Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Для и = результат аналогичного типа упоминается в работе СЬотч!а 5! [71, а его элементарное доказательство можно найти в работ МсСапп, %И!!агпз 121. Несколько раньше Берча и Свиннертона, Дайера Утияма (ПсЬ!уата [21) доказал следующий более слаб ' результат: если и )~ 4 и многочлен [7' (х) — 7 (у) 17(х — у) являетс', абсолютно неприводимым, то (г (7) ) г[72 при условии, что харак' теристнка поля Гч достаточно велика.
Вильямс (%!Шап1з К. 5» [41) оценил число «общих» многочленов иад полем Гч фиксира' ванной степени и и получил точные формулы для малых и. Ре«, зультаты о среднем значении величины (г (/), когда 7' пробега все нормированные многочлены фиксированной степени п н полем [Гч, удовлетворяющие условию 1 (О) = О, можно найти в ра ботах Саг!Их [6!!, ()сЬ!уаша [31, [61; см. также Саг!Иг, ()сЬ!уагп Комментнрнн 477 %!П[ашь К. 5. [41.
Случай, когда фиксированы коэффицииты при более высоких степенях переменной в многочлене ) (х), исследовался в работах (]сЬ!Уата [51 и СоЬеп 5. Р. (8 [. Указанный выше результат Берча и Свиннертона-Дайера был распространен Коэном (СоЬеп 5. Р. [5]) иа случай рациональных функций. Если ~ Е Ге!х[ и г[ед (г) =- и )~ 1, то из того, что уравнение ((х) =- д Е Ге может иметь в Гч не более и решений, легко вытекает, что г'(1) '). [(д — 1)/и1+ 1. В статье СагП[х, ЕемПз, М|Пен 5[ганн [! [ показано, что если г'(!) =- [,(д — 1)/и,] + 1 )~ 3, а и строго меньше характеристики поля Ке, то д: — с 1 (гпог[ и), и ] имеет вид ! (х) == а (х — Ь)н + с, где а,,Ь, с Е Ке. Дальнейшие обобщения этого результата можно найти в работах МЬПз [! 1, Ь]огдеП [16[ и %ПИатн К.
5. [51. Число значений многочлена ( (х) Е 7р[х1, которые встречаются в множествах вида (1, 2, ..., Ь), ! ( й < р, изучалось в статье МсСапп, %ППатн [11 в случае, когда ) (х) — кубический многочлен, и в статье %ИПагпз К. 5. [51 в случае, когда многочлен [7" (х) — ) (р) 1/(х — у) ие имеет нелинейных абсолютно иеприводимых делителей. Коэн (СоЬеп 5, Р. 17]) оценил среднее число значений многочлена 1Е Еч [х], содеРжащихсЯ в тех или иных подмножествах поля Ге. Полученные им результаты усиливают и обобщают более ранний результат Вильямса (%ППагпз К.
5. 115!). В случае когда 7 Е ]['р [х) — кубический многочлен, который не является перестановочиым многочленом поля г р, Морделл в работе МогдеП [191 получил оценку для наименьшего неотрицательного вычета й по модулю р, не встречающегося в качестве значений многочлена 7", а Бомбьери и Дэвенпорт (ВотЬ!ег], Вауепрог! [1!) нашли аналогичную оценку для общего случая. В работе Т!е1ауа[пеп [5! указанная общая оценка улучшается: а именно показано, что Ь = С (и) рпн, где константа С (и) зависит только от и = бей (7). Для случая и = 4 результат Бомбьери и Дэвенпорта был также получен Хадсоном (Нидзоп М. [11) н Вильямсом (%ППатз К.
5. [21). Морделл в работе МогбеП [19[ также показал, что если ]' — многочлен положительной степени над простым полем г р, то минимальный неотрицательный вычет [ по модулю р, встречающийся среди множества значений многочлеиа ~, удовлетворяет неравенству 1 ( ирын!од р. Аналогичный Результат для случая произвольного поля ][' был получен в работе Сау|ог [4], а затем улучшен в статье Т[е1ауа[пеп [41. Другие Результаты, касающиеся распределения элементов, входящих в множество значений многочлена 7, можно найти в работах Магнг 1-.
Е. [11, МсСапп, %ППагпз [21, Т[н1йачй]пеп [71, %1П1- апзз К. 5, (6], [8[ и Перельмутер [81. Связь между двумя многочленами над полем К„, имеющими од|шаковую степень и совпадающие множества значений, исследовалась в работе %ППагпз К. 5, [101 для случая квадратичных 47В Гл. 7. Перестаиоиочиые ыногочлены многочленов и в работе МсСапп, %!!1!ашз 131 для случая кубических многочленов.
Связь между многочленами и рациональными функциями, для которых заданы соотношения между множествами нх значении, исследовалась в работах Сойеп 5. Р. !81, 191 и 1»г!ее[ 111, 151. Диксон в работе Р!с[езоп [231 положил начало изучению таких многочленов над полем Г» нечетной характеристики, для которых множество принимаемых ими значений состоит из одних квадратов, отличных от нуля, а Карлиц (Саг!![з [291) показал, что если такие многочлены 7 удовлетворяют условию бед (1) = и и д ) (и — 1)', то 1 =- д' для некоторого д Е Г [х!.
Дальнейшие исследования в этом направлении, а также некоторые приложения можно найти в работах Саг[!1х 177), [891, меде! 121, В!гсЬ, 1.ешВ [21. Результат, аналогичный результату работы Саг!![з [29) и касающийся многочленов над полем К», значения которых являются отличными от нуля е[-ми степенями при д= :1 (той ~[), был получен в работе Саг[Вг 138). В работе К[- ЬепЬо!гп 111 изучались аналогичные многочлены над полями алгебраических функций с элементами конечного поля в качестве констант. Реден в книге меде[ [11, сЬ. 11 описал многочлены над полем [[» со значениями из некоторого подполя поля В статье Тапйег 121 рассматривались такие многочлены над простым полем нечетной характеристики, что Г (с) = ее[ для всех сбП.
$2, Теорему 7.8 можно найти, например, в монографии Диксона Р[с[езоп [7, раг) 1, сЬ. 51. Цикловая структура отображений, задаваемых одночленами, изучалась в работе АЬшад 111. Теорема 7.9 встречается в работе Ма)Ь!ец [11. Другие критерии для того, чтобы линеаризовапные многочлены являлись перестановочными многочленами, приводятся в В 3 настоящей главы и в упр. 7.13 (см. также работу СагИ1х [931). В статье Рауне [11 ставится задача определить все такие 2-многочлены Е (х) над полем К» характеристики 2, что как (.
(х), так и 7. (х)/х являются перестайовочнымн многочленамн поля )!». Теорема 7.10 доказана Роджерсом (Кодегз 1.. 3. [11) для случая конечного простого поля и Диксоном (Р[с[езоп [21) для случая произвольного конечного поля г». Другие результаты о перестановочных многочленах указанного типа и родственных им многочленах можно найти в работах АЬшаг[ 121, Р!с)езоп [7, раг1 1, сЬ. 51, Р!1[шоге 111, [чоЬацег [81, Фе[!з [11, [31. Таблица нормализованных перестановочных многочленов над К» степени не выше 5 взята из книги Р!с[езоп [7, раг1 1, сЬ.
51. Классификация таких перестановочных многочленов, а также нормализованных перестановочных много- членов степени 6 для поля ['» нечетной характеристики проводится в работе Р!с[гнпп [21. Для случая простого числа д эти результаты были получены еще в работе Р!сйзоп [11. Другой подход к анализу случая, указанного в 12-й строке табл. 7.1, для простых д Комментарии приводится в статье СЬохч]а 5. [231. Классификация некоторых типов перестановочных многочленов степеней 7 и 8 проведена соответственно в работах Р!синоп [21 н Сачьог ! ! 1. Иерестановочные многочлены поля Г для д = 5 приведены в работе Ве111 111, для д =- 7 — в работах Йегш1[е[2 1, ВгюзсЫ [! 1, 13 1, Коиегз 1 .
д. [!1, Р!синоп 121, а для других малых значений д — в работах Вг1озсЫ [!1 и Р!синоп [11, [7, раг1 1, сЬ. 5). Теорема 7.11 получена в работе %ег[еггеПег, КоЬ!пзоп [21. Доказательство достаточности в этой теореме с условием и (ае— — 1) =. 1, замененным его эквивалентной формой из замечания 7,12, было получено ранее в работе Саг! Пх [831. Простая форма этого условия приводится в упр.
7.9. Исследования перестановочных многочленов поля Го вида х"'+' + ах, где т — делитель числа д — 1, а также некоторых других аналогичных многочленов можно найти в работах СагНх 1831, [931, Саг!Пх, ЖеПз [!1, [.ацзсЬ, Ь)бЬаиег [1, сЬ. 41, %ес1еггеПег, КоЬ[паоп [21, см. также упр. 7.11. Теоремы 7.13 и 7,14 получены Карлнцом (СагП1х [931). В статьях ВгьозсЫ [!1 и Огапг[! [2] изучались перестановочные многочлены поля Гр вида ха — ' — ' + ахш — ' — епг'.
Вопрос о том, когда многочлен вида ка — '+ ах~а — мьпм + Ьх может быть перестановочным многочленом простого поля Рр, исследовался в статьях Вг!озсЫ [21 и Огапг[! [11. Другие частнйе случаи многочленов изучалнсь в работах СагП1х [881 и Огапг[! [21. Многочлены Диксона были введены в работе Р!с)гзоп [2), см. также монографию Р!с[гвин [7, раг1 1, сЬ. 51. Теорема 7.16 получена в работе )х)оЬацег [10). Ослабленный вариант этого кри. терия установил ранее Диксон (Р!сйаоп [2]).
Другое доказатель ство достаточности приводится в статье %П! !ашз К. 5. [25) Следствие 7.17 было отмечено Човлой в работе СЬохч!а Р. [2) Информацию о суммах Бренера можно найти в примечаниях к $5 гл. 5 настоящей книги. Многочлены Диксона можно вычислять с помощью простой рекуррентной процедуры (см. упр. 7.15). Дальнейшие результаты, связанные с многочленами Диксона, содержатся в работах Р!синоп [21, [7, раг1 1, сЬ, 51, 1ацзсЬ, Ь[6Ьацег [1, сЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
