Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Например, он может быть жестко закреплен (стержень заделан в стену) нли же двигаться по определенному закону (стержень жестко прикреплен к плите, совершающей заданное движение). Математически это условие записывается следующим образом: и(0, 1) =)ь(1), О( У(Т, (1 9) где Т вЂ” некоторая постоянная, а 1с(1) — заданная функция Условие (1.9) называется граничным условием первого рода, или условием Дирихле. В частности, если функция р(1) тождественно равна нулю, что соответствует жестко закрепленному левому концу стержня, то граничное условие (1.9) называется однородным граничным условием первого рода, или одно- *' См Тихонов Н. А, Васильева А Б, Свешников А Г дифференциальные уравнения.
М: Наука, г985 Гв родным условием Дирихле. Если же функция р(!) отличается от нуля, то условие (1.9) называется неоднородным граничным условием первого рода, или неоднородным условием Дирихле. Если задан закон изменения силы !(!), приложенной к левому концу х=О стержня и действующей в продольном направлении, то, используя закон Гука, граничный режим на этом конце можно записать следующим образом (напомним, что й(х) — коэффициент упругости стержня): й(0) и„(0, г) =!(г) и„(0, !) = т (Г), 0 < ! <Т, (1.10) где ч(!) = !(!) — заданная функция. ! ь (О) Условие (1.10) называется граничным условием второго рода, или условием Неймана.
Если ч(!) =— О, то условие (1.10) называется однородным граничным условием второго рода, или однородным условием Неймана. Физически это условие означает, что левый конец стержня свободен: к нему не приложена внешняя сила, и он не закреплен. Пусть, наконец, левый конец стержня закреплен упруго, например с помощью пружины, коэффициент жесткости которой равен а. Сила упругости, 'стремящаяся вернуть левый конец стержня в положение равновесия, согласно закону Гука пропорциональна смещению аи(0, !).
Граничный режим можно записать следующим образом: й(0) и„(0, г) = — ии(0, !) или и„(0, ') — Ьи(0, !) =О, 0(1 <Т, (1.! 1) где А=а/й. Условие (!.11) называется однородным граничным условием третьего рода. Возможно задание при к=О линейной комбинации упругого закрепления и смещения. Например, стержень с помощью пружины может быть прикреплен к плите, которая перемешается по некоторому закону, определяемому функцией т(!), параллельно стержню. В этом случае получается граничное условие следующего вида; и„(0, !) = Ь (и (О, !) — ч (г)) илн и„(0, !) — лп(0, !)=р(г'), 0(г(Т, (1. 12) где и(!) = — йт(!) — заданная фуниция.
Условие (1.!2) называется неоднородным граничным условием третьего рода. Разумеется, физическая постановка задачи может приводить и к более сложным граничным условиям, в частности не линейным. Такие условия возникают, например, при упругом закреплении, не подчиняющемся закону Гука. Если натяжение на левом конце стержня является нелинейной функцией смещения и(О,Е), то граничное условие примет вид и„(0, с)= — Р)сс(0, Е)), а (О) где Р(и(0, Е)) определяет упругую силу, приложенную к левому концу стержня и действующую в продольном направлении.
В граничное условие могут входить производные функции по Е. Например, если к концу пружины прикреплена пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси пружины, и конец пружины испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости его движения, то граничное условие записывается в виде й(0) и„(0, 1) =аис(0, Е), 0(Е(Т, где а — коэффициент сопротивления среды. Аналогичные граничные условия становятся на правом конце стержня.
При этом возможны комбинации различных граничных условий на правом и левом концах стержня. Граничные условия могут включать и производные порядков выше первого. Пусть, например, упругий стержень длины Е расположен вертикально и его верхний конец закреплен неподвижно (заделан в потолок). К нижнему концу стержня прикреплен массивный абсолютно жесткий (т. е, недеформируемый) груз М. Груз находится на площадке и не растягивает и не сжимает стержень. В начальный момент времени Е=О плошадку убирают.
Предположим, что масса стержня т много меньше массы груза М и действием силы тяжести на стержень можно пренебречь. Направим ось х вдоль стержня, так что его верхний конец будет иметь абсциссу х=О. Тогда на верхнем конце стержня х=О граничным условием будет однородное условие Дирихле и(0, Е) =О, Е е— : )О, Т), а граничное условие на нижнем конце стержня х=Е имеет вид — им (Е, Е) = — Ес (Е) 5и, (Е, Е) + М, Е ~ [О, Т), Я где 5 — плошадь поперечного сечения стержня.
В дальнейшем мы будем говорить о трех основных типах граничных условий первого, второго и третьего рода. Рассмотрим, например, нагруженный стержень с приложенной к нему внешней силой, всем точкам которого в начальный момент времени Е=О задаются некоторые смешение и некоторая скорость. Пусть левый конец стержня упруго прикреплен к движущейся точке закрепления, а правый конец движется по заданному за- кону.
Сформулируем математическую задачу, описывающую процесс движения такого стержня: пи =а'и„,+1(х, Г), 0 <х<1, 0<1< Т, и(х, 0) =~р(х), и,(х, 0) =ф(х), 0<х< 1, и„(0, 1) — Ьи(0, 1) =р,(~), (1.13) и (1, 1) = р, (Г), О < к < 7, где р(х, 1), ~р(х), ф(х), 1г,(1), и2(г) — заданные функции, а, ь— постоянные коэффициенты. Задача (1.!3) называется начально-краевой задачей. 2. Малые поперечные колебания упругой струны р»с !! Следовательно, в пределах принятой точности удлинения участка струны в процессе колебаний не происходит. Поэтому в гз Получим дифференциальное уравнение, описывающее процесс малых поперечных колебаний упругой струны. Пусть в состоянии равновесия струна длины ! расположена вдоль оси х и занимает положение от точки х=О до точки х=й Будем рассматривать случай малых поперечных колебаний струны, причем будем считать, что смещения струны расположены в одной плоскости.
В этом случае процесс колебаний струны можно описать с помощью функции и(х,1), представляющей собой поперечное смещение точки струны с координатой х в момент времени й Струну будем рассматривать как гибкую упругую нить, не оказывающую сопротивления изгибу, но сопротивляющуюся растяжению. Напряжения, возникающие в струне в рассматриваемом случае, направлены по касательным к ее мгновенному профилю (рис. !.1). Поскольку рассматриваются малые колебания, то возникающие в струне напряжения определяются законом Гука.
г Кроме того, в силу малости х колебаний будем учитывать лишь члены первого порядка малости (и„т(х,г)((1). С х хклх 1 х Подсчитаем удлинение участка струны (х, х+Лх) в момент времени б Длина дуги этого участка равна к ~-Лк 5= '1 '!с 1--и»(х; 1)с(х Лх. силу закона Гука величина натяжения Т в каждой точке не изменяется со временем.
Проекции натяжения на оси х и и равны Т, =- Т(х)соса = ' Т(х), Т !х) (!.1 4) )г 1+ и„ Т„= Т (х) 8!и а == Т (х) 1я а = Т (х) и„ (1.15) где а — угол между касательной и кривой и(х, 1) и осью х. Так как рассматриваются поперечные колебания, то следует учитывать силы инерции и внешние силы, направленные лишь вдоль оси и. Поэтому сумма проекций сил, действующих на выделенный участок (х, х+Лх) струны вдоль оси х, равна Т,(х) — Т (х+Лх)=О, т.
е. с учетом (1.14) получим Т(х)=Т(х+Лх). В силу произвольности точки х струны натяжение не зависит от х, т. е. Т(х) =То. Для вывода уравнения, описывающего поперечные колебания струны, воспользуемся вторым законом Ньютона, согласно которому изменение количества движения выделенного участка струны Лх за время Л1 равно импульсу сил, приложенных к этому участку. Обозначим через р(х) линейную плотность струны, а через 1(х,1) плотность импульса внешней поперечной силы, приложенной к струне.
Тогда для участка Лх струны второй закон Ньютона запишется следующим образом: "тд" (и!Я, 1+ Л!) — игД, 1)) рЯ)с$=- з-~дз Гтд! гч-дг Та(и„(х-1-Лх, т) — и„(х, т))с(т-,- ') '! !($, т)гас(т. (1.16) г з Предположим теперь, что функция и(х, 1) дважды непрерывно дифференцируема по х и 1, а функция 1(х,1) непрерывна. Тогда, применяя к формуле (!.16) теорему о среднем и формулу конечных приращений" !, получим и„(х', 1') р(х*) Л1Лх= Тви„, (х", 1") Л1Лх и) (х**', 1***) Л1Лх, (1.
17) где х', х"*, х"'я (х, х+Лх), 1* 1 1 * ~(1, 1+Л1). Сократив обе части формулы (1.17) на Л(Лх и переходя к пределу при Л1 -О и Лх- О, получим в силу сделанных предпо- " См Ильин В. д, Пози як Э Г. Основы математического анализа с! ! .Ч: Наука, !982. !а ложений о непрерывности вторых частных производных функ- ции и(х, (): о (х) и„(х, () = Т,и„„(х, () —,) (х, (). (1.18) Если плотность среды постоянная р(х) =Р,, то уравнение (1.!8) обычно записывается в виде (1.1 9) где а'= —, Т= — 1. 70 ! Ро Рв Уравнения (1.18) и (1 19) так же как и полученные ранее уравнения (1.7) и (1.8), представляют собой простейшие примеры уравнений колебаний. Из физических соображений ясно, что, как и в случае малых продольных колебаний упругого стержня, для однозначного определения процесса малых поперечных колебаний упругой струны к уравнениям (1.18) нлн (1.19) необходимо добавить дополнительные условия — начальные и граничные.
Начальные условия задают в начальный момент (=О профиль струны и скорость всех точек струны. Граничные условия определяются способом закрепления концов струны. Эти условия могут включать производные высших порядков по х и по (, быть линейными или нелинейными. В частности, в зависимости от способа закрепления концов струны можно рассматривать граничные условия первого рода (условия Дирихле), граничные условия второго рода (условия Неймана) и граничные условия третьего рода. Общая начально-краевая задача, учитывающая различные комбинации граничных условий на правом и левом концах, ставится следующим образом: Ри(, — — Т,и„+1(х, (), х е= (О, (), ( е= (О, Т), и (х, 0) = ~Р(х), и,(х, 0) =- ф (х), х гв [О, 1~), ар„(0, ~)+~,и(0, () =)г,((), а,и„(1, ~)+~,и(1, () =р,((), (е= [О, Т[, причем коэффициенты а, и 8, ((=1,2) не обращаются в нуль одновременно.
При а,=О, 8,ФО на левом конце получается граничное условие Дирихле, при а1~0, 81=0 — условие Неймана, при а1~0, 8,~0 — условие третьего рода. Аналогично на правом конце при аз=О, 8зМО получается граничное условие Дирихле, при а,ФО, ~з=Π— условие Неймана, при аз~О, 8,чьΠ— условие третьего рода. 3. Случай многих пространственных переменных 1) Малые поперечные колебания мембраны. В качестве первого примера рассмотрим уравнение, описывающее малые поперечные колебания мембраны. 17 Мембраной называется натянутая плоская пленка, не со- противляющаяся изгибу или сдвигу, но оказывающая сопро- тивление растяжению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
