рассматриваемый по модулю р, является перестановочным многочленом поля Гр, то многочлен 7 (х) + ах ни нрн каком а Е Гр не является перестановочным многочленом поля Г и. В этой же работе выдвинута еще одна гипотеза: если )' Е Х [х], [[еЯ (7)» 2, р — достаточно большое простое число и миогочлен ! (х), рассматриваемый по модулю р, не является перестановочным кшогочленом поля [['р, то найдется элемент с ~ Гр, такой, что чпогочлен 7 (х) + с является неприводимым над полем Гр. й 3.
Теорема 7.!8 была получена Карлицом в работе Саг!Пх [491. Для случаев д = 5 и д = 7 этот результат был получен Раньше соответственно в статьях Ве[[! [! 1 и Шс[сзоп [21. Аналог теоремы 7.!8, связанный с транспозициями в произвольных по'ях, приводится в работе Саг[Их [901. С теоремой 7. !8 также связано понятие капзиперестановочного мноеочлсна (сгибе реппп(а!'оп ро!упоппа!) (см.
Саг!Вх [931, а также упр. 7.22 — 7.24). Тео[кемы 7,19 и 7.2! получены в статье 1ч'е!!з 141. Результат упр. 7. !9 "ожно найти в работе Ргуег [! [. Образующие групп 5 „и А „, выраженные чеРез Рациональные фУнкцни над полем гч, приведены в работе Же[[э [41.
Подгруппы группы яр, р — простое ааа Га. 7. Переетановочные нногочнены число, порожденные некоторыми перестановочными многочлена ' поля Ер, изучались в статье Ргуег [21. Теоремы 7.22 н 7.23 получены в работе Ь[оЬацег [!01.
Групп 6 (1) исследовалась также в книге [.ацзсЬ, КоЬапег 11, сЬ. 4 В статье Нц!е, МЬ[!ег !11 охарактеризованы группы 6 (а), явля щиеся циклическими. Группы, аналогичные группам 6 (а), связанные с кольцами вычетов ~/Оп), изучались в работах ХОЬа ' ег [21 (в случае а =- 0) и 1.ацзсЬ, МОИег, ХОЬапег [! 1, МИ[ег [1 Ь[бЬапег ! 121 (в случае а =- ~ !).
Обобщения на случай иескол ких переменных см, в примечаниях к э 5. Группа Бетти — Матье впервые появляется в работах Ве1 121, [31 и Ма!Ь!еп [11. Затем эта группа была исследована Ди, соном (Р!с[своп [21, [51, 17, раг1 1, сЬ. 51). Им же в ра Р!с[своп [21 получен следующий критерий: для того чтобы г'. ('' являлся перестановочным многочленом поля Г „необходимо": достаточно, чтобы де[ А Ф О. В этой же работе установлено вз имно однозначное соответствие между элементами группы Бетти',, Матье н группы 6Е (г, Ке). Тот факт, что эти две группы из морфны (теорема 7.24), впервые установлен в работе ВоИета [' (см.
также СагИ[х [9! 1). Изоморфизм между алгеброй лннеарнз", рованиых многочленов вида (7,!2) и алгеброй гхг-матриц н, полем Ге установлен в статьях Вгап!еу, Саг!Иг, ЧащЬап и ЧащЬап Т. Р. [[1. Ограничение этого результата иа груп" обратимых элементов снова приводит к теореме 7.24. В упомянут" выше работе Вгач!еу, Саг1Из, ЧаьйЬап [11 также изучалк группа перестановочных многочленов, для которых коэффициеи «е, в (7.!2) берутся из данного подпола конечного поля Г»,. Группы перестановочных многочленов, образуемые мно членами из теоремы 7.!О, а также связанными с ними многочд', нами, изучались в работе АЬшае[ !21, Р!Пгпоге [! 1, [.ацзсЬ, ХоЬ цег [1, сЬ.
41, 1аГеИз 111, [31. В работе Саг!Иг, Науез [11 из чалась группа всех перестановочных многочленов поля Г, с ко фициентами из поля Ке; Мэттьюз (Ма1ГЬеъз К. 131) перенес результаты на случай многочленов от нескольких переменим Нндеррайтер и Робинсон ([ч!ег[еггеИег, [[оЬ!пзоп [2 1) показали, ч пеРестановочные многочлены полЯ [Ге, д нечетно, видаах!е пм + образуют группу относительно композиции по модулю хе— Результаты упр. 7.20 н 7.21 (а также аналогичные результат ' показывающие, что большинство перестановок, которые пере шают лишь очень малое число элементов поля Г», представляютс многочленами степени д — 2) можно найти в работе %е[!з 15 Другие группы перестановочных многочленов кольца л/( помимо упомянутых выше, изучались в статьях [ч[бЬацег [!1, [4 Из свойства (7.!0) следует, что многочлены Диксона дн (х, с а ==- 1 коммутируют относительно операции композиции так Комментарии 483 ак и многочлены с а = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
