Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Тогда многочлен Ф (х, у) имеет абсолютно неприводимый делитель д (х, у) Е Е ' 1х, у), Если а (х, у) == с (у — х), с Е ег», то для некоторого )г (х, у) с р»[х, у1 выполняется равенство !'(у) — ) (х) = (у — х)е Ь (х, у). Тогда )' (у) = 2 (у — х) )г (х, у) + (у — х)' (дй (х, у)>'ду), и, таким образом, 1' (х) =- О, а это противоречит тому, что НОД (и, г!) =- 1. Следовательно, многочлен а (х, у) отличен от с (у — х).
«'-ели г( = дед (д), то г),ь !г„. яе, а тогда из леммы 7.28 вытекает, что д (а, Ь) =- О для некоторой пары (а, Ь) Е Ц, а -и Ь. Отсюда почучаем. что Ф (а,Ь) —. О и тем самым приходим к противоречию. «1 Гл. 7. Переетаноьочные многочлены 460 Если НОД (и, д) ) 1, т. е. если характеристика р поля Гч делит и, то утверждение теоремы 7.29 не всегда остается справедливым.
Так, например, хе является перестановочным многочленом поля г"ч, однако равенство (хо — ун)!(х — у) = (х — у)о — ' показывает, что хн не является исключительным многочленом над полем К,. Если объединить теоремы 7.27 и 7,29, то можно получить следующее описание перестановочных многочленов в случае конечных полей с достаточно большой характеристикой. 7.30.Следствие. Для любого целого и ) 2 найдется константа К„, такая, что для любого конечного поля Гч характеристики р ) К„выполняется следующее утверждение; многочлен !' (х) Р [х[ степени и является перестановочным многочленом поля Кч тогда и только тогда, когда он является исключительным многочленом над полем Г,. Следующий результат, который в конечном счете тоже вытекает из теоремы Ленга — Вейля, помогает выяснить, в каком случае для данного конечного поля не существует перестановочных многочленов данной степени и.
7.31. Теорема. Суи!ествует последовательность целых положительных чисел !е„йе ..., обладающих следующим свойством: каково бы ни было натуральное число п, если го — конечное поле порядка д ) й„, НОД (и, д) = ! и Гч содержит корень и-й степени из единицы ь:чь 1, то не существует перестановочных много- членов поля гч, имеющих степень и. Доказательство. Пусть !' Е Гч [х [ — произвольный много- член степени и; положим Ф (х, у) = (г (х) — )' (у))/(х — у). Разлагая многочлен Ф на неприводимые сомножители сначала в [гч [х, у[, а затем иад подходящими последовательными алгебраическими расширениями поля Гч, получаем в итоге некоторое алгебраическое расширение Е поля Гч и разложение над Е Ф = а д, ...
д„, (7.19) где а„— старший коэффициент многочлена Г (х), а каждый сомножитель д, ~ Е [х, у[ является нормированным по х и при этом абсолютно иеприводимым. Пусть й,, 1 ( ! ( г, — однородная часть наивысшей степени многочлена йь Тогда 4 4. Исключительные ыногочлены 46! так как левая часть этого равенства является однородной частью „аивысшей степени многочлена а, 'Ф. Кроме того, е = (х — Ь,У)... (х — 1,„,У), где,, „., ь"„, — отличные от 1 корни п-й степени из ! в поле ~т„, которые все различны в силу теоремы 2.42 (!).
Отсюда следует, гго многочлен х — ьу ~ Ге (х, у! делит в точности один из ьомпожителей Ьь Пусть для определенности это будет )гы 1!усть о — автоморфизм кольца Е (х, у), задаваемый формулой о ( ~~ агьх'у '') =- ~„'ае;„х'у', ~,,е / Ье Применим о к (7,19) и заметим, что о (Ф) == Ф и о (а„) =- а„, тнк как Ф ~ (г !х, У) и а„Е !1'е.
Следовательно, в силУ единственности разложения (7.!9) о переставляет многочлены аь так что о (д,) =: д для некоторого т, ! ( т ( г, а отсюда следует, что о (6,) =- й . Так как многочлен х — ьу делит йы то он делит и Ь = о (й,), поскольку о (х — ьу) =- х — ьу. Отсюда вытекает, что т = 1, т. е. что о (й',) =- йг,.
Значит, все коэффициенты мпогочлена йг, лежат в !г'ч и, таким образом, д, абсолютно неприводим над полем К . Вновь в лемме 7.28 числа й,, ке, ... выберем таким образом, чтобы они образовывали неубывающую последовательность Й, . Ье < .... Пусть д = дец (д,) и д > й„) Аг. Так как Ь, делится на х — ьу и ь -ь 1, многочлен у1 не может иметь вид а, = =-. с (у — х), с Е Гч.
Тогда из леммы 7.28 вытекает, что д, (а, Ь) =-= О для некоторой пары (а, Ь) Е Ке-, а Ф Ь. Отсюда и из формулы (7,19) получаем, что Ф (а, Ь) = О. Следовательно, много- член 7 (х) не может быть перестановочиым многочленом поля Гч, П 7 32.
Следствие. Пусть Ке — конечное поле и и ~ 14 — четное число. Если д >. Ьн и НОД (и, д) = — 1, то не существует переппановочных многочленов полл !1'ч, имеющих степень и. Доказап1ельство. Положим в теореме 7.3! ь = — — 1. Так как мультипликативная группа поля Кч является циклической гРУппой поРЯдка д — 1, то Гч содеРжйт отличный от ! корень и-й степени из единицы с тогда и только тогда, когда НОД (и, д — 1) >!. Таким образом, из теоремы 7.31 вытекает следующий критерий. 7 33.
Следствие. Пусть и ~ е(. Если о> А„и НОД(п, о) 1, то перестановочные многочлены поля Гч, имеющие степень и, существуют тогда и только тогда, когда НОД (и, д — 1) = 1. Гл. 7. Перествновочныв мвогочлени 462 Доказательство. Необходимость следует из приведенных выше рассуждений и теоремы 7.31. С другой стороны, если НОД (п, д — 1) — 1, то из теоремы 7.8 (111 следует, что х" является перестановочным многочлепом поля Кч, причем г[ей (х") = и.
[) % 5. Перестановочные многочлены от нескольких переменных Пусть п ) 1, и пусть К [х, , х„[ — кольцо многочленов от п переменных над полем Г,. Через[['", обозначим прямое про- изведение п экземпляров поля К . Перестановочный многочлен от п переменных над полем Гч естественно определить как такой миогочлен 7' Е Гч [х,, ..., х„[, длЯ котоРого число Решений УРав- нения )'(хь ..., хл) =- а в [["ч одно и то же для всех значений а р Гч.
Если обозначить это число решений через Ф, то должно выполняться равенство Ж =- а" ~. Действительно, [[[ч~ =- д' — ~, йг -- дйг. Таины образом, мы приходим к следующему опрев с 1Г делению. ?.34. Определение. Многочлен 1(х„ ..., х„) Р [['ч[х,, ..., х„[ называется переетаноеочным многочленом от и переменных над полем [г'ч, если длЯ любого а Е Еч УРавнение 7" (х,, ..., х„) --: а имеет ровно д" решений в [[',. В случае п ) 1 мы не можем сказать, что перестановочный многочлен )' (х„..., х„) над полем Кч индуцирует перестановку элементов множества К ' ввиду того, что соответствующее ото- бражение не является отображением К" в себя.
Однако следующее,,' определение позволяет рассматривать отображения из [г'" в К,"', которые индуцируются системами многочленов от нескольких переменных. 7.35. Определение. Система многочленов )о, ~„ЕГч[х„..., х„), 1 -.гп '-'п, называется ортогональной над полем Гч, если для каждого набора (аь .. а ) б Г, система уравнений Ь (хм „х„) = а„, ),„(х,, ..., х„) = а,„ имеет ровно а' решений в [['". В частном случае, когда т = п, это означает, что ортогональ- ная система многочленов 1„„., )„индуцирует перестановку элементов множества Кч. Применяя терминологию из определения 7.35 к одному многочлену, мы можем сказать, что многочлен ) ', является перестановочным, если он сам по себе образует орто- ! З. Перестнноночные многочлены от нескольких переменных 463 гзпальную систему.
Из определения 7.35 непосредственно еле;;ст, что тобая непустая подсистема ортогональной системы многочленов сама является ортогональной. В частности, любой мн~ г ~ч4ен, входим)ий в ортогональную систему, является переста„ово;ны ч многочленом. С другой стороны, следующая теорема показывает, что каждую ортогональную систему из т многочленов от и переменных, где т < и, можно дополнить до ортогональной системы, содержащей большее число многочленов. Для этого, во-первых, заметим, что каждое отображение т: !)", — Г» 1ожно представить с помощью некоторого многочлена а (х,, ..., х ) над полем (('„который по каждой переменной имеет степень, мсныную д. Этот многочлен задается следующей формулой: З(хо хн) = т(с„..., с„)(! — (х, — с,)» — ') ..'.
(1 — (х„— с„)» — '). (" 'ч!'ч»» (7.20) Не~рудно проверить, что д (с„..., сн) — т (с,, ..., сн) для всех пнборов (сь , сч) с Г~. 7.36. Теорема. Для любой ортогональной системы многочленов )ы с Гч!х„, хн), ! -< т < п, над полем Г» и любого натурального числа г, 1 < г -< и — т, найдутся многочлены /е„ы ..., ~,„Е Г»(х,, ..., х„), такие, что )„..., )' „образуют ортогональную систему над полем гч. Доказательство. Достаточно доказать теорему для г = 1, ):.слн (аь ..., а ) Е К,, то положим 5(аь ..., а ) = — ((сь ..., с„)С!)'»~~4(сь ..., с,) =а„! <! <т). ()о предположению каждое множество 3 (а„..., а ) содержит Ровно дч — элементов.
Теперь каждое множество 5 (а„..., а ) Разобьем произвольным образом на д попарно непересекающихся нщмпожеств 5 (а,, ..., а, а), а ~ Г», каждое из которых содержит дн ~ ' элементов. Построим отображение т; Е~ — !!'» следующим образом, Так как каждый набор (сь .. с ) с 7, принадлежит лишь одному множеству Я (а„..., а, а), положим '- (сы ..., с„) — — — а. В силу (7.20) отображение т можно задать ' помощью многочлена 7 „(х,, ..., х„) над полем Гч. Этот мно:,очлен и является искомым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
