Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 95
Текст из файла (страница 95)
нзбоР (з, глм .... шя) ~ Ва~~ с пРоизвольно большим числом з) О, что длн всех ~', ! < ! ( л, выполняется нерааенстно] — (ш,/з)] < з !я+ Ул. Применить эту теорему для доказательства следующего утверждения: если ы„..., ын — ком- плексные числа, то для любого е ) О существует бесконечно много натуральных чисел з, таких, что Ве(гы', + + ы'„) э(1 — ) (]ы ]'+ +] ы„]'). 6.69. Дать другое доказательства леммы 6.55, использовав результат упр.
6.68. 6.70. В условиях теоремы 5.36 доказать, используя теорему 5.37, что длн каждого а ) О существует бесконечно много натуральных чисел з, таких, что 6.7!. В условиях теоремы 5.39 доказать, используя теорему 5.40, что для каждого е ) О существует бесконечно много натуральных чисел з, таких, что ! ф(з)(/(~)) «(! )(( !) згэ тб]Г з 6.72.
Пусть й'ч — конечное поле, а,, аз, Ь,, Ьз Е й'ч, причем а,Ь, ~ а,Ь„ и т, глы глз — натуральные числа, Доказать, чта число У решений в ]Газ системы уравнений ! т, 1 + Ь!хз хз = аз + Ьзхз удовлетворяет неравенству ] У вЂ” д ] ( Сд , где С вЂ” некоторая константа, не ~У зависящая от д. 6.73. Доказать, чта если )(г — канонический адднтнаный характер поля й'ч, где д = 2*, то сумма Клостермана К(у,; 1, !) задается формулой К(дт, '1, 1) = — — !( — 1+ ! Ьг7)'+( — ! — ! Ьг7)*]. Вывестн отсюда, что ] К(2,; 1, !) ] (2дыз. Упражнения 6.74.
Доказать, что если Š— конечное расшнренне поля Гч, то число й/ злементов 7 Е Е', таких, что Тгк ~ (у) = Тгп г, (7 г) = О, задается форму/ч /е лой д/= — Е К(р„н. Ь), 1 4', в~К, где рг — каноннческнй адднтнвный характер поля Е н К вЂ” сумма Клостермана. 6.76. Доказать, что если Е = г'е, где 4 = 2', то чнсло У злементов 7 Е Ее, такнх, что Тгл(7) = Тгн(7 ~) = О, задается формулой 1 Г 1 . —, 1 д/ = — ~4 — 3 — — ( — 1+ г' )г'7)' — — ( — 1 — 1 рг7)*~, 4 9 4 6.76. В условиях теоремы 5.43 доказать, используя теорему 5.44, что для каждого е ~ О существует бесконечно много натуральных чисел з, таких, что 1)К(х"(о,й))~(2 — )йз/з.. ББК 22.144 Л55 УДК 512.62 18В1ч 5-03-000066-6 Монография известных математиков (Австралия, Австрия)„отражающая многочисленные связи классического раздела алгебры — теории конечных полей — с комбииаторикой, теорией кодирования, теорией автоматов.
Изложение отличается простотой и ясностью, большим числом (около 600) примеров и упражнений, имеются замечания исторического характера. Книга входит в известную энциклопедию математики и ее приложений (под редакцией Дж.-К. Роты); ряд ее томов переведен в издательствах «Мир» и «Наука». Русское издание выходит в двух томах. Для математиков-прикладников, инженеров-исследователей, аспирантов и студентов университетов, 1702030000 — 274 041 (О!) — 88 ББК 22.144 Редакция литературы по математическим наукам © СашЬг(дне 1)п(чегз11у Ргезз 1985 ТЬ)з Ьоок от|я)паПу рнЬ11«Ьед Рп 1Ье ЕпйнзЬ 1апяцаяе Ьу СашЬг(дне 1)п(чегз11 у Ргезз о1 СашЬг(дне, Епд1апо © перевод на русский язык, с дополнениями, «Мир», 1988 !5ВЫ 5-03-000066-6 (русск.) 15ВХ 5-03-000064-Х 15ВХ 0-201-13519-1 (англ.) дидл р., Нидеррайтер Г.
Л55 Конечные поля: В 2-х т. Т. 2. Пер. с англ. — М.: Мнр, 1988. — 822 с. Глава 7 Перестановочные многочлены Задача этой главы — дать обзор результатов о перестановочных многочленах, т. е. таких многочленах„для которых соответствующие полиномиальные функции являются перестановками множества элементов даЖного конечного поля К~. Многочлены такого вида существуют для любого Кд, так как любое отображение поля Кц в себя можно задать с помощью некоторого многочлена, С перестановочными многочленамн связан ряд естественных вопросов. Во-первых, само выяснение того, является данный многочлен перестановочным или нет, представляет собой нетривиальную задачу. Критерии, полученные в $ 1, могут эту задачу упростить.
Однако общие условия для того, чтобы многочлен был перестановочным, оказываются достаточно сложными. Поэтому большой интерес представляют полученные в ~ 2 результаты о некоторых типах перестановочных многочленов. Перестановочные многочлены индуцируют перестановки элементов конечного поля Г~ и, следовательно, соответствуют эле. ментам симметрической группы 5 — группы всех подстановок на множестве из о элементов.
Таким образом, если нам дан класс перестановочных многочленов полн Г~, замкнутый относительно операции композиции (или композиции с последующим приведением по модулю х~ — х), то мы можем поставить вопрос, какая подгруппа группы Зд представлена этим классом. $ 3 посвящен исследованию такого рода задач. Связь между перестановочными и исключительными много- членами исследуется в ~ 4.
При этом существенно применяется теория уравнений над конечными полями. Понятие перестановочного многочлена обобщается в $ 5 путем перехода к рассмотрению многочленов от нескольких переменных. Так как отдельные многочлены от а) 2 переменных не могут индуцировать отображения векторного пространства г" в себя, то здесь теряется связь многочленов с перестановками. Чтобы восстановить эту связь, необходимо рассматривать системы много- членов. Это приводит к понятию ортогональной системы много- членов. Далее в этом параграфе изучаются основные свойства перестановочных многочленов от нескольких переменных, а также ортогональных систем.
Гл. 7. Перестановочные многочлены 438 5 1. Критерии перестаиовочиости многочленов Многочлен 7" ~ [[' [х [ называется перестановочным многочленом поля Е, если соответствующая ему полиномиальная функция 1: Кч — Кч, отображающая элемент с Е Еч в элемент ) (с) Е [Гч, является перестановкой элементов поля 7 . Очевидно, что если 7 является перестановочным многочленом поля Кч, то для каждого и ~ Еч уравнение 7" (х) = и имеет ровно одно решение в поле Ввиду конечности поля [['ч перестановочные многочлены над ним могут быть определены и другими способами. 7.1. Лемма.
Многочлен 1 Р Еч [х ) является перестановочным многочленом поля)я тогда и только тогда, когда выполняется одно из следуюи[их условий: (!) функция): с 7 (с), с р [[', является отображением «на»; (й) функция 1: с 7 (с), с Е 1«, является взаимно однозначным отображением; (ш) для любого а Р [['ч уравнение 7'(х):= а имеет решение в поле К; (!ч) длЯ любого а Е [['ч УРавнение 1' (х) = а имеет Ровно одно решение в поле Кч.
Если ~: Кч — 1'ч — произвольная функция, отображающая Кч в [['ч, то существует единственный многочлен д р Кч[х[, «[ей (у) < д, являющийся представлением отображения гр в том смысле, что у (с) = гр (с) для всех с Е 1«. Многочлен д можно найти, вычислив соответствующий интерполяционный многочлен Лагранжа (см. теорему 1.71), или с помощью формулы д(х) = ~; «р(с)(1 — (х — с)« — '). (7.1) с6Р« Если отображение гр задано в ниде полиномиальной функции, например гр: с Г (с), с Е Кч, для некоторого 7' Р [[' [х), то искомый многочлен д может бйть получен нз многочлейа 7" приведением последнего по модулю х« — х ') согласно следующему результату: 7.2. Лемма, Если. Г, д Е 1'ч[х[, то 1(с) = д (с) длл всех с Е Г в том и только том случае, когда )' (х) : =— д (х) (шаг[ (х«вЂ” — х)~.
Доказательство. Согласно алгоритму деления многочленов, мы можем записать 7 (х) — д (х) = й (х) (х« — х) '- г (х), где й, г Е Гч[х! и ден (г) < д. Тогда [(с) = у(с) для всех с Е Кч в том и только том случае, если г (с) = О для всех с Р '[ ч; последнее эквивалентно тому, что г =- О. и ') Результат прнведення многочлена 1 по модулю х« — х (см, определение на стр, 40) обозначается через 1(пюб (х« — х)).
— Прим. перез. 5 !. Критерии перествновочности мноточленов 439 Установим теперь один полезный критерий того, что данный многочлен является перестановочным. Нам потребуется следую!ная лемма. 7,3. Лемма. Пусть а,, а„..., а, — элементы поля |Г Тогда следующие два условия зквивалентньи (!) а,, а„..., о,, все различны; Одля(=-0,1,...,д — 2, (й) Еа!=~ о=-о ' ~ — ! для ! =у — 1. Доказательство. Для фиксированного т, такого, что 0 ( ! ( . о — 1, рассмотрим многочлен е †! до(х) =- ! — Д а! ' 'х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
