Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Например, мембраной в некоторых слу- чаях можно считать плоскую пластину, толщина которой мала по сравнению с двумя другими измерениями. Уравнение, описывающее малые поперечные колебания мем- браны, можно вывести методом, аналогичным тому, которым было получено уравнение (1.18), описывающее малые попереч- ные колебания струны. Обозначим через и(х, у,1) величину по- перечного смещения точки М(х, у) мембраны в момент времени Если рассматривать малые поперечные колебания мембра- ны, при которых смещение происходит перпендикулярно плос- кости мембраны (х,у) и при которых квадратами величин и„ и и„можно пренебречь, то уравнение малых поперечных коле- баний мембраны будет иметь вид Р(х, У) ии=Т, (и„„+и,т)+1(х, У, 1), где р(х, у) — поверхностная плотность мембраны, Т,— натяже- ние, 1(х, у, 1) — плотность импульса внешней поперечной силы, действующей на мембрану в точке М(х, у) в момент времени й Пусть в положении равновесия мембрана занимает область 0 плоскости (х, у), ограниченную контуром Г.
Как и в одномерном случае, для однозначного определения процесса колебаний мембраны необходимо задание начальных и граничных условий. Например, если граница Г мембраны движется заданным образом в поперечном направлении, то гра- ничное условие имеет следующий вид (граничное условие пер- вого рода, или условие Дирихле): и (х, у, Г) = р (х, у, 1), (х, у) ~ Г, 1 ~ (О, Т), где м(х, у, Г) — заданная функция. В частности, при 1х(х, у, 1) = = — 0 получается условие закрепленной границы мембраны.
Если к границе приложена заданная поперечная сила, то приходим к граничному условию второго рода, или условию Неймана (х, у, Г) =р(х, у, 1), (х, у) ен Г,,'ев 10, Т], да д где означает производную по нормали к контуру Г, лежащей дя в плоскости (х, у). В частности, при )х(х, у, 1) — = 0 имеем усло- вие свободной границы. Если же граница Г мембраны закреплена упруго и при этом движется по заданному закону в поперечном направле- нии, то граничным условием является граничное условие треть- его рода, связывающее значение функции поперечного смеще- ния и(х, у, Г) и ее нормальной производной: а(х, у) — (х, у, 1)+р(х, у) и(х, у, 1) =р(х, у, 1), (х, у) а— е Г, дя ! сп [О, Т)1, где а(х, у) и 8(х, у) — заданные на контуре Г функции Разумеется, в зависимости от реальных физических задач граничные условия могут быть и более сложного вида, в частности нелинейные и содержащие производные высших порядков, но мы в дальнейшем ограничимся условиями Дирихле, Неймана и третьего рода.
Таким образом, начально-краевая задача, описывающая процесс малых поперечных колебаний мембраны, ставится следующим образом: рии= Т,(и,„-~-и„„)+~(х, у, 1), (х, у) я О, ! >О, и(х, у, 0)=ф(х, у), и,(х, у, 0) =-ф(х, у), (х, у) ~0, а(х, у) — (х, у, 1)+р(х, у) и(х, у, ~) =р(х, у, ~), ди (х, у) ев Г, г > О. 2) Уравнения малых акустических колебаний в сплошной среде. Во многих задачах газодинамики можно не учитывать молекулярную структуру газа и рассматривать газ как сплошную среду. Иными словами, говоря о бесконечно малых элементах объема, подразумевают, что объем мал по сравнению с характерным размером системы, но содержит очень большое число молекул. Аналогично, когда говорят о движении частицы газа, то имеют в виду не движение отдельной молекулы газа, а смещение элемента объема, содержащего много молекул, но рассматриваемого в газодинамике как точка Пусть газ движется со скоростью ч(М, Г) =ч(х, у, г, ~), проекции которой на оси координат обозначим и„, и„и и,.
Заметим, что ч(М, г) есть скорость газа в данной точке М(х,у, г) пространства в момент времени 1, т. е. относится к определенным точкам пространства, а не к определенным частицам газа, перемещающимся в пространстве. Введем также плотность газа р(М, (), давление р(М, г) и плотность внешних действующих сил Г(М, г), рассчитанных на единицу массы.
При таком способе описания говорят, что задача рассматривается в координатах Эйлера. Получим прежде всего уравнение движения газа. Обозначим через ЛУ некоторый объем газа, ограниченный поверхностью Л5. Равнодействующая сил давления, приложенных к поверхности Л5, равна — ) рябо, где и — единичный вектор внешней нормали и поверхности Л5. 19 Для преобразования этого интеграла воспользуемся форму.лами Остроградского *' р со5 (и, х) е(о = ~ — г(», г др дх 5 р соз (и, у) оЬ = 1 — г)У, до ду до р со5 (л, г) е(о = — ~ е(У.
дг Поскольку рп=(рсоа(п, х)+)рсоа(п, у)+крсоз(п, г), где 1 (т — единичные векторы ортонормированного базиса, умножая первую формулу на 1, вторую на 1, третью на (т и складывая, получим ~ рпг(о= ~ игабрМ. аз лч С учетом последней формулы уравнение движения для объема .газа ЛУ в интегральной форме имеет следующий вид: р — о(У= — ~ йгабрг(У+ ~ рГо(У ач а» ач (1.20) дч Вычисляя ускорение — некоторой частицы газа, нужно учесть дт перемещение самой этой частицы.
Траектории отдельных час- тиц газа определяются уравнениями дх ду да — — =о„, — =»г, да дг " й откуда Юч дч + дч дх+ дч дч =- — +— дг дх (1.2!) где оператор чтг определяется следующим образом: д д д ч т7 =о, — +о„— +о, —, * дх " ду ' дг Предполагая, что все функции, входящие в формулу (1.20), являются достаточно гладкими, применяя формулу среднего ' См И а ь и н В А, П о з н и к Э Г Основы математического анализа Ч 2 М: Наука, щ80 го дх дг дч ох+ — о + ду дч ду дч дг ду й дг дт дч д» вЂ” ох = — +(ч т7) ч, дг дг значения и переходя к пределу, стягивая объем АУ в точку, получим, учитывая (1.21), уравнение движения газа в форме Эйлера 1 и, + (ч тг)ч = — — дгаб р+ Г. Р Выведем теперь уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения вещества. Пусть в выделенном объеме ЛУ отсутствуют источники и стоки 'газа.
Тогда изменение в единицу времени количества газа, заключенного внутри объема ЛУ,равно потоку газа через границу: — ( рсЬ= — ( рчпйп. Преобразуя правую часть последней формулы по формуле Остроградского ~ рчп сЬ= ~ б1ч(рч)с$', ьз дг будем иметь ~ ( Р +б!ч(рт)~ Л'=О. ди К полученному уравнению движения газа и уравнению непрерывности необходимо добавить термодинамическое уравнение состояния, которое мы запишем в общем виде: Р=с(р), где С вЂ” заданная функция. В результате получается система пяти скалярных уравнений относительно пяти неизвестных функций о, и„, щ, р и Р: — +(ч т7) т=à — — ягабр, дч 1 д1 Р (1.22) — Р + и! ч (рч) = О, дР Й (1. 23) (1. 24) Система уравнений (!.22) — (1.24) представляет замкнутую си- стему уравнений газодинамики.
21 Применяя формулу среднего значения и переходя к пределу, получим уравнение непрерывности д1 Р +йч(рч) =О. Колебательные движения в газе с малыми амплитудами называются звуковыми волнами. В каждой точке звуковой вол- ны происходят поперечные сжатия и разрежения газа. В силу малости колебаний в звуковой волне скорость ч в ней мала, так что в уравнении (!.22) можно пренебречь члед"х нами второго порядка вида с,— и т. д. По той же причине дх относительные изменения плотности и давления газа также малы. Положим р(М, ()=р,(М)+р, р(М, Г)=р,(М)+р, где р,(М) и ра(М) — равновесные значения давления и плотности газа, а р(М, г) и р(М, 1) — их изменения в звуковой волне, причем р«рм р«рм Величина р(М, 1) называется звуковым давле- нием.
Пренебрегая в системе (1.22) — (1.24) членами второго по- рядка, получим линеаризованную систему уравнений. функцию С(р) разложим в ряд по степеням р и учтем члены первого по- рядка. В результате получим р, + р = С (о,) + С' (о,) р и, поскольку р,=С(р,), Р= — С (Рю) Р. Таким образом, замкнутая система малых акустических колебаний в сплошной среде имеет внд ро = — дгаб р+ р,р, дч д~ (1.25) вз — ~+йч(ргч) .=-О, (1.26) дг р=С (р,)р. (1.27) Получим теперь уравнение относительно функции р(М, ~) Продифференцируем уравнение (1.26) по и оп -1- йч (р,ч,) = 0 и подействуем оператором йч на уравнение (1.25); йч (р,ч,) = — й ч нгаб р+ йч (р,г).
Наконец, в линейном приближении из (1.27) получим нгаб р =- С' (р,) нгаб р. Обозначим л(М)=С'(р,) и )(М, г)= — б(ч(р,г). Тогда из трех последних уравнений получим уравнение второго порядка относительно функции р(М, 1): о„= йч (й (М) нгаг) р) +,г (М, Г). (1.28) Уравнение (1.28) является уравнением колебаний в трехмерном случае. Оно часто называется уравнением акустики. В случае адиабатического процесса уравнение газового состояния имеет вид Р = Ро + Р = Ро ( ) = Ро ( 1 + ) — Ро'( ) + У ) . откуда Р= У вЂ” Р. Ро Сравнивая (1.29) с (1.27), получим р. (и) Ро (М) (1.29) 3) Уравнения Максвелла.
В качестве третьего примера рассмотрим систему уравнений Максвелла в однородной и изотропной среде. В системе СИ уравнения Максвелла имеют вид го( Н = + 1+ 1~" ~, (1.30) д~ го( Е= —— дв д1 (1. 31) о((ч0 =р, б(чВ=О, (1.32) (1.33) где 1 — плотность тока проводимости, )ь о — плотность тока сторонних сил, р — плотность объемных зарядов.
К уравнениям (1.30) — (1.33) добавим материальные уравнения 0=е,Е, В=р,Н, (1.34) где е.=еое — абсолютная диэлектрическая проницаемость, е — от! носительная диэлектрическая проницаемость, е,--= — 1О Ф(м Зчп электрическая постоянная, р,=ром — абсолютная магнитная проницаемость, и — относительная магнитная проницаемость, ро=4п 10 ' Г!м — магнитная постоянная. Плотность тока проводимости 1 связана с вектором Е уравнением, выражающим закон Ома в дифференциальной форме: (1.35) )=оЕ где о — проводимость среды. ср где постоянная у †показате адиабаты у = †; ср — теплоемкость с. ' при постоянном давлении; с,— теплоемкость при постоянном объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
