Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Мы хотим показать, что в этом случае нлн у, или Ь является перестановочным многочленом над полем Г, Р(з (7.23) получаем, что Ь(а )М(ав) = р" — ' для любого элемента аЕКр. а,.~-а,=а 1:сли выписать эти равенства для значений а = — — 1, О, 1, ... ..., р — 2, то получится система линейных уравнений относительно М (р — 1), М (р — 2), ..., М (0). Пусть матрица этой системы имеет вид (йп),етс; „йи = Е (!+ 1 — 2), где 1+ ! — 2 берется по модулю р. Пусть О = де! (йм). Если (7 ~ О, то система ьюнеет единственное решение, а именно М (р — 1) = М (р — 2) = ... . =- М (0) == р" — '. Отсюда следует, что и является перестановочпым многочлеяом над полем !гр, Предположим„что 0 = О. Воспользуемся тем фактом, что 0 = ~-Я, где Я вЂ” результант двух многочленов С (х) = хв — 1 и Н (х) = Е (0) х" ' + ".
(!) хв-'+, . + Е (р — 1) над полем рациональных чисел. Тогда С (х) и Н (х) имеют общий корень в некотором расширении поля рациональных чисел. Но С (х) = (х — 1) ()р (х), где яр (х)— неприводимый р-круговой многочлен (см. теорему 2.47 (1)), а '1(1) = р'" Ф О.
Следовательно, (1р (х) делит Н (х), т. е. Н (х) = Е (0) 1г„(х). Приравнивая соответствующие коэффициенты, по'Учаем Е (а) — Ь (0) =- р'" — ' для всех а Р Кр, отсюда следует, у является перестановочным многочленом над полем Гн. ( ) 7 43. Теорема. Если а — степень просгпоо числа (но нг простое число), то для любого натурального т, 1 -~ т < и, найдутся такие многочлгны а(х„..., х ) и 6 (х„„ы ..., х„) над по- 470 Гл. 7. Переетвновочные многочлены лем !г'д, что а (х„..., х ) + /( (х „, ..., х„) является перес новочным многочленом над полем гд, но ири этом ни д', ни /( являются перестановочными многочленами над Кд. Доказательсгпво. По условию теоремы (/ == р', где р — пр ', стае число, а е ) 1.
Порядок аддитивной факторгруппы Гд/К равен г::: р' — '. Построим систему элементов а„..., а„~ Ц выбирая в качестве аг представителей из всех смежных классо Пусть Е и М имеют тот же смысл, что и в теореме 7.42. В сил (7.20) существуют многочлены у(х,, ..., х ) и й (х „„..., х„) над полем Гд, такие, что Е (а)) == (!/г) (/ ' для 1 (/ ~( г, Е (с) = для всех остальных элементов с ~ Кд и М (О) =- М (1) = .„' ... = М (р — 1) — (!/р) ()", а М (д) .=. 0 для всех остальны элементов й б К . Ни у (х„..., х ), нн /г (х „,, х„) не явля»,. ются перестановочными многочленами над полем К . Однак . У+ й — пеРестановочный многочлен над Кд. Действительно, люд бой элемент а ~ Кд можно единственным образом представит: в виде а = а; + Ь, где ! ( / < г и Ь с К„.
Отсюда следует, чт общее число решений уравнения у (х„..., х,„) + й(х,„+„..., хо) = а = а) + Ь в !Г»" равняется Следующая теорема устанавливает полезное взаимно одн, значиое соответствие между ортогональными системами над по„ лем Кд, образованными т многочленами от п =- (ий переменных, и перестановочными многочленами от й переменных над полем г ,- 7.44.
Теорема. Если и, т, й — натура гьные числа, связанньМ; соотношением п — тй, то существует взаимно однозначное соот", ветствие между ортогональными системами над полем гд, ко торые состоят из т многочленов над полем Гд, имеющих по кажр дой из п переменных степень, меньшую чем (/, и перестановочным многочленами над полем Г~~, имеющими по каждой из й переменных степень, меньшую чем (/ Доказательство. Пусть (ю„..., ю ) — базис векторного про-'; странства Е =- К над полем Г». Каждый набор (у(, ..., 7„) ~ Е однозначно определяет набор (с,, ..., с„) б !Г» по формуле 7( = с(( — ()егэ!(ог + с(( () м+гыг + ' ' ' + с(ыо)т, ! ~ ( ~(й ° Пусть многочлены /„..., / имеют по каждой из п переменных;. степень, меньшую чем (), и образуют при этом ортогональную( систему над полем ге, В силу (7.20) и леммы 7.40 найдется един- 4 З Перестаяовочяые ыяогочлены ат яесколькнк переыеяяых 47! с венный многочлен й над полем Е, имеющий по каждой из своих н переменных степень, меньшую чем ч, и такой, что ..., Ть) =7,(сы .., с„)ю, + ° ° ° +Д,„(сы ..., с„)ю„, (7.24) ,„ля всех наборов (7„..., уь) с Е".
Тогда д является переста„„аочиым многочленом над полем Е. Действительно, для любого и:.= а,гь, + ... + а„,ю,„ Е Е, где аы ..., а б Кч, равенство , 7„) =:= и выполняется тогда и только тогда, когда ',.(с,, ..., с„) =-= ам где 1 «( 1 «« т.
Таким образом, имеется — —. (у )" — ' решений вида (у„..., ук). С другой стороны, если у.— данный перестановочный многочлен над полем Е, имеющий по каждой из своих й переменных степень, меньшую чем о, то ортогональная система многочленов !„..., 7' над полем Кч рассматриваемого типа может быть однозначно восстановлена помощью многочленов над полем гч, имеющих по каждой из своих переменных степень, меньшую чем о.
Это многочлены 7„... ..., 1„из формулы (7,24), которые представляют собой координатные 1~Ункцни относительно базиса 1юы ..., ю„,). П В частном случае т = и мы получаем такое простое следствие кз доказанной выше теоремы: 7. 45. Следствие. Существует взаимно однозначное соответспмие между ортогональными системами над полем 1Гч, которью состоят из и многочленов над полем Кч, имеющих по каждой из и своих переменных степень, меньшую чем д, и перестановочными многочленами от одной переменной над полем 1!' „имеющими степень, меньшую чем д". Нетривиальные примеры ортогональных систем можно получить с помощью следующего обобщения многочленов Диксона (см. ~ 2).
Для и ~ И, а Е Г н (сы ..., с,) Е Г" рассмотрим ыиогочлен г(с ... с„, е) = г" Н вЂ” с~а" 1-сзе" ... -~- ( — 1)я с„г -!- ( — 1)"+'а (7.25) от переменной г над полем Гч. Этот многочлен имеет и + 1 не обязательно различных корней (),, ..., ()„„в подходящем расширении поля !ч. Пусть теперь й ~ К; положим гл(сь .. с„, е) = (е — !)1)...
(е — ()„+,). Тогда ь(сь сы 2)= — о| (!)~1, ° !)л+~) е". + . + ( — 1)" ' ол.н (!) ~ ° ~ (1~~-~) "де о~ есть 1-й злементарный симметрический многочлен от и + 1 "еремеиных (ср, с примером !.74). Так как о;(иьы ..., ив+1) 472 Гл. 7. Перестановочные многочленм является симметрическим многочленом от переменных и,,, и„ то существуют многочлены дР, ..., д), ~ ' от и -г ! перемени над Л, такие, что г ь ъ и) l о; (и,, ... и„,,) = ид (о~ (ио ..., и„.,),..., о„! ~ (им ..., и„е ) ! <!<и-1- Учитывая, что (1,, ..., ~„„— корни многочлена (7.25), полу чаем а;(ро ..., ~„„,)=с; для 1<! <и о„„(~о..., )3„„) = (), ...
()„„= а, так что о,())ю ..., р„+,) =у~го(сь ..., с„а) для 1.<! <и+1. Подставляя полученные выражения в г„(с,, ..., с„, г), получа г„!сь ..., с„, г) = г"+' — 6)П(сь..., с„, а) г" + г ! — 1) к! '(сп ..., с„, а)г+( — 1)"4'а й!ногочлены 6» (хь ..., х„,а), 1 . !<и, являются многочленами от х,, ..., х„, а над Л и, таким образо' являются многочленами над полем ~'ч от переменных х„..., х ' Последние многочлены называются многочленами Диксона от переменных над полем Кч. Это определение можно сделать с держательным для любого коммутативного кольца )7 с единице ' Выберем а Р Д.
Если и: — 1, то многочлен дьепп (хь а) совпада с многочленом Диксона от одной переменной, определенным фо музой (7.6). Явное выражение для многочленов дч (х„..., х„, а) мож и> получить из формулы Варинга (см, теорему 1.76). Наприме для и -=- 2 получаем 6~~ ~(х, у, а) = 1Ю21 1Ф!31 и-О' !'~ — ' — ч)('-~-!) ес-~-3!<л Через и„(а) обозначим систему, состоящую из многочлено дД~ (хь ..., х„,а), ..., д~~,"~ (хь, х„а1. Справедливо следу щее обобщение теорем 7.16 и 7.8 (и).
7.46. Теорема. Если а Р Ц, то система дч(а) являе ортогональной системой многочленов над полем г тогда и толь ' тогда, когда НОД (й, д' — 1) = 1 для всех з = 1, 2, ..., и +г Комментария Еистелга у„(0) ортогональна над г"ч тогда и только тогда, когда НОД (я, д* — !) = 1 для всех в =- 1, 2, ..., и. Как было установлено выше, каждый многочлен, входящий в ортогональную систему ук (а), является перестановочным много- членом от и переменных над полем !!'ч. Другой класс перестановочпых многочленов от нескольких переменных можно получить, рассматривая линейные и квадратичные многочлены.
Заметим, во-первых, что свойство быть перестановочным многочленом над полем т ч инвариантно относительно любых преобразований переменных вида х,= ~;аыу,+Ь„1(,г(п, г=г (7.26) Комментарии в !. Изучение перестановочных многочлеиов как таковых было начато в работе Эрмита (Неггп!!е 121), где рассматривался случай конечных простых полей. Отдельные результаты из числа ггервых в этом направлении можно также обнаружить в работах "огдап С. !21, дегте! !21. Перестановочные многочлены произвольного конечного поля впервые изучались в работе Диксона ()!с)гзоп 12). Основные результаты, полученные в этой работе, можно также найти в монографии Р!с)гзоп 17, раг! 1, с)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
