Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 107

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 107)

Формулы для выражения перестановок элементов мно.кества Ц через перестаиовочные полиномиальиые векторы приводятся в статье [.Ы! [21. Перестановочные многочлены и перестаповочные полиномиальные векторы над кольцами '7(т) изучалнсь в работах [.Ы! 131, гч(бЬацег [31, 161; случай колец более обще~о вида рассматривался в книге [.ацзсЬ, [4о»Ьаггег [1, сЬ. 41. Аналогичные вопросы для рациональных функций от нескольких переменных рассматривались в работе 1.!с!! 13!.

Многочлепьг Диксона (или многочлены Чебышева) от нескольких переменных были введены в работе [.Ы[, Ъ(е!!з 111; там же была доказана теорема 7.46. Явные формулы, а также производящие функции и рекуррентные формулы для миогочлеиов Дик- Комментарии 4В7 гона от нескольких переменных можно найти в работах Гиег, 1 пИ [11, 1.нИ [81, 1.Ы1, ЖеИз (11.

Ортогональные системы оа (а) из теоремы 7А6 замкнуты относительно операции композиции тогда и только тогда, когда а =- О, а = 1 или а = — !. Этот результат доказан Лидлом и Уэллсом (1 Ы[, 'ттеИз [1]) и обобщает теорему 7,22. Теоретико-групповые исследования, аналогичные теореме 7.23, содержатся в статьях 1.Ы! [41, [61, 1 Ы[, МйИег [1), Ма!йетса И. 111. Для случая л =- 2 системы ди (а), для которых якобиан отличен от нуля во всех точках пространства Ц, были охарактеризованы в работе 1.кИ [51; Мэттьюз (Ма1йевз К. 12!) проделал то же самое для случая произвольного л. Предположение Лидла и Уэллса (1 Ы1, ИеИз 111), в со~тветствии с которым многочлены Диксона от нескольких переменных играют ту же роль, которую играют многочлены Диксона от одной переменной в гипотезе Шура (ЬсЬцг (41) (см. приме~ания к 3 2), было опровергнуто в статье Гг!еб [41.

Системы мно,очленов Диксона от нескольких переменных изучались также ,. работе Ма11йетоз [[. 121. Теорема 7.47 получена Ниддеррайтером (%едегге![ег 111), И случае нечетного г) этот же результат был независимо получен 1идлом (Г.Ы! (! 1). Аналогичный критерий, сформулированный и терминах рангов матрицы квадратичной формы и расширенной матрицы, можно найти в работе %едеггейег [31. Муллен (Мц!- !еп [71, !81, 110!) изучал локальные лерестланоеочные мноеочлены над полем Гч от л ~ 2 переменных, удовлетворяющие следующему условию: если зафиксировать любые значения из Гч для любых и — 1 переменных, то получающийся при этом многочлен от одпой переменной является перестановочным многочленом поля Гч. Системы образующих для групп перестановочпых полиномиальных векторов относительно операции композиции были получены в работах 1.Ы! !21 и 1!41, %едегге!1ег 11!. Мэттьюз (Ма1йелчз Й.

13 1) изучал группу перестановочных полиномиальных векторов над полем Г,, с коэффициентами из Гч. Г!риложение ортогопальных систем над полем г'и к изучению силовских р-подгрупп симметрических групп 5„„пояивляется у Калужнина 111. Гудстейп (Соойз1е!п 111) показал, как с помощью операции композиции получить все многочлены от нескольких переменных над полем Гч. Теория соответствий и допустимых многочленов, приводимая н упр. 7.26 — 7.31, была развита Карлицом в работах Саг!Иг !1!51, [1171, 1!211. Понятие смежного класса для системы много- членов (см, упр, 7.49) появляется в работе %ебегге![ег [21.

Классы эквивалентности для многочленов и систем многочленов из Го 1х„..., х„[, рассматриваемых по модулю идеала (х( — х,, , х,', — хн), изучались Карлицом в работах Саг[йг !47, [591, [110! (гм. также СатЛог (61, Мцйеп (11, 121, [31, 191), Аналогичные Гл.

7. Перестановочные многочлены понятия для матриц над конечными полями рассматривались в работах Вгйчг)еу, МпПеп 1) 1, СЬао [) 1, Мп)!еп 141, [61, [П), [ !21. Множества значений, принимаемых многочленами от нескольких переменных, стали предметом специального исследования. Кантор (Кап!ог 1)1) получил формулу для числа значений, принимаемых произвольной квадратичной формой над полем Кр, где р — нечетное простое число. В статье з)(7)!!)а!т(з К. 8. 131 получено достаточное условие для того, чтобы множество значении многочлена над полем )['ч совпадало с Гч.

Асимптотические результаты о распределении значений многочленов над конечными простыми полями были получены в работах Т)е!ауай!еп 1!01, 'тэ())1)агпз К. 5. 171, Частный случай элементарных симметрических многочленов был подробно изучен в работах АЬегЬЬ [)1, А)(Ь!аг 111, г)пе 1!1. Другие результаты, связанные с элементарными симметрическими многочленами, можно найти в работе В)гс!з [11. Нижние границы для числа значений, принимаемых диагональными формами, были получены в работах СЬоусйг, Мапп, 6!гацз [ ! 1 (см. также Мапп [3, сЬ. 21) н Р)с)егг)сЬ, Мапо 111 Диксон (Р)с)своп !23), 1281) изучал однородные многочлены, множества значений которых содержат только квадраты или только кубы.

Некоторые частные результаты о множествах значений, принимаемых системами многочленов, можно найти в работах Вес)е! 1! 1, йе()е), %е)пег! 111 и Перельмутер 171. Вопросы, связанные с множествами значений, принимаемых многочленами, имеют также непосредственную связь с вопросамп решения уравпений в конечных полях (см, гл. 6). [По тематике гл. 7 имеются также работы !)66(п!ег 1! е 1, 12т 1.— Перев. ) Упражнения 7.!. Пусть Ь е ге — фиксированный элемент поля. Положим а †! )ь(х) ! — ~; Ь ~ — -о Показать, что гь(а) .—..

О, если а е 7'ч, а еа Ь и ) (Ь) — ! ПольэУЯсь фоРмУлой 74 — ! Х (7.!), показать, что ( . / ж ( 1)' (п~ов р), где О (1 (4 . ), а р — харак- 1 теристика поля г „. (Залмчаниг Принеденное ныюе сравнение дан Внномнальных коэффипиентов можно также вывести иэ равенства (х !) (хе . !),'(х — 1).) 7лн доказать, что если 4 — простое число, то в условна (!!) теоремы 7.4 достаточно.

рассматривать целые 1, заключенные в пределах ! н., ! .. (а — !)'2. Привести пример, поназываюьций, что в стучае, если 4 . р', г л 1, это не так. 7.3. Пусть Ч .—. йж -)- 1, й, и й 24 Показатан что многочлен х'н ' является перестановочным многочленом по!я Кч го~да и только тогда, когда НОВ (т '; (-1,Ф)= ! Упрюкнения ! 7.4. Доназать, что многочлен вида ха — аха над конечным полем Ь'ц характеристики р является перестановочным многочленом поля К» тогда и только тогда, когда элемент а не является (и! — р )-й степенью никакого элемента из [г *, 7.5.

Пусть и — характеристика полн Гц, г Е 44, и' — положительный дели!ах ПМ тель числа р' — ! и а Е К». Показать, что многочлен вида х(х~ — а)(л является перестановочиым многочленом поля 5'» тогда и только тогда, ногда элемент и не является и'-й степенью никакого элемента из 5". 7.6. Пусть а Е 5'ц, » нечетно, г 5 И и НОД (г, » — Ц = !. Доказать, что многочлен вида «'(х'» ~~~ — а) является перестановочным многочленом поля г'ц ~осла и тольно тогда, когда а чь ~!. 7.7. Найти все перестановочные многочлены поля Кт вида х'(х — а), где г Е И, а Е г э.

7.5. Показать, что многочлен 5х'+ 5их'+ аэх является перестановочным чногочленом поля Ь ц, если» и ~2 (шод 5), а а — произвольный элемент поля Ь' . 7.9. Поназать, что многочлен х!»э ! + ах Е Ь'ц [х[ является перестановочным многочленом поля Г нечетной характеристики тогда н только тогда, когда а - 2 '(с+ с '), где с — некоторый элемент из К', сз чь !. 7.10. Найти наименьшее число М, такое, что для любого конечного поля К», гле » нечетио и » ) М, найдется такой элемент а е К", что многочлен вида хы ' "з + ах является перестановочным многочленом поля 'й'». ы !мз 7.11. Пусть т > ! — делитель числ໠— !. Доказать, что Хгц+~ч — !)/м+ охсй' [х[ являетсн перестановочным многочленом поля Г» тогда н только тогда, когда ! — а!м~! и На у г )(а !-г ) '[!» '!да ~с'' ' для всех 0(1([<ш, ~ т г -фиксированный первообразный корень т-й степени из единицы в поле Кц 7.12.

Пусть ц = р', где р — нечетное простое число, а ш.= (» — !)/2. Доказать, что НОД( ( [, р — ! тогда и только тогда, когда Г = Ьэ+ Ь,р+ (.(,1,[ ..+ Ь,,р' ', гдей(Ь|((р — !) 2, аб(!<с — !. 7.13. Пусть л — 1 [(х) = ~' с,.хц ЕГ [х). 1=О Показать, что [(х) является перестановочным многочленом поля Г ч тогда и ~олька тогда, когда !п — ! НОД ~ Ч~~~~ с х', хч — ! ~ г — а 7.14. Доказать, что если характеристика поля отлична от 2, то многочлеи . Диксона»ь (х, а) можно формально представить в виде х -[- р'хз — 4а !" ! х — р'хз — 4а ) ла (х, и) = 2 ) + [ в ')х ( з х 49О Гл.

7, Перестаиовочиые многочлеиы 7.15. Показать что миогочлены Диксона удовлетворяют следующим равен- ' ствам: у, (х, и) = х, дз (х, а) =- хз — 2а, уз , (х, а) = ху, (х, а) — ауа (х, а) для й > 2. 7.19. Показать, что миогочлеиы Диксона удовлетворяют соотношеиию ', ля (ах, и ) — и уа (х, 1). 7.17. Пользуясь обозначениями теоремы 5.4Б, показать, что суммы Кло- ~ стермана удовлетворяют рзвеиству К(21'!, 'а, Ь) =- — д»( — К, д), где д, (х, д) — миогочлены Диксоиа иад полем действительных чисел.

7.18. Доказать, что зианоперемеиная группа А» порождается своими под-, группами А(.» и О» (см. 4 3 настоящей главы). 7.19. Пусть р — нечетное простое число. Доказать, что зиакоперемеииая. группа А, порождается перестановками, соответствующими многочлеиам х+ 1,' и тхг, где т — любой ненулевой элемент поля Гр, являющийся квадратом„' если р:= 3(шоб 4)„и любой элемент поля Гш ие являющийся квадратом, если'.

р = ! (ноа 4) В противном случае эти перестановки порождают всю симметрическую группу Вр. ( 7.20. Показать, что если д > 2, то любую траиспозицию элементов поля Г в у можно едииствениым образом представить с помощью миогочлеиа степени д — 2.' 7.21. Доказать следующие утверждения: (!) если» =- 2(шоб 3), » > 2,' то любой 3-цикл иа !Г» можно едииствеииым образом представить с помощью! миогочлеиа степени» вЂ” 2; (В) если д .= 1 (шоб 3), то все 3-циклы иа !Г» (кроме, 2»(» — 1)!3 штук) можно представить с помощью миогочленов степеий д — 2~; 7.22. Для конечиого поли Г», д > 2, определим хвизипгргстиноаочный много член поля !Г» как миогочлен, являющийся композицией конечного числа много; членов иад 2'», которые или являются линейными многочленами, или равняются' х» з.

Доказать, что нвазиперестаиовочиый миогочлен изд полем Г, являетси перестановочиым многочленом расширеиия Г тогда и только тогда, когдаэ »г НОД(2г — 1, » — 2) = !. 7.23. Пусть 7 -- квазиперестаиовочный миогочлен поля Г», » > 4. Доказать,, что существует бесконечно много расширений Г г поля Г», дли которых 7 яв-, ляется перестаиовочиым миогочленом, и бескоиечно много расширений того жет поля, для которых 7 не является перестаиовочяым миогочлеиом.

Характеристики

Список файлов книги