Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Теперь из (7.12) получаем 5 — 1 75 =- ~ а', 5(55, 0 '.1, 1 - с -- 1. 4 4. Иснлючнтельные многочлени 455 Б салу леммы 5.51 многочлен Е (х) является перестановочным ,н го~левом поля Г», тогда и только тогда, когда де1(А) ~ О, ь(ножество многочленов вида (7.12), являющихся перестанозочнымп многочленами поли Г ., образует группу относительно операции композиции многочленов с последующим приведением по мсжулю х» — х. Эта группа известна как группа Бетти— Милю». Приведем без доказательства следующую теорему. 7,24. Теорема.
Группа Бетти — Матье изоморфна общей линсйнон группе СЕ (г, ~»), образованной невырождснными г х г„стрицами над полем Г относительно операции умножения маштоц ф 4. Исключительные многочлены При изучении перестановочных многочленов. можно воспользоваться некоторыми геометрическими идеями.
Преимущество, которое мы получаем от такого подхода, состоит в том, что появляется возможность применять очень сильную теорему Ленга— Всйлн (см. комментарии к гл. б), которая дает оценку для числа , ацновальных точек на абсолютно неприводимой кривой„заданной ~ад конечным полем. Пусть дан многочлен ) ~ !»»(х! степени й ) 1; образуем чногочлен от двух переменных ) (") — ! (у) х — у имеющий степень й — 1. Пусть Е х Š— прямое произведение двух экземпляров алгебраического расширения Е поля 1'». Определим алгсбраи»лекую кривую С„над полем Г» как подмйожество множества Е,, Е вида С„=-.. ((а, Ь) еЕ и Е(ц (а, Ь) = О), где ц, Е 1'» (х, у) — ненулевой многочлен от двух переменных нзд полем 1'».
Точка (а, Ь), лежащая на кривой С, называется ,овциональной точкой, если элементы а и Ь принадлежат Г». разумеется, число рациональных точек на кривой всегда конечно, так как множество ~г'» х р» само конечно. Используя введенные выше обозначения, получаем, что многочлен г' (х) является перестансво»ным много»ленам поля К» тогда и только тогда, когда С,ь не содержит рациональных точек, лежащих вне прямой у = х. Напомним, что для любого поля К элементы кольца К (х, у! единственным образом разлагаются на неприводимые многочлены н что многочлен положительной степени из К (х, у! называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над любым алгебраическим расширением поля К.
Гл. 7. Г!ерестввовочггые иногочлеггы 7.25. Определение. Многочлен Г" (х) Е Тч (х! степени с( йь 2 называется исключительны,я многочленом над полем )ч, если ни; один неприводимый делитель многочлена ,р(„„1 Г(х)-Г® х — у не является абсолютно неприводимым, Иными словами, многочлен 7' (х) является исключительным .г чггогочлеггоы иад полем Тч, если каждый неприводимый делитель! мпогочлена г(г (х, у) ~ г, (х, у1 допускает нетривиальное раз- ''; ложение на множители над некоторым алгебраическим расшире- .( пнем поля (ч.
Следующая теорема устанавливает связь между перестановоч- г ными и исключительными многочлеиамп, Отметим сначала (без до- г казательства), что любой исключительный многочлен является 1 «почти ггерестановочным» многочленом в следующем смысле. ", 7.26, Лемма. Пусть 7'(х) ~ К«1х! является исключительным ': многочленом над полем Кч степени й, и пусть через К (7) обозначено ) число различных элементов в чножестве' ()' (с) ! с Е $ ч) значений, 1 которые может принимать этот многочлен, Тогда У (7) ) гà — 1 — А (й), где А (й) — константа, зависящая только от степени й ') многочлена Г' (х). 7.27, Теорема. Пусть Ге — поле характеристики р, а 7' (х) — гг исключительный многочлен йад полем г)ч степени г(, причем р ) )~ В (й), где В (й) — некоторая константа, зависящая только огп й.
Тогда много«лен 7' (х) является перестановочным многочленом 1 поля Г . Доказательство. Используя обозначения леммы 7.26, можно г) представить (7 ()) в виде )г ()) = д — ш, где О < иг ~~ А (й). Для )г доказательства теоремы достаточно показать, что иг =- О. Допу- ~ стим, что ш 1, н покажем, что в этом случае мы приходим к про-:; тиворечию. Пусть различными элементами в множестве значений, которые ", принимает Г"(х), будут элементы Ь,, Ье, ..., Ь„ , и пусть остав- шиеся элементы поля Гч — это с,, с,, ..., с . Для г' = 1, 2, ... ', ..., г7 — го обозначим через т, число решений уравнения Г" (х) = Ь; 1 « — ге в поле Гтч, тогда ~~ т; = «1.
КРоме того, т; ) ! длЯ любого г=! — 1, 2, ..., »Г — гв, а значит, т; «, иг + ! (г = 1, 2, ..., о — цг). В то же время для 1 — -- 1, 2, ..., ш получаем )(с) = ~ тгЬо сеГ» 4 4. Исключительные ыногочлены 457 1,-ели р ". В (г(), где В (г() == дА (г() + 2, то справедливы соотно,„„,ния гг — 2 ).
р — 2 ~ г(А (г() ) г(аг, а тогда для всех ! -= 1, 2, ..., гс можйо записать ~(х)' = ао '+ а!"х+; а,!",х' ', В силу леммы 7,3 е — е ха 7'()'= Е <О Е "=О. Е!ге ! =о ~у' Таким образом, 2г ть;=О ((=1, 2„ г=! (7.14) Положим т — — тах (т„..., тч ); тогда из (7,!3) получаем, что 1:,' пг --. аг + 1.
Если через з;, ! ( ! ( т, обозначить число таких ть длн котоРых т! =- 1, то и, + ... + з =- г7 — ы и т ц — ге гч Е (1 — 1) з; = ~ т; — ~'„ зз = г) — (г) — аг) =- гс. (7. 15) г=.—.! г-=! Перенумеруем элементы Ь,, ..., Ьч таким образом, что т, =- ... пгг! 1 пг51+! ''' туг!ге 2, ..., тг -г- . -~-$ -!-! т,, + и, — — т, тогда формула (7.14) принимает вид г+ егг А!=~1 1„'Ь';=О (1=1, 2, ..., аг). ! — "! г=гг+" +г. г+' Отсюда вытекает, что !) Е г=г -г-- -г-г +! 7-! 2,'.с' =- О, и, следа гбач уl ег ги ~ с,'г = 2' ,с', -1- А, = ~, 'с + ~' (!— есе 7 Так как 1 ( г ( и ( г(А (г() ( г7 — 2, то вательно, ге «г .~,-.
° .г-гг 24=- Е(1-1) Е й ('") 7=2 г=г + -егз г+! Рассмотрим далее два многочлена ге ег д(х) = П (х — сь), Ь(х) = П 171 (х — Ь.,+...и.г,+!)'-'. е=! г)з (7.15) вытекает, что г(ед (а) = аг, с(еа (Ь) =- аг. Обозначим "врез В, и Ь„О ( г ( и, коэффициенты при х -' соответственно в Ы (х) И 6 (х). ПУсть бг и Н,, 1 ( ! ( в, обозначают сУммы Ьх Гл.
т. Порестаяовочяые маогочлены степеней всех корней многочленов 8 (х) и Й (х) соответственно. Тогда из (7.18) получаем, что 6, = — Н, для всех 1 '1-< гв. Из формулы Ньютона (см. теорему 1.75) следует, что т — 1 ~~ 6,,а; + 1д, =. 0 (! <,, 1 < щ). а=-о (7. 17) де С (й) — некоторая константа, зависящая только от й, Для ваших целей нам понадобится более слабое утверждение, вытекающее из (7.!8).
7.28. Лемма. Существует последовательность й,, lга ... целых положительных чисел, обладающих следующим свойством: если тр с Рч(х, у) — абсолютпно неприводимый многочлен и в ) )гю где й == г(ед (гр), то либо С„содержит некоторую рациональную точку (а, Ь), а ~ Ь, либо многочлен гр имеет вид с(у — х) для некоторого с Е Ео.
Так как р .> йА (й) + 2 > А (й) > то, то коэффициент при аг в (7.17) отличен от О. Значит, систему из гв уравнений (7.17) можно однозначно разрешить относительно йт, ..., д и выразить их через 6,, ..., 6, а именно 8~ == — 6ь да =- (6', — 6т)/2 и т, д. Аналогично получаем, что й~ --- — Нь )тт = (Н', — На)12 и т. д., а так как 6, == Н, для всех 1 ( 1..
то, то отсюда вытекает, что йг -= )т„для всех 0 = г 4 тв. Таким образом, д(х) === А (х)„и множество (с,, ..., с ) должно с точностью до порядка элементов совпадать с множеством (Ьн~.ь ..., Ь, ). Это, однако, невозможно, так как по определению элементы Ь; отличны от с„. Тем самым мы пришли к противоречию, что и завершает доказательство теоремы. П Предыдущая теорема показывает, что в конечном поле достаточно большой характеристики свойство многочлена быть исключительным является достаточным для того, чтобы он был перестаиовочным многочленом.
Определим теперь, при каких предположениях свойство многочлена быть исключительным является также и необходимым условием для того, чтобы этот многочлен был перестановочиым, Утверждение, обратное к теореме 7.27, становится справедливым при некоторых дополнительных условиях, которые можно юлучить из теоремы Леига — Вейля. Переформулируем эту теорему следующим образом, Пусть через М обозначено число рациональных точек на кривой С, где тр ~ 1)'ч [х, у) — абсолютно неприводимый многочлен, г(ед (гр) = й. Тогда по теореме Ленга — Вейля (см. примечания к 5 4 гл, б) справедливо нера- венство 4 4.
Исключительные много»лены 459 доказательство. Для каждого д Е И выберем число йл таким обр;!3 м, чтобы выполнял ь неравенлво о — (д — 1) (с( — 2) дне — С (д) > д ,лн всех д ',ь йд. Тогда если гр — абсолютно неприводимый много,;л,п степени д от двух переменных над полем Е», где д . ял, то г,л 17 18) следует, что С содержит по меньшей мере д + ! рацион;гльных точек. Если мггогочлен ср отличен от с (у — х), то из его и;приводимости следует, что он не делится на у — х и, следоваггь»ьно, гь (х, х) не является нулевым многочленом.
Таким образом, ггрггззгг С пересекает прямую у ==- х не более чем в д рациональных точках. Следовательно, С содержит хотя бы одну рациональную точку (а, Ь), где а ~ Ь, П '!тооы доказать следующую теорему, воспользуемся привез нпымп в начале этого параграфа понятиями алгебраических кривых и нх рациональных точек, а также их связью с перестапоаочными многочленами.
7.29. Теорема. Суи)ествуепг последовате гьность целых полон ительных чисел йы )ге ..., такая, что для любого конечного поля ,.",, порядка о > 'ян, такого, что НОД (п, д) =- 1, справедливо следуюи!ее утверждение: если ~ (х) Р 'г» 1х1 — перестановочный многочлен поля Г», с1ей (7 (х)) — -- п >. 2, то он является исключительным многочлейом над полем Г». Доказательспиго.
Очевидно, что в лемме 7.28 числа й,, йе, кожно выбрать таким образом, что последовательность )гг, йе будет неубывающей, т, е. !гг ( йе < .... Пусть числа Ан выбраны указанным образом, и пусть ) (х) Р Г» 1х) — перестановочный мггогочлен поля Г», удовлетворяющий условиям нашей теоремы. Если Ф (л, у) — (1 (х) — !г (у))г(х — у) с Е» (х, у1, го алгеораическая кривая Сф не имеет рациональных точек, не гсжащих на прямой у =- х. Предположим теперь, что многочлен 1 (х) не является исключительным многочленом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
