Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Подставляя (4.6) в граничное условие (4.5), получаем а — +ро ~ =О. до дл роР1 '(Т'1 = — ТТ о, которое после деления на роТ принимает вид Р~[Т[ Ьо (4.7) Т(О Р(М) о(м) Левая часть тождества (4,7) зависит только от Г, правая— только от М. Поскольку 1 и М вЂ” независимые переменные, а тождество выполняется при всех М~0 и ()О, то оно справедливо только в том случае, когда обе его части равны некоторой постоянной, которую обозначим — Л (ничего не предполагая о знаке Л): Таким образом, для определения функции о(М) получаем задачу, которая также называется задачей Штурма — Лиувилля: найти те значения параметра Х, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (л+)рп=О, и -- О в Р, (4.8) (4.
9) 3. Собственные функции ортогональны между собой в области Р с весом р(М): ~ п„(М) и (М) ос(г' = О, и ~ т. и 4. Теорема разложимости Стеклова. Произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в Р функция )(М), удовлетворяющая граничному условию (4.9), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям данной краевой задачи; чдовлетворяющие однородному граничному условию сс — +рп ! =О. дг дв Эти значения параметра Л называются собственными значениями оператора Р в области Р с граничным условием (4.9), а соо|ветствующие им ненулевые решения — собственными функциямн задачи (4.8) — (4.9).
В дальнейшем будет показано, что поставленная задача Штурма — Лиувилля (4.8) — (4.9) имеет решение. Будут также указаны некоторые простейшие области, для которых собственные функции выписываются явно, хотя при этом и требуется введение специальных функций.
Сейчас перечислим свойства собственных значений и собственных функций, поскольку они нам необходимы для изложе, ния метода разделения переменных. 1. Существует бесконечное счетное множество собственных значений (л„) и собственных функций (п.(М)); собственные значения 1., при увели1ении номера и неограниченно возрастают. Каждому собственному значению соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций, т. е.
ранг всех собственных значений конечен В дальнейшем будем считать, что в последовательности ().) каждое собственное значение повторяется столько раз, каков его ранг. 2. При 4~0 собственные значения задачи Дирихле (а=О, р=!) положительны: Х„) О при всех и. 48 о„(М) и„, (М) рс('г' = б„„, = ~ !О, п~т Рассмотрим теперь уравнения для Т(!) при фиксированном значении Х„: Р,(Т)+Х„Т=О, Т=Т,(!). Для Т(!) получено обыкновенное линейное дифференциальное уравнение т-го порядка. Следовательно, его общее решение имеет вид (4.10) Т„(!) = ~ С„,Т„,(Г), гьа где С~; — произвольные постоянные, Т.;(!) — фундаментальная система решений. Будем считать, что фундаментальная система решений (Т„!(!)), /=О, 1, „,, пг — 1, удовлетворяет начальным условиям Дй Т„з(!)(с,=бы, А=О, 1,...,гл — 1. (4.! 1) Таким образом, вспомогательная задача (4.4) — (4,6) решена и найдена бесконечная счетная система решений и (М, !) =и„(М, I) =п„(М) Т„(!), (4.12) где и (М) — собственная функция, Т„(!) определена соотношением (4.1!).
Решение и(М, !) исходной задачи (4.1) — (4.3) будем искать в виде разложения в ряд по системе (4.!2): й и(М, Г) =~)~ Т„(!) е„(М) =у ) С„;Т„;(!) с„(М). (4.13) а=~ — ~ !т=а Из начальных условий (4.3) для коэффициентов С„; получаем Слхпл(М)=(рд(М), 1=0„1,...,ш — !. (4.14) л=! Умножая (4.14) на р(М)п (М), интегрируя по В и используя ортонормнрованность собственных функций, определяем коэффициенты С л. С „=«р ) = ~ р (М)в (М)рог. о (4.15) 49 Итак, пусть задача Штурма — Лиувилля (4.8) — (4.9) решена.
Обозначим через (Х„), собственные значения и через (и. (М))~ ортонормированные собственные функции данной задачи Штурма — Лиувилля "Таким образом, формальное решение задачи (4,1) — (4.3) имеет .вид (4.13), где С,г определяются соотношениями (4.15), Если функции фь(М) удовлетворяют условиям, при которых ряд (4.13) можно нужное число раз почленно дифференцировать по М и 1, то ряд (4.13) дает классическое решение поставленной задачи.
Эти исследования в общем виде мы проводить не будем. Для простейших случаев уравнения теплопроводности и уравнения колебаний они будут проведены позже. Выпишем выражения функций Т,(г) для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами 1 ди ч)= —— а2 д1 "Следовательно, уравнение (4,9) имеет вид Т„-1- а'Л,Т„=О :и его общее решение Т„(1)=С„е ' .Для уравнения колебаний с постоянными коэффициентами 1 д~и И ай дн Уравнение (4.9) принимает вид Т„+ а'Л„Т„= О ги его общее решение Т„(1) =С„,сова)Г~.„1+С„, "" а у'Лп й а. метОд РАзделения пеРеменных для НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ (5.2) ,50 Теперь рассмотрим метод Фурье решения неод- нородного уравнения с нулевыми граничными и начальными условиями (задача (1.7) ): рР,(и) =(и+~ в Я, сс — +))и ! = О, (а) + 1Р( чь О, дл — ! =О, А=О, 1, ...,т — 1. (5.3) дм ~с=о Основу метода разделения переменных составляет задача .Штурма — Лиувилля.
Будем считать, что она решена. Обозна- чим (Л,) и (о„(М)) — собственные значения и ортонормированные собственные функции задачи Штурма — Лиувилля (4.8)— (4.9) . Решение задачи (5.1) — (5.3) будем искать в виде разложения по собственным функциям: и (М, 1) = ~ и„(~) о„(М), и=1 (5 4) коэффициенты и„(1) которого, естественно, зависят от переменной й Функции и (4) нужно выбрать так, чтобы ряд (5.4) удовлегзорял уравнению (5.1). Формально подставляя (5.4) в уравнение (5.1), получим <Ю ) (Р, [и„]+Л„и„) ро„(М) =/ (М, 1).
л=1 (5.5) Уравнение (5.6) для коэффициентов Фурье и (() можно получить и другим путем, не предполагая возможность почленного дифференцирования ряда (5.4). Для этого уравнение (5.1) умножим на о (М) и проинтегрируем по области 0: ~ ро,„Р [и] др= ~ о )ий(7+~ [о„с(г'. о о В (5.7) Согласно второй формуле Грина (2.4), учитывая однородные граничные условия на поверхности 5, имеем ~ о„Е.ис(У = ~ и(.о йг'= — Л,„~ ио рсП/= — Л и (1).
и и и Поскольку коэффициенты оператора Р~[и] не зависят от М, то ро Р,[и]~Л/ =Р, ~~ ио„р~П71 =Р,[и ]. Поэтому из (5.7) получаем Р,[и„]+Л и,„=7 (г). Изложенный метод получения соотношения (5.6) называется энергетическим, или методом Галеркина. Он часто используется при построении различных алгоритмов численного решения краевых задач. Домножив (5.5) на о (М) и проинтегрировав по Р, получим Р,[и„,]+Л„,и =7 (Г), (5.6) где ~„(г) = ~ ~ (М, 1) о„(М) Я~. о Подставляя (5.4) в начальные условия (5.3), имеем — (О) = О, й = О, 1,..., т — 1.
(5.8) Таким образом, для каждой функции и„,(С) (т=1, 2, „,, оо) получаем задачу Коши (5.6), (5.8), решение которой можно .записать в виде и„, (с) = ~ К,„(с, т) /„, (т) с(т, о (5.9) = '1 )„К. (С т) 11(Ю т) с. (с) с(1'ап. (М) с(т = о л=! Обозначим б(М, Я; Г, т)=~' К,(с, т)с!„(М)п„(Я). (5.!0) и=! Тогда сс(М, с)=-~ ~ 6(М, Я; 1, т)~(с;с, т)сУос(т. (5.11) о и Определение.
Функция Сс(М, Я; г, т) называется функцией влияния точечного источника, или функцией Грина. Формула (5.10) показывает, что она может быть построена в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма †Лиувилля. Вопросы существования функции Грина и представимости ее в виде разложения (5.10) здесь при изложении формальной схемы метода Фурье обсуждать не будем. Для конкретных начально-краевых задач эти вопросы будут рассмотрены в следующих главах курса. Соотношение (5.11) дает представление решения задачи (5.1) — (5.3) через функцию Грина.
Из формулы (5.11) следует, .52 тде К (Г, т) — импульсная функция уравнения (5.6). Подстав.ляя (5.9) в (5.4), получим формальное решение задачи (5.1)— (5.3). Исследования условий, при которых формула (5.4) дает классическое решение, мы здесь не проводим. Преобразуем решение (5.4). Подставим (5.9) в (5.4) и изменим порядок интегрирования и суммирования: и (М, С) = ) 'у К„ (С, т) 1„ (т) и„ (М) с1т = о й=! где 1(м, 1)=1.'г' — рРс*1)71.
Задача (6.3) может быть решена из- ложенными выше методами, поскольку она может быть разби- та на две задачи: и=и,(м, 7)+и, (м, 7), решения которых рассмотрены в 5 4 и 5. й 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В случае эллиптического уравнения метод Фурье превращается в метод разложения решения по собственным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувнлл». Рассмотрим краевую задачу йи+си= — 1 в области 0 (7. 1) а — + () и ~ = О, ! сс ) + ( Р ( ~ О, дв (7.2) где 7.и=б1ч(йдгас)и) — с7и, с=сонэ(. Пусть ()с„), и (о„(м))," — системы собственных значений и ортонормированных собственных функций следующей задачи Штурма — Лиувилля: 1.о-(-Хо=О в В, сс — +Ро ~ =О, )а(+ (~( чь О, дп о(м) ~ О. (7.3) Заметим, что собственные функции задачи (7.3) ортогональны с весом р(м)=1.
Решение задачи (7.1) — (7.2) может быть разложено по собственным функциям: ОО и (М) = 1) а„о„(м), а„= ~ ио„с1'г', и=! о (7.4) 54 с однородным граничным условием рр, [и,) =ш,+~, а — '+~ис~ =О, дв й=о, 1,...,т — 1, Коэффициенты а„разложения (7.4) определим энергетическим методом. Для этого уравнение (7.1) домножим на о„(М) и проинтегрируем по области Р; ~ о„!.и)(г'+ с ~ о и)()г' = — ~ о„1сЦ/. о о о Используя вторую формулу Грина и учитывая однородные граничные условия (7.2), отсюда получаем (7.6) (Մ— с) а„=1„, л=1, 2,..., оо, где )„= '1 1о„с(')'.
о Из соотношения (7.6) вытекают следующие утверждения. 1. Пусть сФХ„при всех л. Тогда х!! н решение принимает вид ОО и(М)=)у1 " о„(М), (7.7) 4 ю4 )!!! л=) В этом случае решение единственно. 2. Пусть при п=л, 1))~) =с, где 1=1, 2,...,р, р — гапи1,. Если ~))~ ~О, то соотношение (7.6) при п=л, теряет смысл. Это означает, что в этом случае ()'„,) ФО) задача (7.1), (7.2) решения не имеет. Если же 1„,) =О, для всех 1=1,2, ..., р, то все коэф- А) фициенты а„, кроме а„,, определяются однозначно: '(и 1п а„= ", пчел„ Х„вЂ” с коэффициенты а)м неопределенны, и решение принимает вид „(М)+~~" а„' !"'(М), и с Л~Л~ й=-! где р=гапдХь, а!") — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
