Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 94
Текст из файла (страница 94)
с„)) = едаГ~, гм... гэ ЕГч в котором е прииимает значение 1, если / эквивалентна квадратичной форме хгтз+ хзха+ ... + ха гха, и значение — 1, если / эквпвалеитиа квадратичной фоРме хгхз+ хзха + ° .. + хч Ра+ хз ~+ ахз дла некотоРого а Е Г, такого, что ТгГ (а) = 1. 6.31. Пусть ае, Ь Е Г, гдето нечетко, и пусть ам ." ап Е Га Ьо ". Ьа Е Е Гч, где Ьг чь О хотя бы для одного 1, 1 (1~ и. Обозначим через Дг число решеиий в Г" системы уравиеиий ! я~«~+ '''+и х — пш Ьзхг + ' ' ' + Ьахэ = Ьа 420 Гл. 6.
Уравнения над конечными полямн + д(л г)/г т) (( —.1)"/2 ас), если л четно, — д(и з)/2»1(( — 1)(и ()/гаЬ), если и нечетно. же, что и в упр. 6,31. Доказать, что если Ь = с = О, то + о(ар) 4(л )/ )1(( — 1)л/га), если п четно, +4(л ')/гт)(( — !)(л ')/га,а), если л нечетно, 4 л — 2 4 л — 2 /у то 6.33. Пусть л — 2 где с — функция, введенная определением 6.22. В.34.
Пусть Ж то же, что и в упр. 6.31. Доказать, что если Ь = О н с Ф О, то й/ ()л — 2 В.33. Пусть (Г» — конечное поле нечетной характеристики, а„Ь, С (Гч и а... а„, Ь, ..., Ь„Е (Г'. Обозначим через /(/ число решений в Кгиснстемы уравнений ! ""(+ ' ' ' +ал"и =со Ь,х)у(+ + Ь„х„у„= Ь,. Положим а = а, ... а„. Доказать, что 2л — г (-(о(ар)-(-1) о(Ь») дл — '-;— 1 с(а ) 4(ал-О/гт) (( 1)и/2а) Ч" +(о(ар)+1)о(Ь»)4" 2+ 1, (зл-3)/2 (( 1)(л-))/2 „„ если л четно, если и нечетко, где и) — квадратичный характер поля Ьч, а о — функция, введенная определением 6.22. 6.36.
Пусть Ь,, ..., ܄— различные элементы конечного поля 6'» и а, Ь Е Ь'». Доказать, что число й/ решений в (Ггл системы уравнений Хтут + ° ° ° + хлул '= а, Ьтх(у(+ + Ь„х„у„= Ь задается формулой д/и 62 — 2+4" — 2(4 — П ~ о(Ь вЂ” аь()+ (=( +дл 2 (о(а) о(Ь) +о(а)+о(Ь)), где о — функция, введенная определением 6.22 .1 Положим а = а ...
а„, Ь= Ь,а, + ... +Ь„а„' н с = Ьр — а Ь. Доказат, что если Ь чь 0 н с = О, то дг = если и четно, Вл — 2+ 4(л — 3)/2(4 1) т)(( 1)(л-()/2аь) если и исчерно где т) — квадратичный характер поля г", В.32. Пусть й/ — число, определенное в упр, 6.3!. Доказать, что если Ь ~ 0 н с~О, то 421 Упражнения 6.37. Пусть К» — конечное поле нечетной характеристики, а Е К», н а, Ь, с, д Е Ц. Доказать, что число Ь! решений уравнения ахз!+ Ьхэ+ схя = = 2бхгхзха+ е в $'» задается формулой )у = 4» + 1 + 4 [т! (а) + т! (Ь) + т! (с) + т) (е) ] т! (аче — аЬс), где т) — квадратичный характер поля Кч.
6.38. Пусть Ь вЂ” элемент конечного поля Ь'», а,, аа, Е Г» и п = Ьш, где Ь, т Е Ы. Доказать, что число М решений Ь.линейного уравнения а,х, ... ха+ азха+, ... «,а+ ° ° + а,„ха а+, ... х„= Ь в Га задается формулой Ь! а-! ! „(Ь) ж-![ а-! ( 1)ь-~]м где функция о вводится определением 6.22. 6.39. Доказать, что уравнение хз!+ х»+ хэ = О имеет дт решений в [['~~. 6.40. Доказать, что уравнение х",+ х" + х, '+ х]а = О имеет !33! реч ! 2 шение в [ры. 6.41. Доказать непосредственно, что если НОД (Ьы д — 1) = 1 для неко торого 1, то диагональное уравнение (5.10) имеет уа ! решений в 6'а. »' 6А2. Доказать, что для простого числа р, такого, что р = 1(глоб 4), число Ь! решений уравнения хз+ х» = 1 в Г задается формулой Ф= р — 1+2А, если р и 1(пюб8), р — 1 — 2А, если р ж 5(глоб 8), где А — однозначно определенное целое число, удовлетворяющее условияь: А = — — 1 (пюд 4), р = А'+ Вз для некоторого В й л.
6.43. Доказать, что для д = 1(пюб 6) н Ь с Ь'» число Д! решений уравне. нин хт+ хз = Ь в й'~~ задается формулой Д! = д+ 2») (Ь) Ре [Х (Ь)» (»1, Х) ], где т! — квадратичный характер поля г'», Л вЂ” мультипликативный характер этого поля порядка 3, а»' — сумма Якоби. 6А4. Доказать, что для д = — 1 (шоб 4) и Ь й К» число д! решений уравнения х~!+ хз —— Ь в К определяется формулой Ь(= д — 3+2йе[(2ф(Ь)+»1(Ь))» (т), ф)], если д ы 1(шобй), д+ 1+ 2 )(е [(2ф (Ь) — т! (Ь)) а (»1, ф)], если д = 5 (глоб 8), где т! — квадратичный характер поля [['», а ф — мультипликативный характер порядка 5 этого поля.
6.45. Пусть Г» — конечное поле характеристики р, д = р' н Ь вЂ” заданное натуральное число. Доказать, что каждый элемент поля [г » представйм в виде суммы Ь-х степеней элементов этого поля в том и только том случае, если Ь не делится на число (р' — 1)/(р~ — 1), каким бы ни был делитель д числа е, !»- <д< е.
6.46. Вывести нз результата упр. 6А5, что при д ) (Ь вЂ” 1)з каждый элемент поля К» может быть представлен в виде суммы Ь-х степеней элементов этого поля. Гл. 6. Уравнения над конечными полями 422 ВА7. Для целого числа з ) 1 пусть () Е Е = 1Г , () ~ Г . Доказать, что а' уравнение а,х, (»' !))!» з> „, (»' !)Д» !! + ° + а„х„ где а„..., а„— элементы поля Г», не имеет решений в еа.
ВАВ. Доказать, что прн з(! = ... = з)„=- з1 имеет место равенство — 1 МИ! ". ") = — — (61 — !)'™ — ( — 1)" !) о где М (з), ..., 4,) обозначает число л-наборов Ц,,..., 1„) ~ Уа, такнк, что 1 ( з= Д з= о! — ! для 1 < 1 < л н ЦзЯ!) + " + Ца)з(а) с Е. ВАВ. Доказать, что если число Мз определено равенством (6.15) н г — комплексная переменная, то функция Ь (г) = ехр ( ~~ (Уз/з) г' ) !з=! является рациональной. Здесь ехр(г) =- ~~ (115!) г а=о — показательная функция.
6.50. Доказать, что если )У„ з = 1, 2, ..., — такие комплексные числа, что функция О ь (г) = ехр ~ ~ '(!Узза) гз ) ' з.=! рациональна, то эти числа )Уз представимы формулой типа (6.15). В.б!. Пусть Гч — конечное поле нечетной характеристики, Ь 6 1Г» н 1 Е с )Г» (х,, ..., ха) — невырожденная квадратичная форма. Найти чйсло Фз решений уравнения ) (х, ..., х„) =-Ь в Г",, где з Е И, н проверить, что это число представимо в виде (6. 5).
В.52. Для числа М„ определенного в упр. 6.51, найти явное выражение функции (;(г) = екр ~ ~~ ~(Ь!з)з) г' ! з=! в виде рациональной функции от г. 5.53. Пусть аз, ..., а„, Ь Е Г» и М (а,, ..., а„, Ь) обозначает число решений уравнения а!х,! + ... + а„х„" = Ь в Г", где Вы ..., й„ вЂ” фиксированные натуральные числа. Доказать, что среднее значение величины д!(а,, ..., а„, Ь) равно д" 1, т. е. что )у( !) а — ! з) ' »з, "., з„, зп)Г» В.54.
В обозначениях упр. 6.53 доказать, что (Д! (аз, ..., а„, Ь) — 4" ) ц,з) " (з) — 1) з)! ... з(п, аз, ., ап. ЬЕГ» где з(! =- НОД (Ь!, я — 1) для 1 ( ! (л. Упражнения 6.65. Доказать, что число Решений УРавиениа хз+ хз+ Хзч= — 2 в Гз Р является положительным кратным характеристики поля Г . 6.56. Пусть р — характеристика поля Гч и число д = НОД(А, д — 1) делит р — 1. Доказать, что диагональное уравнение а,ха!+ ... + а хла = Ь имеет решение в Г~~ для любых Ь Е Г и а, ..., ая Е Г'. 6.57.
Пусть р — характеристика поля Гч, Ь вЂ” положительный делитель числа р — 1 и [ Е Гч [х„..., хь] — однородный многочлен степени Ь. Предполагая, что число решений уравнения [(х, ..., хь) = 0 в Гч ие делится на р, з доказать, что для любого многочлена л Е Гр [хг, ..., хь] степени, меньшей Ь, уравнение [(хм ..., хь) = л(х„..., хз) имеет по крайней мере одно решение в Г. 8.58. Пусть р — характеристика поля Гч, й — положительный делитель числа р — 1 и л Е Г [хм ..., хз] — многочлен степени, меньшей Ь.
Доказать, что уравнение х ... х, = л (х, ..., х„) имеет хоти бы одно решение в Г . а 8.56. В условиях упр. 6.56 доказать, что уравнение а!х/'+ ... + аьхаа+ + ах ... х„= л(х, ..., хь) имеет хотя бы одно решение в Г~~, если а Е Г', а,, ..., азЕГч и по крайней мере один нз элементов а/, 1(1( Ь, равен нулю. /лч 6.60. Для биномнальных коэффициентов ~ /1, 0 (1(п, доказать, что Ел((. )) = 1 (з +з„ / — „), где р — простое число, Ер(г) — наибольший иэ показателей [, для которых р/ делит число г Е Й, а з„, — сумма коэффициентов р-нчного разложения числа т. 6.61.
Вывести иэ результата упр. 6.60, что если и = рз, Ь Е И и 1 < / (и, то Ел(( . )) =й — Ев([). //ач 6.62. Доказать, что если р — простое число, то равенство Е ~~ . ~) =О выполняется для всех [, 1 (/ ч-п, в том н только том случае, если число и имеет вид и = шр~ — 1, где 1 ч- /л ( р н / ~ О. / /пч 6. 63. Доказать, что натуральное число а удовлетворяет условию НОД ~ ~ Ь) = 1 для всех п, й ч- а( 2Ь, в том и только том случае, если А = р/ для некоторого простого числа р и /:ь О. 6.84. Доказать, что если Г, — поле нечетной характеристики и Ь Е К, то уравнение ух = хзз имеет 24 — 1 решений в Гэ, (Указание. Воспользоваться ь ч тем, что многочлен уз — хэ не является абсолютно непрнводимым).
6.65. Доказать, что для поля Г, где 4 =— 3 (пюб 6), уравнение уе = 2хч+ + 4х + 2 не имеет решений в Гч. (Указание. Воспользоваться тем, что миогочлен уз — 2ха — 4хз — 2 является неприводнмым, но не абсолютно иеприводимым над Гэ.) 6.66. Доказать, что если т Е $Ч и [ й Гч [х] — такой многочлен степени Ь ~ 1, что НОД(т, Ь) = 1, то многочлен рм — /(х) абсолютно иеприводим, 424 Гл. 6.
Уравнения над конечными полями 6.67. Обобщить теорему 5.57 следующим образом. Пусть гл Е Ы, / ~ Е ]Гч ]х] — многочлен положительной степени, и пусть / (х) =- а (х — а,) ' ... (х — а а) " — разложение многочлена / в его пале разложения над ]Гч, где а,, ..., аа — раз- личные корни /. Положим Г = НОД (ш, д — !) и О = НОД (О е,, ..., еа), и пусть г — число корней ам принадлежащих полю ]Гч. Тогда число У решений урав- нения у~ = /(х) в ]Г удовлетворяет неравенству ] У вЂ” Рд + ()) — 1) г ] ( (( — О) (3 — 1) дыз, если элемент а является О-й степенью некоторого элемента из ]Г', и У = г в прод' тинном случае, 6.68, Теорема Дирихле об одновременной аппроксимации утверждает, что для произвольных действительных чисел Ьы ., Ьн существует такой (л+ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
