Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Этот результат породил многочислен„»н, литературу„ посвященную изучению многочленов )', д над „олсм Е, удовлетворяющих условию г" (я (х)) =- д () (х)). Классическими работами в этой области являются работы Га!оц [11, 3п!!а ! ! 1, [с !!! 12 ), в которых изучается случай, когда г является полем комплексных чисел. Важным является понятие Ч-цепи, означающее последовательность многочленов над полем Р, не являющихся постоянными и коммутирующих друг с другом, в которой содержатся многочлены всех положительных степеней. В статье В!ос!с, ТЬ!е[тап [11 описаны все Ч-цепи над полем Р .
Р. Якобсталь (ЗасоЬз!Ьа! [3 !) показал, что с точностью до естественной эквивалентности все Ч-цепи над полем Р характеристики Π— это Ъ'-цепи, образованные многочленамн Диксона с а О или а — !. Аналогичный результат для произвольного ноля г' получен в работе Кац!зсЬ!!зсЬ 1! 1 (см. также [ ацзсЬ, 'г,'оЬаиег [1, сЬ. 41, [ !сП [71). Многочлены над полем Ее, коммутирующие с данным линейным многочленом, описаны в работе МнПеп [131; случай нормированных линейных многочленов был изучен ранее в статье%еПз [6!. Другие результаты о многочленах, коммутирующих с данным многочленом, можно найти в работах Вег!тат [1), Воусе [1), Кац!зсЬ!!зсЬ [21. Класс рациональных функций над полем ге, коммутирующих относительно операции композиции, появляется в статье Кес[е! 141.
Разложение многочленов на неразложимые многочлены (относительно операции композиции) и исследование свойств такого разложения проводнлнсь в статье К!!! [11 для случая многочленов над полем С. Обобщение на случай полей характеристики О было сделано в работах Епяз1гогп [3 1, [.еч! [1) (см. также Гг!ес[, й!асйае [11, Оогеу, %Ьар[ез !11, [.ацзсй, [х[оЬацег [1, сЬ. 41). Некоторые результаты для полей ненулевой характеристики содерзкатся также в работе Гг!ее[, Масцае [!!.
Случай алгебраически замкнутого поля изучался в статьях Рг!ее[ [31 и Клячко [1). Здесь снова важную роль играют многочлены Диксона. С этой тематикой также связаны работы Вгетпег, Мог!оп [11, Сгагпр!оп, 1!хйар!еь [!1, Оогеу, %Ьар!ез [!1, ) ацзсЬ, ХОЬацег [1, сЬ. 31, ~оЬацег !71. Операция композиции миогочленов по модулю х' — х была использована в работах СагП!х [471, Сачюг 121, Мнйеп [!!„[31, [51 при определении отношений эквивалентности для многочленов по модулю хе — х над полем Гч. з 4.
Исключительные миогочлены были введены Дэвенпортс'м и Льюисом в работе Рачепрог[, [ есн!з 121. В этой же работе была выдвинута гипотеза о взаимосвязи этих многочленов с перестановочнымн многочленами. В статье МасС!цег [! ) доказано, что если )' ~ Ге [х) — исключительный многочлен и с[ед (7) ( 2Р, где Р— характеристика поля Гч, то 7 является перестановочным мгюгочленом поля К . Коэн в работе Сойеп 5.
О. [51 показал, 4* Гл. 7. Переставоввчвые многочлены что этот результат остается справедливым и без ограничений на степень многочлена )', а также доказал аналогичный результат для рациональных функций над полем Еч. Ослабленный вариант теоремы 7.27 может быть получен более элементарными методами; в приводимом доказательстве теоремы 7,27 мы следуем работе %1111агпз К. 5. 191, Лемма 7.26 была получена тем же автором в работе %[И[вгик К. 5, (51. Теорема 7.29 для случая поля [[р, р простое, была доказана Дэвенпортом и Льюисом (Вачепрог1, Еемйэ (21).
С небольшими изменениями этот жс результа~ содер- . жится в работах Вошб[ег[, 1Эачепрог1 (11 и Т[е1ача[пеп [51. Вильямс (%111[агпз К. 5. (51) заменил условие, что 7 является перестаиовочным миогочленом поля Ея, условием [7 (7) — р т ! О (1). Теорема 7.29 в общем случае была доказана в раба~с, Науеэ (51, в этой же работе была получена теорема 7,31, Более сильный вариант теоремы 7.29, справедливый также и для рацио- . нальных функций иад полем Е„, был получен в работе Сойеп 5. ЕЗ.: 151, Известной задачей в этой области является вопрос о том, остается ли следствие 7.32 справедливым, если условие НОД (и, д) =: — 1 замени~ь условием НОД (2, д! 1. Если величина и является степенью числа 2, то ответ, безусловно, положительный. Единственными другими случаями, для которых опубликовано решение этой задачи, являются случаи и — 6 ([з[сйзоп (21) и и -= 10 (Науез (51); обсуждение вопросов, связанных с этой задачей, можно найти в работе ЕЫ[ 171.
В работе ГНед (51 проведена классификация исключительных многочленов и рациональных функций над конечными полями. Вильямс (%111[агпз К. 5. (241) выразил число абсолютно непри- . водимых делителей многочлена [7' (х) — ) (у) !)(х — у) для достаточно большого а через число пар (а, Ь) ~ Ц, а Ф Ь, для ' которых 7'(а) =- 7" (Ь). Ои же в работе %111[апчз К. 5.
1251 для, случая, когда 7' является многочленом Диксона, получил разложение многочлена 17" (х) — 7 (у) [Ях — у) над алгебраическим замыканием поля [['ч, откуда, в частности, можно вывести условие, при котором многочлен Диксона является перестановочным многочленом поля [Е Дальнейшие замечания об исключительных . многочленах можйо найти в работе Оачепрог(, ЕеМз 121. Вильямс (1ч'111[агав К. 5, 151) назвал многочлен )' экстремальным много- членом индекса и, если [7' (х) — 7' (у) [Дх — у) не имеет абсолютно, неприводимых делителей, кроме и линейных делителей, и пока- . зал, что [' (7) == р/(я + 1) + О (1) для таких 7 е [[„(х! при . достаточно большом р.
Частичное обращение этого утверждения было доказано ранее в работе Магде[1 [161. Все эти результаты ' были улучшены и обобщены Коэнам (Сойеп 5, Г), (51), й 5. Тот факт, что каждое отображение из Гчв в Г можно представить многочленом от и переменных над полем Еч, ймеющнм Ксммснтарин по каждой из переменной степень, меньшую чем г), для случая простого д был доказан Вебером (ЮеЬег [5, зес. 771). Единственность такого представления (также для случая простого >)) была доказана Гурвнцом (Ниг»ч!1з [11). В общем случае как представимость, так и единственность такого представления (см. формулу (?.20) и лемму 7.40) были установлены Диксоном (О)скзоп [24 1), Результаты, связанные с теоремой единственности, содержатся в работе Ма[Ьег [11. Анализ взаимосвязи между отображениями и многочленамн можно также найти в работе Ло!у [51.
Удобные методы для вычисления полиномиального представления данного отображения можно найти в работе Вегпз[е!п, РеЬе!у [11, а также в более поздних работах Веп]ан!Ьг!1, Кеег[ [! 1, [2), Ргаг[Ьап 1! 1, Та[гаЬазЬ! 111, ТЬаузе [11, %п 1! 1. В статьях Чагппгп 111 и ЕеЬ[! 111 для этих же целей предложены матричные методы. Вычислительная сложность подобных интерполяционных процедур, а также сложность вычисления значений многочленов была исследована в работе Ягаззеп [11, !21; частный случай элементарных симметрических миогочленов изучался Михайлюком [11, 121. Выражения для характеристических функций подмножеств из К" приводятся в работах Сазаси 121, [3] (см. также КозепЬегд 131). В статье Р!зхаге!!о [11 приводится критерий того, что многочлен от нескольких переменных над полем Гч является нулевым многочленом над некоторым конечным расширением поля Г,.
Отображения, определенные на подмножествах мно>кества Г", исследовались в работах Вегпз1е!п 121, Вегпз[е!п, [>еЬе!у [11. Отображения из (Х?(т))" в 7/(т), а также их представления многочлеиами изучались в работах Вегпз(е!п [1 ), Вегпз[е[п, ОеЬе[у 111, Саг!![г [971, Кегпрпег (21, КозепЬегя [21, ![олиномиальные отображения подобного типа, являющиеся нулем по некоторому модулю, были исследованы в работах Кешрпег ]21, ЕацзсЬ, !чоЬацег 11, сЬ. 31, !3[к)пает [!1, ХоЬанег [31.
В статье Ь]оЬацег [5] показано, что все коммутативные кольца К с единицей, для которых любое отображение из К" в К может быть представлено многочленом из К [х!, являются конечными полями. Это обобщает результат из работы Кег[е[, Бзе!е 111, полученный для и =- 1 (см. также СессЬег!п! (11). Броули и Карлиц (Вга»х!еу, Саг! Из [2 1), пользуясь обобщением понятия многочлена, показали, что если К вЂ” ненулевое кольцо, а и =- 2, то любое отображение из И" в К можно представить одним нз таких «многочленов» от и переменных над кольцом К тогда и только тогда, когда Я является кольцом матриц над некоторым конечным полем. Возможность представления симметричных функций от счетного числа переменных многочленами над полем г'ч от счетного числа переменных изучалась в статье Ме1горо!ик Ь]!со[е111, Ко[а [! 1.
486 Гл. 7. Переетаггоночнме мггогочлеггы Перестановочные миогочлены от нескольких переменных н ;>ртогональные системы впервые в явном виде появились в работах Карлица (Саг!Из 1471, 1591). Изучение этих понятий было затем продолжено в статье !чгоЬацег [61. Ортогональные системы с и = 2 и простым д изучались Курбатовым и Старковым [11. Ортогональные системы с т --= л называются также аврсстановггчными аолинониальными векторами, так как оии иидуцируют перестановки элементов множества ~».
Теорема 7.36 принадлежит Карлицу (Саг!Йз 1591); доказательство, приводимое нами, следует работе %ег[егге!!ег 121. Теорема 7.37 также была получена Карлицам (Саг!г!з [471), а следствие 7.39 принадлежит Нидеррайтеру (Ь[гег[егге!!ег 121). Другие критерии того, что система ортогонал на, можно найти в упр.
7.47 или в работе Н!ег[егге!(ег 121; критерии для перестановочных многочленов содержатся в работе МцПеп 121. В случае конечных простых полей можно привести специальный критерий перестановочности многочленов (см. упр. 7.32 и работу Хгег[егге[!ег [3 1). Теорема 7,4! является улучшением одного результата,Лидла и Нидеррайтера ([.Ы[, гч[!ег[егге[- !ег 111), Первая часть теоремы 7.42 получена в работе КбЬаггег 161; вторая часть для случая т — — 1, и — 2 была доказана в работе [ Ы! [! 1, а для общего случая — в работе [.Ы[, Ь[[ег[егге[!ег 1! 1.
Последняя содержит также доказа~ельство теоремы 7.43. Теорема ?.44 доказана Нидеррайтером (%ес[еггег!ег (21); следствие 7.45 принадлежит Карлицу (Саг[!!з 1471), а в случае п =-2 и простого д оно было также получено Курбатовым и Старковым 111. Зги результаты позволяют перечислить все ортогональные системы, образованные многочлеггагги над полем Г„ имеющими по каждой из переменных степень, меиыпую чем д. Зто было сделано в статьях Саг!г!з [591, %ег[егге!!ег [21. В работе Гг!ее[ [41 теорема нз статьи МсС[цег [! 1 перенесена ги перестановочные полипомиальные векторы, причем показано, что мы получаем перестаиовочиый иолиномиальный вектор в случае, если система многочленов является в некотором смысле «исключительнойг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
