Свешников, Боголюбов, Кравцов. Лекции по математической физике (1125176), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Формула (1.4) называется третьей формулой Грина. Относительно третьей формулы Грина сделаем следующие замечания. Формула (1.4) выведена в предположении, что точка Ме 'является внутренней точкой области Р. Если точка Ме 1 расположена вне области Р, то функция о= и является мм, гармонической функцией всюду в области Р, и поэтому по второй формуле Грина получаем (1.5) и (М,) = — у ( — — — и — — ) д5 — — ~ — Л' (1,6) 1 Г11 ди д 11 1 Г Ли 2и 9 (, й ди дл й ) 2и ,) й (при этом следует иметь в виду, что поверхностные интегралы в формуле (1.6) являются несобственными; их исследование будет проведено позже (см.
2 6)). Объединяя все три случая, третью формулу Грина запишем в виде и(М,), М, еР, " (мо) и 2 о~ О, МОФ Р+5. (1.7) Заметим, что третья формула Грина справедлива для произвольной достаточно гладкой функции. Она показывает, что в 129 Рассмотрим теперь случай, когда Ме принадлежит поверхности 5. Будем считать, что поверхность 5 имеет в точке Ме касательную плоскость с непрерывными угловыми коэффициентами. Дальнейшие рассуждения совпадают по схеме с только что проведенными. Применим вторую х~юрмулу Грина к функциям о(М, Ме) и и(М) в области Р'~К,'. При этом поверхностный интеграл берется по границе 5'+Е,', где Х,' — часть сферы Х., находящаяся внутри области Р, а 5'=515гн где 5, — часть поверхности 5, расположенная внутри шара К,'.
При достаточно малом е поверхность 2„' близка к полусфере с центром в точке Ме и радиусом е. Поэтому в окончательной формуле, полученной при предельном переходе е-+.О и аналогичной (1.4), множитель 4п заменится на 2и: сс (Мо) = — у ( — — и — ) сЖ (1.8) 1 с с ! ди д 1 4и . (, Ймм дп дп Сумм 0 о В двумерном случае третья формула Грина выводится аналогично. Она имеет следующий вид: ! х/ 1 ди д 1 — — сс — 1и ),а— 2я $ (, СУММ дп дп С!ММ с о а и(М,), Мое0, — и(Мо) Ма~с, 1 2 О, — — ~ сои 1п йт= ! г 1 в Мое П+ Сделаем следующие замечания. Понятие фундаментального решения может быть введено для общего дифференциального оператора с.и.
Фундаментальным решением оператора Ьи называется регулярная обобщенная функция *>, удовлетворяющая уравнению 1.и= — 6(М, М,), (1.9) где б (М, М,) — дельта-функция Дирака. 1 Покажем, что функция о= 4 д удовлетворяет уравнению (1.9). Пусть ср(М) — основная функция, т. е. бесконечно днффс ренцнруемая локальная функция. Носитель ее обозначим Во. Функция о как регулярная обобщенная функция имеет обобщенные производные всех порядков. Следовательно, бо есть обобщенная функция. Покажем, что бо= — 6(М, Мо), Ма~0. рассмотрим функционал ссрбос()с, заданный на пространстве основных функций.
Согласно определению производныхобобщенных функций рб ! с() = ~ Лсрс((с. 47Жмм, 4ЯССмм, о о *' Об обобщенных функциях см., например: В л а д и м и р о в В. С. Уравнения математической физики. Мл Наука, 1988. 1ЗО любой внутренней точке области функция и может быть выражена через свое значение и значение нормальной производной на границе и значение оператора Лапласа от этой функции во всей области й. Для гармонической функции (бы=О) третья формула Грина принимает более простой вид. Например, при Моя0 Преобразуем интеграл, стоящий в правой части равенства (1.10), используя третью формулу Грина (1.7): 1 ! Др 1 Г ~ ! дгр д 1 — с(р' = — (Г ! — — — <р — ) !(5 — <р(М,). 4л ! !!мм 4л У ! !! дл дл !1,) мм.
5 Область 0 можно выбрать достаточно большой так, что носи- тель 1)4 функции !р расположен строго внутри 17. Тогда р1,=0, — '' =о. д~р ! дл !з Поэтому Д!р!(" = !р (Мо) Мо ел (~. 1 .' 1 лмм, о Следовательно, из (1.10) получаем %(М) Д 4(Р = !р(Мо) Мо е= П 4л!!мм, Это соотношение и показывает, что ( 4л!! ) ( ' О)' Аналогичным образом можно показать, что в двумерном слу- чае Д(1 1п 1 )= — 6;(М,М,). ! 2л лмз!, 1 1 Таким образом, построенные нами решения — н 1п— »!мм, !!мм, только числовым множителем отличаются от фундаментально- го решения в трехмерном и двумерном случаях, определенно- го соотношением (1.9).
Поэтому там, где это не вызывает за- труднений, сохраним за ними название «фундаментальное ре- шение уравнения Лапласа». Заметим также, что фундаментальное решение согласно (1.9) определено неоднозначно. Оно определено с точностью до решения однородного уравнения Ел=о. Поэтому, строго го- воря, фундаментальным решением уравнения Лапласа в трех- мерном случае является любая функция о, равная 4л!! + 4л!!мм, где и(М) — гармоническая функция. Полезно отметить, что формально третью формулу Грина (1.4) можно получить следующим образом. Пусть и(М) — ре- гулярная обобщенная функция.
Применим в области й к и(М) 1 и о= л вторую формулу Грина (1.2): 4л!!мм 13! Ли и!! ) сйг 1 К!1 ди д 1 = — (!) ( — — — и — — ) с(5, М„ен Р. (1.1 1) 4я У (, !! дп дп Так как и(М)6(М, М,)Л'=и(Мь), М, ~Р, то из (!.11) получаем 1 Г! 1 ди д 11 1 Ваи и(М,)= — !!) ( — — — и — — ) ао — д! — с()т, М,~Р. 4к %1!! дп дп й ) 4п 4! Я о Строгим обоснованием этого метода и являются рассуждения, проведенные в начале этого параграфа при выводе третьей формулы Грина. 2. Основные свойства гармонических функций Используем формулы Грина для вывода основных свойств гармонических функций. 1, Если и — гармоническая в области Р функция, то ф — '," бай=О, (1.12) где 3 — любая гладкая замкнутая поверхность, целиком лежа- и(ая в области Р. Действительно, полагая о= 1 и применяя первую формулу Грина к функции и и о в области, ограниченной поверхностью Ю, сразу получим (1.12).
Формула (1.!2) иногда называется формулой Гаусса для гармонических функций. Ее можно интерпретировать как отсутствие источников внутри 5. Если Ьи= — 1(М), то что можно интерпретировать как выражение для потока через границу области при наличии источников внутри области. 2. Теорема о среднем. Теорем а 5.1, Пусть и(М) — гармоническая в области Р функция. Тогда и (М,) = — ~ и (М) а5, Е а !32 где Х, — сфера радиуса а с центром в точке Мо, целиком лежаи(ая в области Р. Доказательство.
Применим формулу (1.8) к шару Км с центром в точке Мо и поверхностью Х.: 1 о/13ди д 1 и(М,) = — у ( — ' — — и — — ) д5. 4п (,11 дп дп 11 ) Поскольку то, принимая во внимание формулу (1.12), получим и(М,) = ~ и(М)сЮ. И Эта теорема утверждает, что значение гармонической функции в точке Мо равно среднему значению этой функции на любой сфере Х, с центром в Мо, если сфера Х, не выходит нз области гармоничности функции и. Заметим, что для гармонической функции, непрерывной в замкнутой области Р, формула среднего значения справедлива и тогда, когда сфера касается границы области Р. Действительно, пусть сфера Х,ч' радиуса ао касается поверхности 5.
Формула среднего значения справедлива для любой сферы Х,' меньшего радиуса (а<ао): и (М,) = — ~ и(Р)д5. 1 4пао м, О Переходя в этой формуле к пределу прн а-~-ао и учитывая непрерывность и в замкнутой области В, получим и(М,)= ~ и(Р)Ю. 4яао а Для случая двух переменных имеет место аналогичная тео- рема о среднем значении: и(М,)= ~ид1, с, где С, — окружность радиуса а с центром в Мо, лежащая в области гармоничности функции и(М). 3. Гармоническая в области Р функция имеет внутри Р производньое всех порядков. 133 Это утверждение непосредственно следует из третьей формулы Грина (1.8), так как при М,~0 поверхностные интегралы являются собственными и их можно дифференцировать по 'координатам точки М, любое число раз.
Заметим, что из этой же формулы (1.8) следует, что гармоническая функция во всех внутренних точках области аналитична, т. е. разлагается в сходящийся степенной ряд в окрестности любой внутренней точки Мы При этом радиус сходимости соответствующего ряда не меньше, чем расстояние точки Мь до границы 5 области О. 4. Принцип максимума. Т ео р е м а 8.2 Гармоническая в области с) функция и(М), непрерывная в замкнутой области 1У, достигает своих максимальных и минимальных значений на границе 5 области с1.
Доказательство, Так как функция и(М) непрерывна в замкнутой области К то она достигает своего максимального значения в этой замкнутой области. Докажем, что это максимальное значение достигается функцией и(М) на поверхности 5. Предположим противное. Пусть функция и(М) достигает своего максимального значения в некоторой внутренней точке Мь области 0: иь = шах и (М) = и (М,) ) и (М), о М вЂ” любая точка области Д. Окружим точку Мь сферой Хр' радиуса р, целиком лежащей в области О, и применим теорему о среднем: и(М,)= ~ и(Р)с(5( ~ и(М,)й5= м, м, ь ь =и(Ма) ~ '15=и(Мь) хмо Р Написанная цепочка соотношений верна только в случае, если и(Р) ) м, — = и(Мь).
О= Действительно, так как крайние элементы цепочки равны, то ~ и(Р) с(5 =4лр'и(М,). зме Р Если теперь предположить, что хотя бы в одной точке Р, сфем, ры Хр' и (Р,) ( и (М,), то это неравенство, в силу непрерывности и(М), будет иметь 134 место и в некоторой окрестности точки Р, на сфере Х~', откуда ф и(Р)й5(4по'и(Мь), хме ь что приводит к противоречию. Следовательно, всюду на сфере х м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
