Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 108
Текст из файла (страница 108)
7.24. Показать, что квазиперестановочиый миогочлеи поля !Г», приведен. ' иый по модулю х» — х, не обязательно является квазиперестаиовочиым. Кроме, того, показать, что различные квазиперестаиовочиые многочлены после при-) ведения по модул!о х» — х могут совпадать. 7.25.
Доказать, что группа С (!) является гомоморфным образом группы ) С ( — 1), где группы С (а) определены в теореме 7.23. 7.26. Под соответствием Г в поле Г» мы понимаем пару разбиений А»,', А,, ..., Ад и В», В,, ..., Ва поля Г», где А1! ~ йг, В; ~ 21, ! ( ! ( ь.
Целое,' число Ф иааывается рангом соотггтгтви» Г. Миогочлеи Л Е !Г» (х, у) называется г)оаусгиимым для Г, если И (и, Ь) =. О при (а, Ь) р А! к В! для некоторого 1, 1 ~( 1 ~( Ь, и Ь (и, Ь) ~ О в остальных случаях. Доказать, что допустимый много-, член для Г вида 6 (х, у) =- 1(х) — у(у) существует тогда и только тогда, когда ' х Ф д — 1 или Ь вЂ” — » — 1 и при этом или А, = О, или В, = И. Доказать, что, ' ЕСЛИ Ь вЂ”.— » — 1, А, ~,В', Вр ~ 21, та ДОПУСтИМЫй МИОГОЧЛЕН ДЛЯ Г ИМЕЕТ ВИД» й(х, у):=(1 — 1(х)» !)(! — 2(у)» !)+(7(х) — д(у))» где 1" и д — некоторые миогочлены над полем !Г .
Упражнения 7,27. Многочлен И Е Рч [х, у) называется доиусглилихм, если он является опустимым для некоторого соответствии в воле 2'„л Два допустимых многочлена называются эквивалентными, если онн являются допустимыми для одного и того же соответствия. Доказать следующие утверждения; (1) два допустимых многоч.тена И, (х, у) и Иа (х, у) являются эквивалентными тогда и только тогда, когда Их (х, у)» ' : Ьх (х, у)» 1 (шод(х» — х, у» — у)); (0) число классов 'эквивалентности допустимых многочленов равно числу оответствий.
7,28. Доказать, что если многочлеиы И,(х, У) н Их(х, У) Явлаютса допУсти- мими для некоторого соответствия Г, то И (х, у) = И, (х, у) Ьа (х, у) тоже является допустимым многочленом для этого соответствия. 7.20. Доказать, что если маогочлеи И (х, у) = д (х — у) является допустимым ьтя некоторого соответствия Г в поле Г» н число различных корней многочлена у в поле К» равняется целому числу т ) 0 то т делит», а ранг соответствия Г равняется »'т.
7.30. Пусть [(х) н у (у) — много ~лены плл полем К, Док;мать, что много. член И (х. у) =.. [(х) у (у) является донустимым ыногочлейом в каждом ноле К »гг г — 1, 2, . тогда и юлька тогда, когда хотя бы один из многочленов [ или у является постоянным. 7 31 Пусть [г (х). [х (х), д, (у). ул (у) — миогочлены над полем Г». Доказать, шо многочлен Ь (х, у) = [, (х) уг (у) + [х (х) уе (у) яалиется допустимым в поле Г, г .. 1, 2, ..., тогда и только тогда, когда НОД ([г, [х) = НОД (уы уз) = 1 »' 7.32.
Пусть [ Е т [х,,, хн ), а р — простое число. Назовем [ иерегглино- югньгм многочленом но модулю р. если он, рассматриваемый как многочлен над полем Рп, является перестановочным многочленом над полем Гр. Доказать, что [ является перестановочным многочленом по модулю р тогда и юлька югда, когда каждое из сравнений [(х,,, хн) ж а (пюд р), и = О, 1,, р — 1, инее~ хо~я бы одно решение и а--1 н — э )'(иг,..., ан) а ж 0(пюд рн=') а...,,а =0 и .шя все; г . = 1.
2, ..., р — 1. 7.33. доказать, что многочлен ихн + И Е Х [х), и Ф О, является пере- станоаочным миогочленом по модулю р для бесконечного множества простых 'шсел р тогда и только тогда, когда л нечетно. 7.34. Пусть уь (х, а) — многочлен Динсона иад кольцом х, причем а ть 0 (1оказать, что уа (х, а) является перестановочным мвогочленом по модулю р .гля бесконечного множества простьж чисел р ~огда и только тогда, когда 1(ОД (Ь, 6) . 1 7.33.
Доказать, что многочлен [ Е а [х) являетси перестановочиым много- членом по модулю р для всех простых чисел р тогда и только ~огда, когда [— линейный многочлен со старшим коэффициентом, равным А1. 7 36. ПУсть 1 ( т < а. Доказать, 'что многочпен [ Е К» [хы ", хал) Яв ткется перестаиовочным многочленом над полем Г тогда и только тогда, когда рассматриваемый как элемент кольна )Г» [хл, ..., х„), также является пере- становочным многочленом над тем же полем. 7 37. Доказать первую часть теоремы 7.42, используя теорию характеров.
Пусть [ Е г» [хл, ..., хж] — перестановочный многочлен иад полем » " пусть к 6 ]Г» [хм+,, ..., х„), где 1 л т ( а. Показать, что многочлеи И(х,,..., х„) .=7(х„..., хт) у(хты,.... х„) Гл. 7, Перестановочные многочлены 492 является перестановочиым миогочленом над полем Гч тогда и только тогда, когда ' )Равнение 3(х„,ч,, ..., х„) .—.. 0 не имеет Решений в К" 7.39. Доказать, что многочлен ь, а!х,г+ +а„х„"Е Г [х,,..., х„] является перестановочным многочлеиом над подем Кш если для некоторого:.
О ! ( ! ( и, выполняются соотношения а; еь 0 н нОД (ьн 4 — !) =.. !. 7.40. Показать, что если [ Е $'„[х,,, ха] является перестановочным' миогочленом над полем Кш то перестановочными многочленами над этим полем. являются и все многочленй видя ьг-!- с, где ь Е [Г', с с [Г,. ! 7.4!. Показать, что если !' е Кч [х,, ..., х„] является перестаповочным ' МНОГОЧЛЕНОМ НаД ПОЛЕМ Кч, тО ДЛЯ ВСЕХ И С Й, УДОВЛЕтВОРЯЮЩНХ УСЛОВИЮ.," НОД (И, 4 — !) .= (, миогочлеиы [ь также являются перестановочиыми много-ь! членами над полем [Гч.
7.42. Пользуясь обозначениями, введенными после теоремы ?.47, доказать,"~ что миогочлен [ е Гч [х,, , х„] является перестановочным многочлеиом ияд: полем [Гч тогда и только тогда, когда гй (А') > га (А) 7.43. Пусть Г,д е [Гч [х,, ..., хн,], и пусть число решений уравнения:; [ (х,, ха,) — О в [Г~~ ' не делится на д. Пусть многочлен И р [Гч [х,, ..., хн]ьз таков, что И(с,,, са,, ха) при любом выборе элементов с,, ..., га, е[Г», является перестановочным миогочлеиом от одной переменной х„поля [Гч. Пп! казать, что тогда многочлен э(хг ° ° «и)=И(хг,..., хя)7(хг,..., хн г)+К(хы..., «и г) не является перестаиовочным миогочленом над полем Гч.
7.44. Пусть [ е Гч [х,, ..., хн г] и при этом число решений уравнения', 7 (х!, ..., х„!) —.. О в К" ! делится на д, а многочлен И такой же, как в упр. 7.43;; Показать, что существует многочлен д е Гч [х,, ..., х„,], такой, что з(х,, ..., хн) = — И(х„..., хн) ](х,, ., х„,) -!- л(х,,, х,) является перестановочиым многочлеиом над полем [Гч 7.45.
Показать, что миогочлеи Диксона д]э' (х, р, а) задается формулой ! э!2з' (й/33' !=го г=в з)+з(ша 7.46. Доказать обобщение теоремы 1.23 для многочленов Диксона от двуХ. переменных. 1.47. Доказать, что система многочленов ] „ ., Дч е [Г» [х,, ..., х„[, < т < л, является ортогональной над пачем г тогда н только тогда, когда', для всех перестановочиых многочленов я (у,, , у ) от т переменных над по-" лем [Гч многочлен 2([г(х,,..., х„)...
)„,(хг,..., хн)) является перестэновочным многочленом от п переменных над полем Г . 7.43. Доказать, что для любой системы многочленов гг,, ]пег с 2'ч [хт, , х„] найдутся ганне элементы Ь,, ..., Ья ы р Кч, не все равные О, что ЬД + ."' ... + Ья+,)я„, не является перестановочным миогочленом над полем Гч. Упражнения 493 уА9. Смежным классом огпносителоно аитемы многочленое Гы ..., )ж Е й Кч )хы ..., х„), ! ( и ~ и, называется непустое подмножество пространства Ц, элементы которого отображаются данной системой многочленов в единствен- ный элемент пространства Гр .
Пусть ()ы ..., ),„) является ортогональной систе- мой над полем Гч. Доказать, что для многочлена и ч Гч (х,, ..., х„) следующие два условия эквивалентны; (() многочлен йг является перестановочным миогочле- ном над полем ()'ч, причем асе смежные классы относительно системы (),, ..., ( совпадают со смежными классами относительно многочлена йд ((() а —.. И (/, ..., )о) (той(хе, — х, ..., хч — х„)) длЯ нскотоРого пеРестановочногомногочлена й от е переменных над полем г'е, ! лава 8 Линейные рекуррентные последовательности Большую важность ввиду нх многочисленных применений,' имеют последовательности над конечными полями, каждый член:, которых, будучи элементом основного поля, некоторым простым.
образом зависит от предшествующих ему членов. Такие последо-' вательности легко получать с помощью рекурсивных процедур э что, безусловно, является преимуществом с точки зрения удобства, вычислений. Кроме того, такие последовательности, как правило,':., обладают полезными структурными свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
