Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В этом слу- чае решение существует, но неедннственно. Таким образом, при с=А„, необходимым условием разре- шимости задачи (7.1), (7.2) является выполнение равенств 1!",) =1 1о(,)с(1) =О, 1=1, 2, ..., р, 55 т. е, правая часть 1(М) должна быть ортогональна всем собственным функциям, соответствующим собственному значению Х„, =с. ' Это условие является также и достаточным условием разрешимости задачи (7.1), (7.2).
Более подробное исследование вопросов разрешимости задачи (7.!), (7.2) здесь проводить не будем. Отметим только, что оно может быть проведено методами теории потенциалов, которые будут изложены в гл. Ъ'. Общую краевую задачу для эллиптического уравнения заменой неизвестной функции всегда можно свести к задаче (7.1), (7.2) .
Для того случая, когда задача (7.1), (7.2) имеет и при этом единственное решение (с~А„при всех п=!, „, оо), решение (7.7) приведем к интегральному виду. Подставляя в (7.7) явное выражение для !. и меняя порядок суммирования и интегс рирования, получим и(М) = 1 6(М, 6)1(6)Л о где Ю 6 (М ()) — 11 Г" (А4) и" ( ) х„— с и=! О и р е д е л е н и е. Функция 6 (М, Я) называется функцией Грина оператора 7.и+си с граничными условиями (7.2).
5 8. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ШТУРМА-Л ИУВИЛЛЯ Как было показано в предыдущих параграфах, если известны полные системы собственных значений и собственных функций соответствующей краевой задачи, то решение начально-краевой задачи или краевой задачи для эллиптиче-, ского уравнения можно построить в виде ряда.
В этом параграфе рассмотрим задачу Штурма — Лнувилля для оператора Лапласа в простейших областях. 1. Одномерный случай: отрезок. В одномерном случае рассмотрим общую схему нахождения собственных функций н собственных значений следующей задачи Штурма — Лиувилля: (у + Хру = — ~/г (х) " ) — др+ Хру = О, 0 ( х ( !. (8. ! ) I ну' дх дх Р,(у)=а,—" — р,у! =О, /а,/+!р,! ФО, (8.2) дх а=О Р, (у) = — ах — ~ +Р,у = О, (а.,! + ) ~з! чь О, у (х) =- О. (8.3) ах ~~-с Обозначим через (у1(х, Х), уз(х, А)) фундаментальную систему решений уравнений (8.1). Фундаментальные решения у1 и у2 зависят от Х как от параметра.
Общее решение уравнения (8.1) можно записать в виде у(х)=С,у,(х, А)+С,у,(х, Х). (8.4) 56 Подставляя (8.4) в граничные условия (8.2) — (8.3), получим С,(а,у,'(О, Л) — рдуд(0, Л))+С,(а,у'(О, Л) — иду,(0, Л)) =О, (8.5) Сд(а,у,'(1, Л)+дддуд(1, Л))+Сд(аду,'(1, Л)+рдуд(1, Л)) =-О. Соотношения (8.5) представляют собой однородную систему ли- нейных алгебраических уравнений относительно С, и С,.
Эта си- стема имеет ненулевое решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю: ! а,у,'(О, Л) — рдуд(0, Л) а,у,'(О, Л) — ~,у, (О, Л) =О. (8.6) а у (1 Л) +д уд(1 Л) аду (1 Л) + д' у (1 Л) Рд(уд)(,,=О, Рд(уд)1„,=1. Тогда, подставляя (8.4) в граничное условие (8.2), сразу находим С,=О. Следовательно, собственная функция согласно (8.4) должна представляться в виде у(х) =С,у,(х, Л). Подстановка этого выражения в граничное условие (8.3) дает дисперсионное уравнение для Л: Р, (у,) = а, — ' (х, Л) + (З,уд (х, Л) / „=д = О. зуд дх Рассмотрим теперь частный случай д.у=у", р=1. В этом случае общее решение (8.4) может быть записано в виде у(х) =С, соз 1/ Лх+Сд гйпУЛх (р — = 1).
Коэффициенты С, и Сд определяются из системы (8.7) — С,8„+С,а, У'Л =О, С,( — а, ~/Лз1п)/Л1+Ддсоз~Л1)+ + С, (а, у' Л соз ~гЛ 1+ йд гй п )I Л 1) = О. (8.8) Соотношение (8.6) представляет собой уравнение для определения собственных значений Л. Это уравнение называется дисперсионным. Пусть (Л,) — корни уравнения (8.6). Каждому Л, соответствует ненулевое решение системы (8.5) и, следовательно, ненулевое решение уравнения (8.1), представимое в виде (8.4). Выше был рассмотрен общий алгоритм построения собственных значений и собственных функций. В ряде случаев его можно упростить. Пусть фундаментальная система уравнения (8.1) выбрана так, что на одном из концов отрезка, например при х=о, функции у,(х, Л) и уд(х, Л) удовлетворяют граничным условиям Уравнение (8.8) имеет вид (ададЛ вЂ” )дд(дд) 1д )ГЛ1 = )Г Л (ад), + )ддад).
(8.9) Легко убедится, например графическим методом, что уравнение (8.9) имеет бесконечное счетное множество корней (Л„), . Для каждого корня Л„находим ненулевое решение системы (8.8): С=С '~ ", С=С д 2 д'Г+д(' д'~:нч' (8.10) где С вЂ” произвольная постоянная, отличная от нуля (С~О). Величина М„= 1(у„(( = Д у„' (х) Йх~ ~ о представляет собой норму собственной функции. Если постоянная С выбрана так, что 1((„=1, то собственные функции у„(х) будут ортонормированными. Итак, ненормированные собственные функции задачи Штурма — Лиувилля у" + Лу = 6, О ~ х (1, а,у' — р,у(, ~=0, а,у'+~,у(,=~= — 0 можно записать в виде у„(х)— ад 5!и у Лу~ х+яд $~Лдс05~/Лр х $' Л„а(+()д (8.11) при этом „1 (М +() ~ ) (Л ~Л +М*) (8 12) Ул~ 2 2 (Л„ддд ( ()д) (Л„вд ( ()д) где ˄— корни уравнения (8.9). Уравнение (8.9) имеет нулевое решение Л,=О.
Ему будет соответствовать ненулевая функция ув(х), определяемая (8.11), если рд=О и рд=О и эта функция равна 1. Следовательно, при Л.=О ((у.(( =1. Выделим частные случаи. 1. Граничные условия у(0)=у(1)=0 (а,=.а,=О, ()д=р,=1): 58 уа(х)=з(пМ» х Л = ( — ) ((М'= — п=) 2 ° Ж 2.
Граничнв~е условия у'(0) =у'(1) =6 (а,=а =1, рд=(),=6): у„(х) =сов')лЛ„х, Л„= ( —" ), ((у„(('=1 ', я=0, 1,..., одд. Заметим, что в этом случае существует нулевое собственное значение Ло=О, которому соответствует собственная функция 2 ( х ) 1 3. Граничные условия у(О) =у'(1) =0 (а,=Ц2=0, Ц1=а,=1): у„(х)=яви/Л„х, Л„= ~ — ~п+ — )1, Цу„()2= —, п=О, 1, 2,...,оо. 4. Граничные условия у'(0) =у(1) =0 '(а=аз=0, ~32=а,=1): у„(х) = сов у Л„х„Л„= ~ — ( п + — ) 1, Цу„!)2 = —, п=О, 1, 2,....со. 5. Граничные условия д (0) = О, у'+ Ь,у ! „=1 = 0 (а, = О, Д1 = 1, а1=1, р2=Ь2): у„(х) =яп'(/Л„х, Цу„Ц'= — +, п=1, 2,..., оо; й2 2 2(л„+ а21 ˄— корни уравнения 1д~~Л 1= — —. Ь2 6. Граничные условия у'(О) =О, у'(/)+Ь,у(1) =0 ф1=0, а,=1, аз=1, р2=Ь,): у„(х) =соз~Лд х, Цу„Ц~ = — +, п = 1, 2, ..., оо; 2 2 (л 1 а21 ˄— корни уравнения 1я 1/Л(= — а2 )/Х ' 7.
Граничные условия у'(0) — Ь,у(0) =О, у(1) =0 (с1,=1, Ц1=Ь„ х, = О, О, = 1): у„(х)=яп у'Л„(1 — х), Цу„Ц'= — + ', п=1, 2,..., оо; 2 2(л )а2) ' — х — 1'Л Л„вЂ” корни уравнения 1я у Л1=— 1 8. Граничные условия у'(0) — Ь,д(0) =О, у'(1) =0 (а,=1, Ц1 =Ь,, а2=1, Р2=0): у„(х) = сот 1~2.„(1 — х), Цу„Ц' = — + ', п = 1, 2,..., оо; г 2(л„+а21 ' — 61 ˄— корни уравнения 1я ф'"Л1= — ', 9. Граничные условия у'(0) — Ь,у(0) =О, у'(1)+Ьзу(!) =0 (а,= (11 Ь1 а1 ~ 12 2)' у„(х) = (Ьд яп ~Л„х+ Р~Л„еоз у' Л„х), Ло+ а1 ((з ! + ! (й1+ ИД (Ли+ и,!и) 2 2 (1,„, йз) (Л„+ йз! ' — й~+ йз ˄— корни уравнения (я УЛ1=)' Л ' ' .
Заметим, что в этом л — й,й, случае собственную функцию можно записать также в виде уя(х)= (йдз!ПЧ/Лу,(1 — х)+'у Л„соз р Л„(1 — х)), и' Л„+ й. где ˄— корни уравнения (д~1Л1=~Л л+й и, 2. Одномерный случай: периодические граничные условия. Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля на отрезке (О, 1) с ус- ловиями периодичности у" +Лу= — О, 0<х<1, (8.!3) (8.!4! у(х)=у(х+1) при любом х ~ [О, 1), у(х) ф О. Заметим, что условия периодичности (8.(4) можно заменить граничными условиями у(0)=у(1), у (0)=у (!). Общее решение уравнения (8.!3) у (х) = С, соз (/Л х+ С.
яп у' Л х (8.!5) подставим в условия (8.(4): С, соз )/ Л (х+ 1) + С, я и )ГЛ (х+ 1) = С, соя ~ГЛ х+ С, я п у' Л х. Воспользовавшись линейной независимостью функций сов)1Лх и з(п (/Лх, отсюда получим С1 (соз (/Х1 — !)+Сз 5(п у Л 1= О, — С, з!п у'Л1+С,(соз ~ГЛ'1 — !)=О. Система (8.!6) имеет ненулевое решение только при условии Л1 !=Π— 5!и')I Л1 соз )ГЛ1 — ! ~ или соз )I Л1 = !. Отсюда находим Л„=~ — ),п=О, 1,2,. 60 а,=( ' )-(') с,=( (8. 17) Подставляя (8.17) в (8.15), находим собственные функции у„"'(х) =сох ~~.„х, уо" (х)=з1пT~.„х.
Заметим, что собственному значению ).о — — 0 соответствует вдна собственная функция уо(х) = — 1, в то время как все ненулевые собственные значения ).„имеют ранг, равный двум. Таким образом, задача (8.13) — (8.14) с периодическими граничными условиями имеет следующие наборы собственных значений и собственных функций: ),=~ — ), п=О, 1, 2, 2ла соз — х, у, (х) = — 1, уа (х) = 2ао ейп — х, йу(~ — 1 ~!уй 2 и 1 При 1=2п, ).„=п' у„(х) ( у, 1, и 1,2,,оо. ( яппх, 3. Прямоугольник.
Рассмотрим задачу Штурма — Лнувилля для оператора Лапласа в прямоугольнике: (8. 18) Ли+Ли=О, 0<х<а, 0<у<Ь, Р,(и)=а,—" — Д,и~ =О, Р,(и)=ао — "+р и =О, (8.19) дх ~а=о дх ха а Р,(и) =ао — — (1ои =О, Ра(и) =а, — +()аи~ =0,(8.20) где аь ро — постоянные, причем /а;!+ /Дг!ФО, 1=1, 2, 3, 4. Задачу (8.18) — (8.20) будем решать методом разделения переменных.
Найдем ненулевые решения уравнения (8.18), представимые в виде (8.21) и (х, у) = Х (х) У (у) ~ О. 61 При найденных значениях 2., система (8.16) имеет два линей- но независимых ненулевых решения: Подставляя (8.21) в уравнение (8.18) и разделяя переменные, получим Х" (х) ) (у) — Х = — )р. Х (х) У (у) Следовательно, для функций Х(х) и У(у) получаем одномерные задачи Штурма — Лиувилля для отрезка: < Х" +рХ=О, 0<х<а, У" +чУ=О, 0<у<Ь, Р1 (Х) !х-я = 0 Р (У)„= =о, Р,(Х)(,=0. Р4 (У) ! д=р = О, тгде ч=Х вЂ” р. Решив каждую из этих задач, собственные функции задачи (8.18) — (8.20) найдем согласно (8.11), а собственные значения Л вычислим по формуле )р=)х+ч. Таким образом, справедливо следующее утверждение: собственные функции оператора Лапласа для прямоугольника равны произведению собственных функций по каждой переменной с соответствующими граничными условиями и (х, у) = =Х,(х) У,(у), а собственные значения равны сумме собственных значений одномерных задач ) ти=яа+кт.
В качестве примера приведем собственные функции и собственные значения для задач Дирихле и Неймана: а) задача Дирихле и(с=О, где С вЂ” контур прямоугольника: пл . я~и и„,„(х, у) = з(п — х з1п — у, а Х„„=( — ") +( — ), а, т=1, 2,..., Ци„ПР=<з(п — "" х<< ~з(ц ™ <~= —; ди б) задача Неймана — ~ =О, где и — внешняя нормаль к дл (с .контуру прямоугольника: пл ЛИ и„„(х, у) =сов — хеоз — у, И ь Л„=( — ~) +< — ), и, т=а, 1,..., ((и„((Р = ((Х ((Р ((У ((Р. Собственные функции и собственные значения для других гра,ничных условий легко выписать, используя результаты п. 1. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
