Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Тогда в точке хо эта функция и ее первая производная обращаются в нуль. Поскольку цилиндрическая функция удовлетворяет уравнению Бесселя, являющемуся однородным дифференциальным уравнением второго порядка, то в силу единственности решения задачи Коши для уравнения Бесселя при х)хо получим, что при х)хо данная функция тождественно равна нулю. Полученное противоречие доказывает утверждение. 11.
Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Функции Инфельда и Макдональда Рассмотрим цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Подставим в ряд (2.16) для функции Бесселя аргумент (х: Ю 1 ( 1)о (ы х ы †» о'»(гх) =о» вЂ”:=- 1'7» (х). Г ~А — '1) Г(О+» —,1) 2, о=о К„(х) = — 1 "' (У„(1Х) е "" — 1 (1х)) = 2 51п пт 15 (л1 (х) е-ып 1 — 51 „(х))— 2цп пч (1 — 5 (Х) 15 (х)) 25!П ЯУ (2.62) Пусть теперь т=п — целое число.
Тогда, переходя в формуле (2.62) к пределу прн 5 и и раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим Таким образом, функция Макдональда является вещественной при любом т. Пользуясь асимптотикой функции Ханкеля первого рода, получим аснмптотику функции Макдональда при х — пп: К (х) = — 15+1Н'~ ~ (1х) = 2 15+1е1(15п а е ' 5 ' 4 +О(х — 5!5) 2 Г П1Х = '~/ — ™ 11+ 0 ( ! ) ), (2.63) Д (Х) = С11. (х)+ С',К,(х), где С, и С, — произвольные постоянные. В частности, если решение ограничено на бесконечности, нужно положить С,=О, а если решение ограничено в нуле, то положить С,=О. Поскольку функции 1„(х) и К„(х) линейно независимы и функция 1.(х) ограничена в нуле при т=О и имеет в нуле (х= =0) ноль т-го порядка при т550, то в силу леммы 4.1 получаем, что К„(х) имеет при т=О в нуле логарифмическую особенность, а при т550 — полюс т-го порядка.
В частности, асимптотика в нуле функции КП(х) имеет вид К,(х) = — 1, (х)!и — +... 2 х Из рекуррентных формул для цилиндрических функций (2.19), Из формул (2.60) и (2.63) следует, что при х- пп функция 1,(х) экспоненциально возрастает, а функция К„(х) экспоненциально убывает. Таким образом, функции 1„(х) и К„(х) линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (2.61). Общее решение уравнения (2.61) можно записать в виде (2.20) несложно получить рекуррентные формулы для цилиндрических функций мнимого аргумента: / (х) — 1 ' )= — 1 ~(х), дх х~ ) х~ — (х'1„(х)) = — х'1,. ~ (.т), ах 1т.~~ (х) — 1, ~ (х) =- — — 1т(х), 2т х Кт+~ (х) — К ~ (х) = — К, (х), 2т Х Кт;, (х)+К„~ (х) = — 2К,(х).
В частности, 10 (х) = 1, (х), К а (х) = — К, (х) . й 3. КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НОЛИНОМЫ 1. Определение классических ортогональных полиномов О п р е д е л е н и е. Будем называть систему (р„(х)) полиномов всех степеней, заданных на отрезке (а, Ь), системой классических ортогональных полнномов, если они ор- тогональны на (а, Ь( с весом р(х), удовлетворяющим на интер- вале (а, Ь) дифференциальному уравнению Пирсона (о (х) р (х)) = т (х) р (х), дх где о(х) и т(х) — заданные функции, удовлетворяющие усло- вию х"'о(х)р(х)(~=0, т=0, 1, ...
(3.2) Граничные точки а и Ь отрезка (а, Ь1 могут соответственно принимать значения — оо и +со. Функция т(х) — линейная функция о(х) = (х — а)(Ь вЂ” х) при а~ — оо, ЬФ оо, х — а прн а ~ — оо, Ь = оо, Ь вЂ” х при а= — ео, Ь~оо, 1 ири а= — оо, Ь=со. (3.
4) т(х) =Ах+ В, (3.3) ' коэффициенты которой А и В определяются из условия (32). Функция и(х) имеет вид В уравнение для веса р(х) нходят два параметра линейной функции т(х). Общее решение уравнения (3.1) имеет вид р(х) = ехр Д йх), (3.5) Формулы (3.1) — (3.5) определяют целый класс классических ортогональных полиномов и позволяют получить для них явные представления через функции р(х) и о(х).
Классический ортогональный полипом р„(х) является полиномом и-й степени. Ниже будут рассмотрены наиболее важные для приложений конкретные примеры классических ортогональных полиномов. 2. Основные свойства классических ортогональных полиномов 1) Классические ортогональные полиномы по определению ортогональны на отрезке !а, Ь] с весом р(х): ')р (х)рь(х)р(х)йх=О, п~й. а 2) Теорема о нулях. Теорем а 4.!. Классическии ортогональный полинам р,(х) ,имеет равно и простых нулей строго внутри отрезка (а, Ь]. Доказательство. Пусть и — произвольное фиксированное целое положительное число. В силу ортогональности полиномов р„(х) и ре(х) = 1 имеем ~р„(х) 1 р(х)дх=О, п)0. а Следовательно, полипом р„(х) меняет знак на интервале (а, Ь) в некотором числе й>1 различных точек х„хм ..., хч (х,ен(а, Ь) и х;~х! при !Ф1). Тогда полинам р„(х) имеет вид р„(х) =— (х — х,) (х — х.)...
(х — хч) гр„(х), гч (х) = т а;р;(х), ~= — О где а~ФО. Так как й<п, имеем где ~р„(х) не меняет знака на (а, Ь). Для доказательства теоремы достаточно показать, что й=п. Предположим противное: пусть й<п. Так как система классических ортогональных полиномов (р,(х)1 содержит полиномы всех степеней, то для полинома гь(х) =(х — х,) (х — х,) ... (х — хч) справедливо разложе- ние 3 р (х)га(х) р(х)с1х=)~ а; ') р„(х) р;(х) о(х)йх=О.
и =о ч С другой стороны, ь ь ~ рв (х) га (х) р (х) с(х = ~ гьа (х) ср„(х) р (х) дх чь О, а а так как функция гаа(х)ар,(х)р(х) не меняет знак на интервале (а, Ь). Сравнивая последние две формулы, получаем противоречие. Следовательно, й)п, а поскольку полипом и-й степени не может иметь более и нулей, то й=п. Отсюда вытекает, что все корни простые. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. В силу основной теоремы высшей алгебры любой полипом л-й степени рв(г) на комплексной плоскости г имеет ровно и нулей *> (с учетом их кратности).
Из доказанной теоремы следует, что все нули классического ортогонального полинома р„(г) сосредоточены строго внутри отрезка 1а, Ь) действительной оси комплексной плоскости г. Так как между двумя нулями дифференцируемой функции 1(х) по теореме Ролля**> имеется хотя бы один нуль ее производной 1'(х), то из этого свойства и доказанной теоремы получаем Следствие. Все нули производных классического ортогонального полинома р (х) прос~ые н расположены строго внутри отрезка (а, Ь). 3) Покажем, что производные р„'(х) также являются классическими ортогональными полиномами, заданными на отрезке [а, Ь), н ортогональными с новым весом Гч(х) =..а(х) р(х). При т(п имеем ь ~ рв (х) х"' — 'т (х) р (х) с(х = О.
(3.6) ч Действительно, х 'т(х) есть полином степени т и может быть представлен в виде х — 'т (х) =,~ с;р; (х), ~=0 откуда следует (3.6). Воспользуемся уравнением Пирсона (3.1) для т(х)р(х) и вычислим интеграл по частям. Учитывая, что в силу условия (3.2) подстановки обратятся в нуль, получим '~ См; Свешников А. Г., Тихонов А. Н Теория функций комплексной переменной.
Мл Наука, !979. ео См. И льни В. А, Позняк Э. Г Основы математического анализа Ч 1. Мс Наука, 1982. 88 ь ь р„(х) х -'т(х) р(х) с(х=~ р„(х) х -' — (о(х) р(х)) ох= ьх а а ь Ь = — ~ а(х) о (х) х — 'р„'(х) г(х — (т — 1) ~ о(х) р (х) х"'-'р, (х) дх. (3.7) О а Так как о(х)х" з — полипом степени не выше т<п, аналогично формуле (3.6) получаем, что второй интеграл в формуле (3.7) равен нулю. Поэтому ь '! р„'(х) х 'а (х) р (х) с(х = О. (3.8) а Следовательно, при т<и полинам р,'(х) степени и — 1 ортогонален ко всем полиномам меньшей степени т — 1 с весам р, (х) =о(х) р (х), т. е. '! р' (х) р' (х) р, (х) с(х = О, п ~ т.
О Осталось показать, что весовая функция р,(х) удовлетворяет уравнению Пирсона (3.1). Имеем (орД' = а'о, + ор,' = о'р, + о (ор)' = а'р, + отр = (о'+ т) р, = т,рь где т,=а'(х)+т(х) — линейная функция. Очевидно, что произведение х"о(х)р~(х), т=О, 1, ..., обращается в нуль в точках а и а. 3 а м е ч а н и е. Методом математической индукции легко показать, что т=е производные классических ортогональных полиномов р~">(х) образуют на отрезке !а, Ь! систему классических ортогональных полиномов ортогональных с весом р~(х)= =о"'(х)р(х) (очевидно, р,(х) =р(х)). 4) Получим дифференциальное уравнение для классических ортогональных полиномов. Запишем формулу (3.8) в виде ь ~ р„' (х )' а (х) р (х) ах = О.
а Интегрируя по частям, получим ь о(х) р(х) р„'(х) х !,— С х ~ ~ар Р". ~ ь(х=О, ьх ! Йх Р откуда, используя уравнение Пирсона (3.!), находим ь ') х (арр„"+р„'(оо) )с(х= ! х (ар„"+тр)рс(х=-О (39) при всех т<п. Обозначим д„(х) = о(х) р„"+ т (х)р„. Полинам и-й степени д (х) разложим по системе классических ортогональных полиномов: л д„(х) =~ а;р!(х). !=1 Учитывая (3.9), получим ь Л О ь ') д„(х) р (х)рг(х=~$ а; !) р;(х) р„,(х)рг(х=а„) р'„(х)рг(х=О, а ю=О а Р откуда а =0 при т<п и, следовательно, д„(х)=а„р,(х). Обоз- начив Х = — а„, будем иметь п(х) р„"+ г(х) р„'+Х„р„=0. (3.10> Уравнение (3.10) можно записать в самосопряженной форме. Для этого умнвжим (3.10) на р(х) и, используя уравнение Пирсона (3.1), приведем его к виду нРп — (ор — ") +Х„рр„=О.
дх ~ дх ! (3Л1> ! — ~ ор — "" 1 -'; Хру = О, х еп (а, Ь), „1, 1у(а) !< оо 1у(Ь))< с (3 19) При постановке задачи Штурма — Лиувилля граничные условия выделяют одно из двух линейно независимых решений линейного дифференциального уравнения второго порядка. В силу лемма! 4.1 в случае, когда граничные точки являются особыми точками уравнения, условия ограниченности достаточны для выделения единственного решения. Поскольку в силу теоремы Вейерштрасса ортогональные полиномы образуют на конечном отрезке полную и замкнутую систему, для них имеет место теорема разложимости Стеклова и они исчерпывают все собственные функции краевой задачи (3.12).
В самом деле, если предположить, что при некотором значении параметра Х, отличного от Х., существует собствен- 90 5) В случае конечного отрезка 1а, Ь1 в силу поведения функции р(х)а(х) при х-+а или х — Ь граничные точки отрезка (а, Ь) являются особыми точками уравнения (3.1!). Тек! самым классические артогональные полиномы являются собственными функциями краевой задачи Штурма — Лиувилля для уравнения (3.11) на отрезке )а, Ь1 с условиями ограниченности в граничных точках: пая функция у(х) задачи (3.12), не являющаяся классическим ортогональным полиномом, то в силу общих свойств собственных функций непрерывная функция у(х) должна быть ортогональна ко всем функциям системы классических ортогональных полиномов (р„(х)) и в силу замкнутости этой системы тождественно равна нулю.
Постановку краевой задачи Штурма — Лиувилля в случае бесконечного или полубесконечного интервала мы рассмотрим позже на примере конкретных классических ортогональных полнномов. Найдем выражение для собственных значений задачи (3.12). Выпишем коэффициент при х' в уравнении (3.10). Поскольку о(х) =о(0)+хо'(0)+ — о", т(х) =т(0)+хт', 2 то, подставляя эти выражения в (3.10), получим коэффициент при х" в виде ~ — о"л(л — 1)+ т'л+ Л„~ а„, где р„(х) =а„х" +а„,х" — '+..., аоФ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
