Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 103
Текст из файла (страница 103)
51, где аи, Ь; с 1'ч, ! ~< 1, !' ~< и, а матрица (агэ) невырожденна. Назовем два мйогочлена от и переменных над полем Кч эквива.,генгпными, если один из них может быть преобразован в другой с помощью преобразований переменных вида (7.26). 7.47.
Теорема. Пусть )' е Кч !х,, ..., х„1, причем дед (7) ( 2 и и )~ 2. Если д нечетно, то ) является перестановочным многоч,геном над полем !!'ч тогда и только тогда, когда он эквивалентен многочлену вида д (х„..., х„г) + х„для некоторого дг е е ''го 1х„..., х„,1. Если же а четно, то ) является перестановочггым многочленом над полем 1!'ч тогда и только тогда, когда он эквивалентен или многочлену вида а(х,, ..., х,,) + х„, или многочлену вида а (хг, ..., х„г) + хгп где а (хг, ..., хн ~) — не- 2 который многочлен из 'гч!х„..., х„г1.
Пусть г! Нечетко, ! е гг!хг, ..., Хо! и дея (гг) .( 2, и пусть А — матрица коэффициентов квадратичной формы, соответствующей многочлену ! (см. э" 2 гл. 6). Пусть А' — расширенная матрица, образованная матрицей А и еще одним столбцом, содержащим коэффициенты линейных членов. Тогда из теоремы 7.47 легко следует, что ) является перестановочным многочленом над полем Рч в том и только том случае, если гд (А') ' » гй (А). Гл. 7.
Переетаноночные многонлены Нсторня развития этой области до 1922 г. освещена в книге.' 0[синоп [42, сЬ. 18 !. Результаты современных исследований по) ~ерестановочным многочленам представлены в книге ЕацнсЬ, г(оЬапег [1, сЬ, 41. Тот факт, что любую функцию из Ке в Гн можно представить с помощью многочлена пад полем Ке, был впервые отмечен Зрмитоме ~'Негш[(е [21) для простого д (см. также %еЬег 14, зес. 1801„ Ыдгпопс[у [31) и Диксоном (0[с[сноп [2!) для произвольного д.'! В той жс работе Диксон показал, что условие 'г[еа (а) < а позюляет однозначно определить многочлен а, представляющий дан-', ную функцию.
Различные методы получения многочлена д в яв-; ном виде обсуждались в работах Вегпз1е!п 121, О[!1, ЗасоЬ 1! 1, ' 3гейе!у, Мцге~ап [!1, %еззе1[еагарег 111, В работах Хыдгпопе[у ", 131, Р[с1езоп 121 и Саг1 Нг [881 было отмечено, что перестановочиые ,' многочлены поля Ре можно получать, применяя интерполяцион-, ную формулу к функциям, осуществляющим перестановки эле-; ментов множества Ке.
Полиномиальные представления для функций из Кр в себя, принимающих лишь значения О и 1, рассматри- ',,' вались в статьях Саг!1(г 11231 и Сагаев 111. Весселькампер' (%еззе[[еашрег 121, [3!) изучал аналогичные представления для ' функций, определенных на подмножествах поля Ке. Конечные поля являются полиномиально полными в смысле;, ледующего определения: кольцо )с называется полиномиально" лолным, если любая функция из )г в себя может быть представлена',, многочленом над )с. Кемпнер (Кегпрпег [11) показал, что среди';, колец вычетов 3) (т) полнномиально полнымн являются только конечные простые поля (см, также Вегпз1е[п 12 1).
В работе Кег[е1, ' Вге[е [11 доказан более общий результат, а именно что среди не-" нулевых коммутативных колец полиномиально полными являются!.' только конечные поля, а Хайслер (Ненйег [! 1) доказал тот же ° результат, но без требования коммутативности. Общее обсуждение: полиномиально полных алгебраических структур можно найти,' в книге Еацзс!Ь Ь[оЬацег [1, сЬ. 1!. Пользуясь более общим по-,г нятием многочлена над кольцом )е, Броули и Карлиц (Вгатн!еу, Саг! Вг [21) показали, что каждую функцию из Я в себя можно' представить таким многочленом тогда и только тогда, когда )с; является тривиальным кольцом порядка 1 либо 2 (т.
е. когда', аб — — О для а, Ь Е )г) или когда Й является кольцом ахи-мат-' Риц над конечным полем ге длЯ некотоРого а Е [Р[. Полиномиальные функции над кольцами последнего тина изучались также в статье Вгаъ[еу 15 [. Некоторое внимание уделялось изучению функций, отобража-,, ющих кольцо )с = 7!(т) в себя. Если т — составное число, то, согласно отмеченному выше результату Кемпнера (Кегпрпег [! 1), не всякую такую функцию можно представить многочленом над: кольцом Р„.
Критерии для существования такого представлеиняс! Комментарии получены в работах Кегпрпег 111, цег[е[, 5хе!е [!1, [21, Саг!!!х [971 Множество Р всех функций из кольца )г в себя, которые могут быть представлены многочленами над )г, само является „ольцом относительно обычных операций сложения и умножения функций. Простое применение теоремы о гомоморфнзме колец показывает, что кольцо Р изоморфно факторкольцу )7 [х[/7, где !„, =- !) Е Р,„[х[[1(а) = О для всех а Е Я ). Многочлены, ;одержащиеся в идеале 7, называются вычетными многочленами ;„, модулю т.
Различные свойства этих многочлеиов изучались з работах А!хепЬеги, 5егп!оп, С11[г!п [11, Кегпрпег [11, [.!!х!пйсг 111, %чеп, %аггеп [11, Кег[е[, 5ге!е [!1, 5!пишаз!ег [11. дальнейшие результаты, касающиеся полиномиальных функций пад Р, можно найти в работах КеПег, 01зоп 111, !чбЬацег [11, !1е~!ей 5хе!е [21. Свойства вычетных многочленов над произвольными кольцами рассматривались в книге 1.ацзсЬ, Ь[оЪацег [1, Нь 31. Одно из утверждений леммы 7.3, а именно что из условия (!) следует условие (!!), уже содержалось в лемме 6.3. Обратное утвсрждение, даже в более сильной форме, можно найти в работе Саг!Вг, 1.и!х [! !. Критерий, сформулированный в теореме 7.4, лля конечных простых полей был получен в по существу эквивалентной форме в работе Эрмита Неггп!!е [21; для случая произвольных полей он был получен Диксоном в работе %с[своп [21.
В работе Кодегз 1 . 3. [21 отмечено, что в случае простого числа д условие (В) необходимо проверять лишь для 1 4 ! < (д — 1)/2, однако при составном д это не так (см. [3!с[гзоп [7, зес. 96!). Критерий Эрмита в явной форме, выраженный через коэффициенты многочлена 7, для простых полей Гр приводится в работе [.опбоп, 31ед!ег [11. Следствие 7.5 было получено Диксоном для простого числа д в работе О!с[своп [11, а для общего случая — в работе [3!с!гзоп [21.
Доказательство достаточности в теореме 7.6 можно найти в статье Саг!!!г, 1.ц!х [11. Другие критерии того, чтобы мпогочлен был перестановочным многочленом, содержатся в рабчпах де Ро!!диас [11, [гацззп
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
