Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 16
Текст из файла (страница 16)
м=о э=1 Приравнивая в последней формуле коэффициенты при одинаковых степенях г, получим искомое рекуррентное соотношение (и+!)Р„+~ (х) — (2п+1)хР„(х)+пР„~ (х)=0, л=!, 2, ... Полагая в формуле (3.34) х=1, получим Ч'(1, г)=~~11Р„(1)г"= =кэ1г", 1 — г л=О л=О Р,(х) =х, Р (х) = — (Зхэ — 1), 1 2 Р, (х) = — (5х' — Зх), 1 2 Рэ (х) = — (35х4 — ЗОх~ + 3). 8 6. Полиномы Лагерра Пусть а=О, 6=со. В этом случае (см.
(3.4)) а(х) =х и из формулы (3.5) вытекает р(х)= — ехр ~~ (Л+ — ) с(х~, ~ (А+ — ) дх=Ах+ 1пхв, Поскольку то о(х) =х~езк, где а= — 1, Потребуем, чтобы 1пп х о (х) р (х) = О, и = О, 1, 1ОО откуда Р„(1) =1,-л=О, 1,..., и, следовательно, Р,(х) — = 1. В силу формулы Родрига (3.31) Р,(х) в зависимости от четности или нечетности индекса и являются четными или нечетными функциями. Поэтому Р~(х)=х и Р,( — !)=( — 1)", л=0„1, ...
Используя формулу Родрига (3.31), выпишем явные выражения для первых пяти полнномов Лежандра: Р (х) 1, Для выполнения последнего условия достаточно положить А= — 1. Тогда получим р(х) =хае — ", а — 1. (3.35) Классические ортогональные полиномы, заданные на полу- прямой 10, оо) и ортогональные на ней с весом р(х)=х е-, называются обобщенными полиномами Лагерра и обозначаются Ь,'"~(х). 1 Выбирая нормировочный множитель Са= —, получим из сц ' формулы Родрига (3.16) явное выражение для обобщенных полиномов Лагерра С~а' (х) = — ! х-ае» Е (е — 'х"+а) гл а»" (3.36) При постановке краевой задачи Штурма — Лиувилля для полиномов 1.„(х) нужно учесть, что эти полнномы заданы на (а! полупрямой и необходимо определить поведение решения на бесконечности. Введем Определение. Будем называть функцию 1(х) квадратично интегрируемой с весом р(х) на интервале (а, Ь), если существует интеграл '! 1' (х) р (х) дх.
а Тогда, используя (3.11), можно так сформулировать постановку задачи Штурма — Лиувилля для обобщенных полиномов Лагерра. Найти значение параметра Х и отвечающие им нетривиальные решения уравнения — ~~ха+'е — — ")+Ххае — 'у=0, 0<х(оо, (3.37) ах !о! непрерывные и квадратично интегрируемые с весом р(х)= =х е-" на полупрямой 1О, оо). Отметим, что условие квадратичной интегрируемости функций у(х) с весом х"е —" на полупрямой (О, оо) допускает их рост при х- оо. Заметим, что обобщенные полиномы Лагерра определены на полубесконечном интервале, и, следовательно, мы уже не можем, ссылаясь на теорему Вейерштрасса, доказать, что они образуют полную систему на полупрямой 10, оо), а также что эта система замкнута и исчерпывает все собственные функции задачи (3.37).
Однако замкнутость системы полиномов 1.„'"~(х) несложно доказать аналогично тому, как это будет сделано в следующем пункте для полиномов Эрмнта, определенных на всей бесконечной прямой. Отсюда будет следовать, что обоб- щепные полиномы Лагерра исчерпывают все собственные функции задачи (3.37). Для обобщенных полиномов Лагерра справедлива теорема разложимости Стеклова. При а=О получаем частный случай обобщенных полиномов Лагерра, называемых полиномами Лагерра и обозначаемых Е, (х) = — Ь~„"' (х).
Из формулы (3.36) сразу следует формула Родрига, даю- щая явное представление для полиномов Лагерра: у~ Е„(х) = — е" — (х"е-"). гн дх" (3.38) Коэффициент а„для полиномов Лагерра согласно (3.38) име- ет вид ( 1)п а„= гн и, используя общую формулу (3.17) и свойства гамма-функции, легко получить выражение для квадрата нормы: 117.„'й'= — 1 х"е-'ох= — Г(п+1) =1.
в1 1 л! о Из формулы (3.37) при а=О получается уравнение для поли- номов Лагерра — (хе-" — Е„) + Х„е-"Ь„= О. 102 Краевая задача Штурма — Лиувилля для полиномов Лагерра формулируется полностью аналогично соответствующей задаче для обобщенных полиномов Лагерра. Собственные значения Х„определяются формулой (3.13). Из уравнения Пирсона (3.1) т(х)= — х+1 и формула (3.13) дает л — 1 Х„= — и ( — 1+ —.0) =а. 2 Полиномы Лагерра как частный случай обобщенных полиномов Лагерра образуют полную замкнутую ортогональную с ~ весом р(х)=е — ' систему на полупрямой 10, со) и исчерпывают все собственные функции соответствующей задачи Штурма— Лиувилля, Для полиномов Лагерра справедлива теорема разложимости Стеклова.
Используя формулу Родрига (3.38), выпишем в явном виде несколько первых полиномов Лагерра: Ео (х) = 1 1.,(х) = — х+1, Г.г (х) = — х' — 2х+ 1. х Получим выражение для производящей функции полиномов Лагерра. В этом случае уравнение (3.22) принимает вид ! — х — а!=0, откуда х го= 1 — г н из формулы (3.23) следует 1-г Ч" (х, г) 1 г ! — г 1 — г 1 — г Итак, кг М вЂ” 1~~ Е„(х) 1 — г г„г' л! г=в где Ь„ (х) = " , и поскольку для полииомов Лагерра С„ = — , Е„(х) ! с„ л! то окончательно получим кг О Ч'(х, е)= е ' ' =д й„(х)е". 1 1 — г г а 7. Полиномы Эрмита Пусть а= — со, Ь=оо, Тогда п(х) =1 и по формуле (3.5) получим о (х) = ехр (') т (х) г(х~.
Выберем т(х) = — 2х. Тогда р (х) — е — к* О п р е д ел е н и е. Классические ортогоиальные полиномы, заданные на прямой ( — со, со) и ортогональные на ней с весом р(х)=е — **, называются полиномами Эрмита. Для полиномов Эрмита нормировочный коэффициент обычно принимают равным (3.39) 1ОЗ С„= ( — 1)". Тогда формула Родрига (3.16) дает следующее явное выражение полиномов Эрмита: Нп (х) =( — 1) ех' " (е-к') (3.40) лхг Выпишем сразу несколько первых полиномов Эрмита: Н,(х) =1, Н,(х) =2х, Нк (х) = 4х' — 2, Нз (х) = 8хз — 12х.
Из формулы (3.11) получается уравнение для полиномов Эрмита. Краевая задача для них формулируется следующим образом. Найти значения параметра Х, при которых уравнение Эрмита — (е-" " )+Ле — '*у=О, — оо(х<со, (3.41) ах имеет нетривиальные решения, квадратично интегрируемые с весом е " на прямой ( — оо, оо).
Формула (3.13) дает выражение для собственного значения: Хн =2п. В случае полиномов Эрмита, определенных на бесконечном интервале ( — оо, оо), нельзя, как и в случае полиномов Лагерра, использовать для доказательства полноты теорему Вейерштрасса. Следовательно, нельзя утверждать, опираясь на свойство полноты, что система полиномов Эрмита замкнута. Докажем непосредственно замкнутость системы полнномов Эрмита. Напомним, что аналогично можно доказать замкнутость системы полиномов Лагерра, Имеет место следующая теорема.
Теорема 4.4 Система полиномов Эрмита замкнута, т. е. функция ((х), непрерьчвная и квадратично интегрируемая с весом р(х) =е "' на всей бесконечной прямой ( †, оо), ортогональная с весом р(х)=е " всем полиномам Эрмита на ( — оо, оо), тождественно равна нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию Ф (х) =1 (х) е По условию теоремы функция Ф(х) квадратично интегрируема на интервале ( — оо, оо) с весом р(х)=1. Тем более функция г(х)=1(х)е — "' квадратично интегрируема с весом р(х)=! на интервале ( — оо, оо). Известно, что если функция квадратично интегрируема на интервале ( — оо, оо), то для нее существует преобразование Фурье ю г" (ьз): 0 г (ьз)= ~ г(х)е — '""йх= ~ 1(х)е " ' йх. ю См: И л ьи н В.
А., Поз н я к Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 2 Мз Наука, 1980. 104 Функция Р(х) аналитична в полосе )1тш) (М произвольной ширины 2М, и ее производные можно вычислять, дифференцируя под знаком интеграла *>; Р~ ~ (ш) = — =( — 1)" ~ Г(х) е — "—" хЧх, А=О, 1,...
(ЗА2) вша Так как функция Р(ш) аналитична в полосе (1тш~~М, то в принадлежащем этой полосе круге К» с центром в точке ш= =0 и радиусом )с функцию Р(ш) можно разложить в степенной ряд «« ; Рм~(01 Р(ш)=~' ш". 1Н Все коэффициенты этого ряда равны нулю; «« Ра> (О) =-( — Г)» '1 х'1(х) е "еех= = ( — 1)' ~ Д С,Н,(х))Г(х)е — "*е(х= — «=в » « =( — 1)''~" С, ~ Н,(х)1(х) е "*йх=О, поскольку по условию теоремы ~ Н,(х)Г(х) е — '*е(х=О, в=О, 1,..., оо. Итак, всюду в круге К» функция Р(ш) тождественно равна нулю.
По теореме единственности аналитической функции *о отсюда следует, что всюду в полосе ~1гпш~ <М функция Р(ш) тождественно равна нулю. Применяя обратное преобразование Фурье, получим Р(х)= 1 1 Р(ш)е™сЬ=О. 2н,3 Итак, функция 1 (х) = Р (х) е'* = — О. Из доказанной теоремы и ортогональности полиномов Эрмита вытекает «'См: Свешников А. Г,Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979. *~ Там же. 10$ Следствие.
Система полиномов Эрмита исчерпывает все собственные функции краевой задачи Штурма — Лиувилля '(3.41) . Для вычисления квадрата нормы полиномов Эрмита учтем, что в силу формулы Родрига (3.40) коэффициент ал=2". Отсюда по формуле (3.17) ((Н„!)4=2" п! ~ е — ~Их=2" и! у'л. Получим выражение для производящей функции полиномов Эр- мита. Уравнение (3.22) принимает вид г — х — х=0, откуда го=х+ х. Отсюда по формуле (3.23) получаем "р(х, г)= Р(о) =е м +го Р (~о) р (х) — (агг+гг) ((и (Х) л и (х) ( )л лд агл( л! — о л=-о Делая в последней формуле замену х на — х, получим оконча- тельное выражение для производящей функции гр(Х г) Еогг-гг п ( ) Хл ъ-л Ни (г) и! л=о $4.
ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 1. Основные понятия Определение. Присоединенными функциями Лежандра называются функции, определенные соотношением Рл ' (х) = (! — х') — Ри (х), Йг'и (4.1) 106 где Р„(х) — полиномы Лежандра. При т)п присоединенные функции Лежандра тождественно равны нулю. При ел=2а это полиномы степени и. При гп= =2(о+ 1 — иррациональные функции. Из формулы (4.1) вытекает, что нули присоединенных функций Лежандра Р„'"~(х) помимо точек ~1 определяются нуля- 1)(т ми производной — Р„(х), являющейся классическим ортогональным полиномом (и — т)-го порядка. Следовательно, при т)О присоединение функции Лежандра имеют и — т простых нулей внутри отрезка [ — 1, 1! и обращаются в нуль в граничных точках +-1.
2. Краевая задача для присоединенных функций Лежандра Получим дифференциальное уравнение для присоединенных функций Лежандра. Функция и(х)=Р„(х) удовлетворяет уравнению Лежандра (3.29): (1 — х') и" — 2хи'+ и (и+!) и = О. (4.2) Продифференцируем (4.2) т раз, учитывая формулу Лейбница: (ип)(т) = )~ С)*и(й)п(т "', й=о Получим О= ((! — хо) и" — 2хи'+и(и+ 1) и)( ' = Сй (1 2)[й) (т — й+2) =У т — ~." С» (2х)нои( й+" +а(и+1)и' '= й=о ~ч С» (1 2)(й) (т — й+2) й=о +~ Сй (1 — х')(+ )и( + ~+и (и+1) и( ) = т т+! у Сй (1,)(й)и(т — й+2)+ ~ Сс — ! (1,)(п и(т — )+2) „„(„+1) и(т) СО (1 2) (т+2)+ (С! +СО)(1 2) (т+!)+ + (С2 + С! ) (1 — х)" и( ) + п (и+ 1) и( ), причем мы учли, что )2=0, 1, 2, а 1=1, 2, поскольку производные более высоких порядков от ! — х' тождественно равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
