Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Свойства собственных значений и собственных функций 3 Теорема Стеклова 4 2 Свойства решений уравнения Гельмгольца !. Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца 2 Формулы Грина 3 Потенциалы уравнения Гельмгольца 4 Принцип максимума для уравнения Ьи — х'и=О 3 3. Внутренние задачи для уравнения Гельмгольца 1. Внутренняя задача для уравнения ба †'и=О 2. Вторая и третья краевые задачи для уравнения би — х'и=О 3 Краевые задачи для уравнения би+йзи=О в 4 Функция Грина краевых задач для уравнения Гельмгольца 3 5. Задача для уравнения ба †'и= †! в неограниченной области й 6. Задача для уравнения Лич-йзи= — 1 в неограниченной области 1.
Условия излучения 2. Принцип предельного поглощения 254 256 259 26! 265 267 267 268 270 272 277 280 281 281 284 286 286 287 291 292 295 297 298 303 307 307 310 3!3 314 317 319 319 3!9 321 323 326 326 330 331 332 333 333 334 335 336 338 339 339 345 ПРЕДИСЛОВИЕ Курс математической физики занимает значительное место в общей математической подготовке студентов физических факультетов университетов.
По этому курсу за многие годы было создано большое число первоклассных руководств, начиная с классических книг В. А. Стеклова, Д. Гиль- берта и Р. Куранта и сыгравших огромную роль в становлении университетского курса учебников А. Н. Тихонова и А. А.
Самарского, С. Л. Соболева, В. С. Владимирова и ряда других. Однако все эти книги содержат материал, во многом превосходящий возможности лекционных курсов, определяемых ныне действующими учебными планами, и не всегда акцентируют внимание изучающих их студентов на стержневых вопросах курса. В предлагаемых вниманию читателей лекциях сделана попытка дать по возможности компактное изложение материала, составляющего основу действующей университетской программы. Определенное внимание уделено роли методов математической физики при математическом моделировании физических процессов, интерпретации не только решений конкретных задач, но н используемых методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих реальные физические процессы.
Вводная глава посвящена рассмотрению наиболее характерных физических задач, математические модели которых представляют собой начально-краевые задачи математической физики. Традиционно большое место в курсе занимает изложение метода разделения переменных решения начально-краевых задач, при котором естественно возникает необходимость рассмотрения специальных фу.нкций, являющихся решением задач Штурма — Лиувнлля. Изучению свойств ряда наиболее широко используемых при решении конкретных задач специальных функций, в частности классических ортогональных полнномов, посвящена отдельная глава курса. В лекциях затрагиваются и такие вопросы как применение обобщенных функций в матемагнческой физике, построение автомодельных решений квазнлинейных уравнений, описывающих режимы с обострением, исследование нелинейных колебаний.
Авторы лекций в течение многих лет читают данный курс студентам физического факультета Московского университета. Глава ! ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ПОСТА НОВ КА НАЧАЛ Ь НО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ При исследовании реальных физических процессов и явлений методами математического моделирования одним из важных этапов является формулировка математической модели, т. е. четкая постановка математической задачи, достаточно адекватной исследуемому кругу физических явлений Весьма широкий класс математических моделей, описывающих физические явления, представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных.
В этой главе рассматриваются наиболее типичные физические задачи, математическими моделями которых служат начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. 5 С ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ВОЛНОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ 1. Малые продольные колебания упругого стержня Рассмотрим упругий стержень длины 1, расположенный в состоянии равновесия вдоль оси х от точки х=О до точки х=й Будем рассматривать малые продольные колебания стержня, при которых напряжения, возникающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука.
Тогда стержень можно рассматривать как абсолютно упругий. Поскольку рассматриваются продольные колебания упругого стержня, то все точки одного сечения испытывают одно и то же смещение. Обозначим через и(х, Г) продольное смещение в момент времени г сечения стержня, характеризующегося абсциссой х в состоянии равновесия. Выбранная нами геометрическая переменная х называется переменной Лагранжа. В переменных Лагранжа каждая физическая точка стержня в течение всего рассматриваемого процесса характеризуется одной и той же геометрической координатой х.
Физическая точка, занимавшая в начальный момент в состоянии равновесия поло- жение х, в любой последующий момент времени будет находиться в точке с координатой х=х+и(х,1). Обозначим через р(х) линейную плотность стержня, й(х)— коэффициент упругости материала стержня, !(х, 1) — плотность импульса продольной внешней силы, приложенной к стержню. Поскольку рассматриваются малые колебания, то согласно закону Гука сила, вызывающая упругую деформацию бесконечно малого элемента Ьх стержня, равна Р (х) =й (х) е (х), где е(х) — относительное удлинение элемента: а(х) = !пп (1.1) ь» 0 Л» Поскольку в формуле (1.1) (Лх) ' = (х -1- Лх х— и (х + г»х, 1) — (х+ и (х, Г))) — г»х = =и (х-1-бх, !) — и(х, 1), Ф =- ~ (Т (1) — Г (~)) Ш (1.2) имеет экстремальное значение.
Так как рассматривается случай малых колебаний, при подсчете кинетической и потенциальной энергии членами высшего порядка малости можно пренебречь. Кинетическая энергия бТ малого участка стержня Лх равна (считаем, что в пределах участка Лх все параметры сохраняют постоянное значение) ЬТ = — р (х) Ахи,- '(х, 1).
2 Следовательно, кинетическая энергия всего стержня равна Т(й) =- — ~р(х) и',(х, г)дх. то е(х)=и»(х, 1) н сила упругого натяжения в сечении х равна Р (х) =й (х) и» (х, (). Лля вывода дифференциального уравнения, описывающего чалые продольные колебания стержня, воспользуемся вариационным принципом. Вариационный принцип. Если материальная система, находящаяся в поле внешних сил, характеризуется для любого момента времени 1 кинетической энергией Т(1) и потенциальной энергией (/(1), то переход ее из состояния в момент времени г, в новое состояние в момент времени 1з происходит так, что функционал Потенциальная энергия системы «стержень в поле внешних сил» и складывается из потенциальной энергии упругой деформации итх и из Работы А внешней силы: и=и„— А. Работа ЛА внешней силы, затраченная на перемещение малого элемента Лх из состояния равновесия в состояние и(х, (), равна ЛА=Г(х, 1)лхи(х, 1).
Полная работа А внешней силы записывается следующим образом: А(~)= ) г" (х, г)и(х, г) с(х. о ли, „=м~б. С перемещением на расстояние 6 связано изменение относительного удлинения е на величину Ле, причем 6 Ле= ах Следовательно, 6=ЛеЛх и ли,„=й,л л.. Проинтегрировав последнее равенство от 0 до е, получаем выражение для энергии упругой деформации, которой обладает выделенный элемент: 1 бит, = ~ Йо Лх е Йе .= — Й,е'- Лх. 2 о (1. 3 Рассмотрим теперь неоднородный стержень с коэффицнен том упругости а(х) и применим формулу (1.3) для бесконечнс малого элемента дх, учитывая, что е=и„(х, 1): с(из = — Й (х) и'„(х, 1) дх. Подсчитаем энергию упругой деформации. Выделим малый участок стержня длиной Лх, считая, что в пределах данного участка коэффициент упругости является постоянным й (х) = =а,.
На участок Лх со стороны соседнего элемента действует сила упругого напряжения г", равная Е=еам где в — относительное удлинение элемента Лх. При перемещении элемента Лх на расстояние 6 будет совершена работа Проинтегрировав последнее равенство по х от 0 до 1, получим (7„д- — — - — ~ Й(х) ио(х, 1) ю(х. 1 Г (1.4) Составим функционал (1.2): и ! Ф (и) = ~ ( ( — о (х) и' — — й (х) по+ 7'(х, 1) и ( о1х Ж. (1.5) — )(2 -о, х о,о где 1, 1 Г=г" (и, и,, и„) = — Ри',— — Ии'+)и.
Вычисляя производные, входящие в формулу (1.6), получим уравнение Эйлера — Остроградского для функционала (1.5), описывающее малые продольные колебания упругого стержня: рии= — 111 — "~+7(х, 1). (1.7) дх ; дх / Выражение в левой части уравнения (1.7) описывает силы инерции, первое слагаемое в правой части — упругое взаимодействие и второй член в правой части — действие внешней силы. Если стержень однородный и его линейная плотность и коэффициент упругости постоянны; р(х) =ро, й(х) =Ао, то уравнение (!.7) обычно записывается в следующем виде: ии=аюи„„+7, где ю аю аю ю Ро Ро (1.8) Уравнения (1.7) и (1.8) представляют собой простейшие примеры уравнений колебаний, При математическом описании физического явления необходимо прежде всего грамотно поставить задачу, т.
е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с обыкновенными и тем более частными производными имеют бесконечное множество решений. Для однозначной характеристики процесса кроме урав- 11 Выпишем для функционала (1.5) уравнение Эйлера — Остроградского, являющееся необходимым условием экстремума функционала (Е„,), +(Р„),— Е„=б, (1.6) пения нужно задать еще некоторые дополнительные условия.
Задавая дополнительные условия, нужно помнить, что эти условия должны обеспечивать единственность и существование решения, т. е. задача не должна быть недоопределенной или переопределенной. Как известно *~, в случае обыкновенных дифференциальных уравнений эти условия определяются постановкой конкретной физической задачи и могут иметь различную форму, в зависимости от которой приходят к задаче Коши или к краевой задаче. В случае дифференциальных уравнений в частных производных в качестве дополнительных тоже используются начальные и граничные условия. Начальные условия. Начальные условия определяют состояние системы в;некоторый выделенный момент времени, который считается «начальным».
Например, в качестве начального момента времени можно взять 1=0. В случае уравнения (1.7), описывающего малые продольные колебания стержня, нужно в начальный момент (=О задать положение каждой точки стержня и ее скорость: и(х, 0) ==ср(х), и,(х, 0) =ф(х), 0(х(1, где ~р(х) и ф(х) — некоторые заданные функции. Если функция ф(х) отлична от нуля, это означает, что в начальный момент времени стержень не находился в положении равновесия. Если функция ар(х) отлична от нуля, это означает, что в начальный момент каждой точке стержня была сообщена мгновенная начальная скорость, например двигавшийся стержень мгновенно остановился. Граничные условия. Мы будем рассматривать линейные граничные условия Будем считать, что стержень имеет длину 1 и занимает вдоль оси х отрезок от 0 до 1. Для определенности будем рассматривать левый конец стержня х=О. С физической точки зрения ясно, что левый конец стержня может находиться в различных условиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
